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第 04 讲 分式的加减法
课程标准 学习目标
1.熟练掌握同分母的分式加减运算；
①通分、最简公分母 2.会找最简公分母，能进行分式通分，理解并掌握异分母分式的
②分式的加减运算 加减法则；
3.能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值.
知识点01 最简公分母
最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
【即学即练1】
1．（24-25八年级上·天津南开·期末）分式 与 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简公分母
【分析】本题主要考查了最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，
这样的公分母叫做最简公分母，根据最简公分母的定义解答即可．
【详解】解：分式 与 的最简公分母是 ，
故选： ．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）分式 与 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，
取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
根据最简公分母的定义即可求出答案．
【详解】解：分式 与 的最简公分母是 ．
故选：A．
知识点02 分式的通分
分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改
变分式的值。
具体步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大
的倍数;③分子对应扩大相同倍数.
【即学即练2】
1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）通分：
(1) ， ；
(2) ， ．
【答案】(1) ，(2) ，
【知识点】最简公分母、通分
【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先求出最简公分母是 ，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答；
（2）先求出最简公分母是 ，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答．
【详解】（1）解： ，
；
（2）解： ，
．
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）通分：
(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ， ， ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ， ，
【知识点】最简公分母、通分
【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键．
（1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可；
（2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可；
（3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可．
【详解】（1）解：（1）最简公分母是 ，
，
；（2）解：最简公分母是 ，
，
；
（3）解：最简公分母是 ，
，
，
．
知识点03 同分母分式的加减
同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为： ．
【即学即练3】
1．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）计算： ．
【答案】 /0.5
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查同分母分式相加减，根据同分母分式相减，分母不变，分子相加可直接得出答案．
【详解】解： ，
故答案为： ．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】 1 2 2
【知识点】同分母分式加减法【分析】本题考查了同分母分式加减运算，
（1）由同分母分式加减法则进行运算，将结果化为最简分式或整式，即可求解；
（2）由同分母分式加减法则进行运算，将结果化为最简分式或整式，即可求解；
（3）由同分母分式加减法则进行运算，将结果化为最简分式或整式，即可求解；
掌握同分母分式加减运算法则：“分母不变，分子相加减．” 是解题的关键．
【详解】解：（1）原式 ，
故答案为： ；
（2）原式 ，
故答案为： ；
（3）原式 ，
故答案为： ．
知识点04 异分母分式的加减
异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为： ．
注意：分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似.
【即学即练4】
1．（24-25八年级上·广东广州·期末）计算： ．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则.
本题利用异分母的分式加减法则计算即可
【详解】解：原式
．
2．（24-25八年级上·广东广州·期末）计算： ．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法【分析】本题考查了异分母减法，掌握分式的运算法则是解题关键．先通分，再约分即可．
【详解】解：
．
题型01 同分母分式加减法
例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期末）计算： ．
【答案】
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的减法，根据分式的加减法运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算： ．
【答案】
【知识点】同分母分式加减法
【分析】此题考查了分式的加减运算，掌握同分母分式相加减的运算法则是解题的关键．
根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，进行计算即可．
【详解】解：原式，
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·广东湛江·期末）化简： 的结果为 ．
【答案】
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查的是同分母分数的减法，根据分母不变，把分子相减再约分即可．
【详解】解： ，
故答案为：
3．（2025·广东清远·一模）计算： ．
【答案】 /
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查了同分母分式的加法运算，掌握运算法则是解题的关键．
根据同分母的分式加法法则进行计算即可．
【详解】
．
故答案为： ．
题型02 最简公分母
例题：（24-25八年级上·贵州遵义·期末）分式 与 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查的是最简公分母，熟知通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母是解题的关键．根据最简公分母的定义解答即可．
【详解】解：分式 与 的最简公分母是 ．
故选：A．
【变式训练】
1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（ ）
A． 与 的最简公分母是
B． 与 的最简公分母是
C． 与 的最简公分母是
D． 与 的最简公分母是
【答案】C
【知识点】最简公分母
【分析】求几个分式的最简公分母时，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分
母，根据这一条件即可得出答案．此题考查了最简公分母，求几个分式的最简公分母时，应注意将分母转
化为最简式后再进行相乘．
【详解】解：A、 与 的最简公分母是 ，故本选项不符合题意；
B、 与 的最简公分母是 ，故本选项不符合题意；
C、 与 的最简公分母是 ，故本选项符合题意；
D、 与 的最简公分母是 ，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）分式 ， ， 的最简公分母是 ．
【答案】
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查了分式的最简公分母，根据确定最简公分母的方法：①找系数：找各分母中系数的最小
公倍数；②找分母：找各分母中所有单个字母因式或多项式字母因式；③找指数：取各相同字母因式或多
项式字母因式的最大指数求解即可．
【详解】解：分式 ， ， 的最简公分母是 ，
故答案为： ．3．（2025八年级下·全国·专题练习） 、 、 的公分母是 ．
【答案】
【知识点】最简公分母
【分析】此题考查了最简公分母的取法，确定最简公分母的方法有三步，分别为：（1）取各分母系数的
最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最
高的，三步得到的因式的积即为最简公分母．根据确定最简公分母的方法进行解答即可．
【详解】解： 、 、 ，
系数的最小公倍数是12；
x的最高次数是2；
y与 的最高次数是1；
所以最简公分母是 ．
故答案为： ．
题型03 通分
例题：（2025七年级下·全国·专题练习）通分：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2) ，
(3) ，
【知识点】通分
【分析】此题主要考查了通分，通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分
母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，
各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
（1）首先找出两式的最简公分母，然后进行通分；
（2）首先将分式的分母分解因式，再找出两式的最简公分母，然后进行通分；
（3）首先将分式的分母分解因式，再找出两式的最简公分母，然后进行通分．【详解】（1）解：∵ 与 的最简公分母为 ，
∴ ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ 与 的最简公分母为 ，
∴ ， ；
（3）解：∵ ， ，
∴ 与 的最简公分母为 ，
∴ ， ．
【变式训练】
1．（2025七年级下·全国·专题练习）求出下列各组分式的最简公分母．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【知识点】最简公分母、通分
【分析】本题考查了最简公分母，掌握确定最简公分母的方法是本题的关键．
根据确定最简公分母的方法是： 取各分母系数的最小公倍数； 凡单独出现的字母连同它的指数作为
最简公分母的一个因式； 同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母分别找出最简公分母．
（1）分母 和 ，系数 和 的最小公倍数 ， 的最高次 ， 的最高次 ，所以最简公分母是；
（2）分母 ， ， ，系数 、3、4的最小公倍数是12， 的最高次3， 的最高次1， 的最高
次2，所以最简公分母 ；
（3）分母 、 、 ，统一为 的幂，取最高次幂 ，所以最简公分母是 ；
（4）分解后的分母是 ， ，和 ，因此，它们的最简公分母是 ．
【详解】（1）解： 和 的最简公分母是 ；
（2）解： 的最简公分母是 ；
（3）解： 的最简公分母是 ；
（4）解： 的最简公分母是 ．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）通分：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ．
(2) ，
(3) ， ，
(4) ， ，
【知识点】通分
【分析】此题主要考查了通分，通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分
母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，
各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
（1）首先找出两式的最简公分母，然后进行通分．（2）首先找出两式的最简公分母，然后进行通分．
（3）首先找出两式的最简公分母，然后进行通分．
（4）首先找出两式的最简公分母，然后进行通分．
【详解】（1）解：最简公分母为 ，
．
（2）解：最简公分母为 ，
，
．
（3）解：最简公分母为 ，
，
，
．
（4）解：最简公分母为 ，
，
，
．
3．（23-24八年级上·全国·单元测试）通分：
(1) ， ；
(2) ， ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【知识点】通分
【分析】此题考查了分式的通分，（1）确定公分母后利用分式的基本性质进行通分即可；
（2）确定公分母后利用分式的基本性质进行通分即可．
【详解】（1）解：最简公分母是 ，
，
（2）最简公分母是 ，
，
题型04 异分母分式加减法
例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期末）化简： ．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查分式的减法，直接根据异分母分式的减法运算法则化简原式即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·北京顺义·期末）计算： ．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先通分，再根据同分母的分式相加
减的法则计算即可．
【详解】解：原式=
==
=
2．（24-25八年级上·吉林白城·期末）化简：
【答案】2
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了异分母分式的加法，先通分得 ，再化简，即可作答．
【详解】解：原式
．
3．（24-25七年级上·上海松江·期末）计算： ．
【答案】2
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查的是分式的加减运算，先通分，再约分即可．
【详解】解：
．
题型05 整式与分式相加减
例题：（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： ．【答案】
【知识点】整式与分式相加减
【详解】解：原式 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】异分母分式加减法、整式与分式相加减
【分析】（1）先通分，然后根据分式的加法进行计算即可求解；
（2）根据分式的加法进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：【点睛】本题考查了分式的加减法运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算下列各式．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】同分母分式加减法、整式与分式相加减
【分析】此题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）利用同分母分式减法法则计算即可；
（2）通分化为同分母分式减法计算即可．
【详解】（1）
（2）
3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）下面是某同学计算 的解题过程：
解：①
②
③
④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．
【答案】从第①步开始出现错误，正确的解题过程见解析
【知识点】整式与分式相加减
【分析】本题考查分式的加减运算，利用异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．掌握相应的运算
法则、公式是解题的关键．
【详解】解：上述解题过程从第①步开始出现错误．
正确的解题过程如下：
．
题型06 已知分式恒等式，确定分子或分母
例题：（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若 （其中 ， 为常数），则
， ．
【答案】
【知识点】加减消元法、异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的加减，计算 ，根据 ， 为常数，即可求解．
【详解】解：∵ ，∴
解得： ，
故答案为： ， ．
【变式训练】
1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知 ，求 ， ， 的值．
【答案】 ， ， 的值分别为 ， ， ．
【知识点】异分母分式加减法、三元一次方程组的定义及解
【分析】本题考查异分母分式的加减法及解三元一次方程组，首先通分化为同分母分式，再按照分母不变，
把分子相加减的方法计算．已知等式右边两项通分并利用异分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的
条件构造方程组，求解方程组即可．
【详解】解：
，
解得
即 ， ， 的值分别为 ， ， ．
2．（22-23八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读下列材料：
若 ，试求A、B的值
解：等式右边通分，得根据题意，得 ，解之得 ．
仿照以上解法，解答下题．
(1)已知 （其中M、N为常数）求M、N的值；
(2)若 对任意自然数n都成立，则 _________， _________．
(3)计算： _________．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值；
（2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值；
（3）由 ， ， ，利用裂项相消，即可求解．
【详解】（1）解：等式右边通分，得
，
根据题意，得 ，解之得 ；
（2）解：等式右边通分，得
，
根据题意，得 ，解之得 ；
故答案为： ， ；
（3）解：故答案为： ．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型07 分式加减混合运算
例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)2
(3)
(4)
【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法、分式加减混合运算
【分析】（1）按照同分母分式的加减运算法则进行计算即可；
（2）先化为同分母分式，再计算即可；
（3）先通分化为同分母分式，再计算即可；
（4）先通分化为同分母分式，再计算即可；
【详解】（1）解：原式 ．
（2）原式 ．
（3）．
（4）
．
【点睛】本题考查的是分式的加减运算，掌握分式的加减运算的运算法则是解本题的关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ．
【知识点】分式加减混合运算
【分析】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键．
（1）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案；
（2）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案；
（3）括号内先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案；
（4）括号内先通分，分子分母分解因式，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：．
2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】分式加减混合运算
【分析】（1）先将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算即可；
（2）利用平方差公式将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算，最后再约分即可；
（3）利用平方差公式将分式进行通分，分母则按照十字相乘以及整式的加减乘除混合运算计算即可；
（4）先将分式进行约分，再按照整式的加减混合运算计算即可．
【详解】（1）解：
故答案为： ．（2）解：
故答案为： ．
（3）解：
故答案为： ．
（4）解：
故答案为： ．【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键需要熟练掌握分式加减法则，平方差公式的运用．
3．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、综合提公因式和公式法分解因式、分
式加减混合运算
【分析】（1）互为相反数，第二项的分母提取负号，化为同分母，直接根据同分母的分式加减法法则进
行计算：分母不变，分子相加减；
（2）最简公分母为 ，通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可；
（3）把 看成是一项，为 ，再通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可；
（4）最简公分母为 ，通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；（3）解：原式
；
m(m+n) n(m−n) 2mn
（4）解：原式= − +
(m+n)(m−n) (m+n)(m−n) (m+n)(m−n)
m2+2mn+n2
=
(m+n)(m−n)
(m+n) 2
=
(m+n)(m−n)
．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减
混合运算法则及因式分解是解题的关键．
题型08 分式加减乘除混合运算
例题：（23-24八年级上·云南楚雄·期末）计算： ．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查分式的混合运算，先通分，计算括号内的，再除法变乘法，约分化简即可．
【详解】解：
．
【变式训练】1．（2024七年级上·上海·专题练习）化简： ．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查分式的混合运算，熟练分式的混合运算顺序和方法是解答的关键．
原括号内先通分并用同分母分式的减法法则计算，再利用平方差公式进行化简，最后利用除法法则变形，
最后约分即可．
【详解】解：
．
2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）化简：
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．原
式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果．
【详解】解：原式
．
3．（2024八年级上·全国·专题练习）化简：
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算【分析】此题考查了分式的混合运算，先算括号再算除法，注意运用完全平方公式和平方差公式分解因式．
【详解】解：
．
题型09 分式混合运算错解复原问题
例题：（24-25八年级下·全国·期末）下面是小赣同学化简 的过程，请认真阅读，并完
成相应的任务．
解：原式 第一步
第二步
第三步
．第四步
(1)①以上化简步骤中，变形的依据是分式的基本性质和 ；
②从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
(2)请直接写出该式子化简后的正确结果，请你从 ， ，1中选择一个合适的数代入求值．
【答案】(1)①分式的除法法则 ②二；应用分式的基本性质时，第二个分式的分子没乘（x－1）
(2)
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
（1）根据题目中的解答过程可得出结论；
（2）利用分式的混合运算的法则解答即可．
【详解】（1）解：①以上化简步骤中，第一步变形的依据是分式的基本性质和分式的除法法则，
②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是应用分式的基本性质通分时，第二个分式的分子没乘 ，故答案为：①分式的基本性质和分式的除法法则；②二；应用分式的基本性质通分时，第二个分式的分子
没乘 ；
（2）解：
；
∵
∴ ，
∴当 时，原式 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应
任务：
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______；第______步开始出现错误，出现错
误的具体原因是_____．②任务二：请写出完整的解答过程．
【答案】①三；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；四；括号前面是
“ ”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；② ，过程见解析
【分析】
本题主要考查了分式的混合计算：①根据分式通分的步骤和去括号法则解答即可；②按照分式的化简步骤
重新计算即可．
【详解】解：①观察解题过程可知，第三步是进行分式的通分，依据是分式的分子分母都乘（或除以）同
一个不为0的整式，分式的值不变），第四步开始出现错误，出现错误的原因是括号前面是“ ”去掉括
号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；
故答案为：三；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；四；括号前面是
“ ”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；
②
．
2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题：
解： ．
第一步
第二步
第三步第四步
第五步
第六步
(1) 以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；
第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
请写出正确的化简结果： ．
(2)先化简再求值： ，已知 ．
【答案】(1)①一，分式的基本性质；②三，括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变
号；③
(2) ，
【分析】本题考查了分式的混合运算、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）①以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；②根据去括号的法
则即可得出答案；③根据分式的混合运算法则计算即可得出答案；
（2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，由题意得出 ，整体代入计算即可．
【详解】（1）解： 以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；
故答案为：一，分式的基本性质；
第三步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变
号；
故答案为：三，括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号；
．，
故答案为： ；
（2）解：
，
，
，
原式 ．
题型10 分式混合运算中的化简求值
例题：（24-25八年级上·青海果洛·期末）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【知识点】分式化简求值
【分析】此题考查了分式的化简求值，先利用分式的运算法则和顺序计算后得到化简结果，再把字母的值
代入计算即可．
【详解】解：当 时，原式 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的混合运算法则把原式化简，把 代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当 时，原式 ．
2．（24-25八年级上·全国·假期作业）先化简，再求值 ，其中 与 、 构成
的三边长，且 为整数．
【答案】 ，
【知识点】分式化简求值、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了分式的化简求值，三角形三边关系，熟练掌握分式化简求值、三角形三边关系的应用
是解题的关键；
先利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，然后根据三角形三边关系得到 ，然后代数求解即可．
【详解】解：原式，
与 、 构成 的三边长，
，
又 为整数，
，
当 时，原式 ．
3．（24-25八年级上·山东聊城·期中）（1）化简求值： ，其中 ．
（2）先化简，再求值： ，其中 满足 ．
【答案】（1） ； ；（2） ；1
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
（1）先化简分式，然后代入x求值．
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把 代入计算即可．
【详解】解：（1）
；
当 时，原式
（2）；
∵ ，
∴ ，
∴原式
一、单选题
1．（2025·天津北辰·一模）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式加减法的法则是解题的关键．先把异分母分式通分，化
成同分母分式，然后按照同分母分式的加法法则计算即可．
【详解】解： ，
故选：B．
2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）规定 运算为： ，例如：
，则当 且 时， 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】新定义下的实数运算、运用平方差公式进行运算、异分母分式加减法
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，异分母分式加减法，平方差公式等知识点，根据新定义下的运算正确列式计算是解题的关键．
由“ 且 ”可得 ，通分后可得 ，然后利用平方差公式可得
，约分后即可得出答案．
【详解】解： ，且 ，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
3．（2025·河北唐山·一模）试卷上一个正确的式子 被小明同学不小心滴上墨汁．
被墨汁遮住部分 处的代数式为（ ）
⋆
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的除法计算可得答案．
【详解】解：由 ，
得 ，
即 ，
∴ ，
故选：B．
4．（24-25八年级上·山东临沂·期末）下列关于分式的说法正确的是（ ）A． 约分的结果是 B．分式 与 的最简公分母是
C． D．化简 的结果是
【答案】C
【知识点】约分、最简公分母、异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的基本性质和分式的加减运算，解决本题的关键是根据分式的基本性质把分式进
行变形即可．
【详解】解：A选项： ，故A选项错误；
B选项： ， 与 的最简公分母是 ，故B选项错误；
C选项： ，故C选项正确；
D选项： ，故D选项
错误．
故选： C．
5．（24-25八年级上·河北唐山·期中）分式 与 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简公分母
【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的
最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．利用最简公分母的确定方法可得答案．
【详解】解：分式 与 的最简公分母是 ，
故选：B．
二、填空题
6．（24-25八年级上·山东聊城·期末）计算： ．
【答案】
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题主要考查了分式的加减法，
根据同分母分式相加减法则计算．即分母不变，分子相加减．【详解】解：原式 ，
故答案为： ．
7．（24-25八年级上·山东淄博·期末）分式 与 的最简公分母是 ．
【答案】
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查了最简公分母，根据平方差和完全平方公式先把分母因式分解，再确定最简公分母即可，
掌握最简公分母的确定方法是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴最简公分母是 ，
故答案为： ．
8．（2025·安徽阜阳·一模）已知 ，则代数式 的值为 ．
【答案】
【知识点】分式化简求值、分母有理化
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，先通分化简，再把 代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴
．
故答案为： ．
9．（24-25七年级下·全国·课后作业）若 恒成立，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法、已知分式恒等式，确定分子或分母
【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．先将等式的左边通分并化简得出 ，再根据等式恒成立得出 ，
根据题意列二元一次方程组求解即可得出答案．
【详解】解：
恒成立，
，
故答案为： ．
10．（24-25八年级上·山东聊城·期末）对于代数式m，n，定义运算“ ”： ，例如：
，若 ，则 ．
【答案】8
【知识点】新定义下的实数运算、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的加减法，根据定义运算表示出 的式子，再将 进行运
算，便得到A和B的值，最后代入 中，求出结果即可．
【详解】解： ，，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ，
故答案为：8．
三、解答题
11．（2025·河南郑州·模拟预测）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式加减乘除混合运算、异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的混合运算．
（1）先通分、然后再加减运算、最后化简即可；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结
果．
【详解】（1）解：
；（2）解：
．
12．（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)1
【知识点】分式加减乘除混合运算、异分母分式加减法
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握其基础运算法则是解题的关键．
（1）利用异分母分式的加减混合运算法则进行计算即可；
（2）利用分式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
．13．（2024·广东佛山·一模）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【知识点】分式化简求值、二次根式的混合运算
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
首先利用完全平方公式和平方差分解因式，同时小括号内通分、括号、约分，将分式的除法转化为乘法，
利用分式的乘除法进行化简，然后合并可得到结果，最后代入数值计算即可解答．
【详解】解：原式
，
当 时，原式 ．
14．（23-24九年级上·四川南充·开学考试）先化简，再求值： ，在 ，2，1，
中选一个你最喜欢的数带入求值．
【答案】 ，当 时，原式 ，当 时，原式
【知识点】分式化简求值
【分析】此题考查了分式的化简求值，先计算括号内的加减法，再计算除法，得到化简结果，选取合适的
值代入计算即可．
【详解】解：
∵ ， ，
∴ 或 ，
当 时，原式
当 时，原式15．（2025八年级下·全国·专题练习）已知 ．
(1)化简 ；
(2)当 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】幂的乘方的逆用、分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题考查分式的化简求值，
（1）先把括号内的分式通分，再按照同分母的分式相减，然后把除式中的分母分解因式再约分，并把除
法换成乘法，进行计算即可；
（2）把已知条件中的两个幂的底数都换成 ，从而把 用 表示出来，最后把（1）中化简后的式子中的
换成 ，进行计算并约分即可；
解题关键是熟练掌握分式的通分和约分．
【详解】（1）解：
；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
16．（2025·江西九江·模拟预测）计算： ．下面是甲同学的部分计算过程：解：原式
(1)甲同学解法的依据是________．（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请写出完整的解答过程，并从0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】(1)③
(2) ，4
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据乘法分配律，即可解答；
（2）利用乘法分配律化简计算，然后把符合条件的x值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：甲同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：③；
（2）解：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
17．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的
形式，则称这个分式为“和谐分式”．
(1)给出下列分式： ； ； ； ．其中属于“和谐分式”的是_______（填序
① ② ③ ④
号）；(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)化简 ．若该式的值为整数，求x的整数值．
【答案】(1)①③④
(2)
(3)
【知识点】分式有意义的条件、分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查新定义运算，分式的混合运算法则，理解“和谐分式”的定义，掌握分式的混合运
算法则是解题的关键．
（1）根据分式加减运算法则，再根据“和谐分式”的定义进行判定即可；
（2）根据分式加减运算法则，再根据“和谐分式”的定义进行判定即可；
（3）先根据分式的混合运算法则先化简得 ，再根据该式的值为整数，得到 或 ，
最后根据分式有意义的条件得到 ，由此即可求解．
【详解】（1）解：① ，属于“和谐分式”；
② ，不属于“和谐分式”；
③ ，属于“和谐分式”；
④ ，属于“和谐分式”；
∴属于“和谐分式”的是①③④，
故答案为：①③④；
（2）解：
．
（3）解：．
∵该式的值为整数，
∴ 或 ，
解得 或 或1或 ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
18．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）定义：若分式 和分式 满足 （ 为正整数），则称
是 的“ 差分式”．
例如： ，我们称 是 的“ 差分式”，
解答下列问题：
(1)分式 是分式 的“ 差分式”．
(2)分式 是分式 的“ 差分式”．
（含 的代数式表示）；
若 的值为正整数， 为正整数，求 值．
【答案】(1)
(2) 或
【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法
【分析】本题考查新定义运算，分式的加减法，熟练掌握掌握分式的加减法法则是解答本题的关键．
（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2） 根据“ 差分式”的计算方法可得 ，结合分式的混合运算即可求解；
根据 为正整数，即可解答．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；（2）解： ，
，
解得， ；
为正整数，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
的值为 或 ．
