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第五章 生活中的轴对称（A卷·知识通关练）
考点1 判断轴对称图形
【方法点拨】掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重
合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：
（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。
（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。
1. （2021秋•鲁甸县期末）下列交通标志中，属于轴对称图形的是
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图
形叫做轴对称图形可得答案．
【解答】解：根据轴对称图形的概念可得四个选项中只有 是轴对称图形，
故选： ．
2. （2020秋•花都区期末）下列地铁标志图形中属于轴对称图形的是
A． 青岛地铁 B． 北京地铁
C． 广州地铁 D． 上海地铁
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解： 、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选： ．
3. （2021春•城固县期末）下列图案中，不属于轴对称图形的是
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图
形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
【解答】解： 、是轴对称图形，故此选项不合题意；
、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
、是轴对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选： ．
4. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
【答案】解：A、是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意；
故选：B．
5. 下列图形中，不是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【答案】解：只有第1个不是轴对称图形．故选：A．
考点2 角平分线的应用
【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
牢记：（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；
（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。
6. （2021秋•都安县期末）如图， 是 的平分线 上一点， 于 ， 于 ，若
，则
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】先根据角平分线的性质得出 ，再利用 证明 ，根据全等三角形的对应边
相等即可得到 ．
【解答】解： 是 的平分线 上一点， 于 ， 于 ，
．
在 与 中， ，
，
，
．
故选： ．
7. （2021秋•襄汾县期末）如图，射线 是 的角平分线， 是射线 上一点， 于点 ，
，若点 是射线 上一点， ，则 的面积是A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】作 于 ，如图，根据角平分线的性质得 ，然后根据三角形面积公式计算
．
【解答】解：作 于 ，如图，
是 的角平分线， ， ，
，
．
故选： ．
8. （2022秋•大连期中）到三角形三条边的距离都相等的点是
A．两条中线的交点 B．两条高的交点
C．两条角平线的交点 D．两条边的垂直平分线的交点
【分析】根据角平分线的性质定理解答即可，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【解答】解： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
到三角形三条边的距离都相等的点是两条角平分线的交点．
故选： ．
9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则
△DBE的周长是（ ）A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，再根据等腰直角三角形的性质求出
AC＝BC＝AE，然后求出△DBE的周长＝AB，代入数据即可得解．
【答案】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD，
又∵AC＝BC，AC＝AE，
∴AC＝BC＝AE，
∴△DBE的周长＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，
∵AB＝6cm，
∴△DBE的周长＝6cm．
故选：A．
考点3 线段垂直平分线性质的应用
【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。
10. （2022•天津模拟）到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形 的交点．
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选： ．
11. （2022春•萍乡期末）如图， 中， 垂直平分 交 于点 ，交 于点 ， 垂直平分
交 于点 ，交 于点 ，且点 在点 的左侧，连接 、 ，若 ，则 的
周长是A． B． C． D．
【分析】由直线 为线段 的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：可得 ，同理可得
，然后表示出三角形 的三边之和，等量代换可得其周长等于 的长．
【解答】解： 直线 为线段 的垂直平分线，
，
又直线 为线段 的垂直平分线，
，
的周长 ，
故选： ．
12. （2021秋•丹阳市期末）如图，在 中， 是 的中垂线， ， ，则 长是 ．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 ，然后根据 代
入数据计算即可得解．
【解答】解： 是 的中垂线，
，
．
故答案为：7．
13. 如图：在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，且点D在点E的左侧，BC＝6cm，则
△ADE的周长是（ ）A．3cm B．12cm C．9cm D．6cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可．
【答案】解：∵AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝6cm，
故选：D．
14. 如图，在△ABC中，点E在边AC上，DE是AB的垂直平分线，△ABC的周长为19，△BCE的周长为
12，则线段AB的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】由DE为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，又由△BCE的周长为
12，可得AC+BC＝12，继而求得答案．
【答案】解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长为12，
∴BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝12cm，
∵△ABC的周长为19，
∴AB+AC+BC＝19，
∴AB＝19﹣12＝7，
故选：C．
15. 如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC＝100°那么∠PAQ等于（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【答案】解：∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠PAQ＝180°﹣（∠PAB+∠QAC）＝180°﹣（∠B+∠C）＝20°，
故选：D．
考点4 等腰三角形的性质
【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
16. 已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（ ）
A．50° B．130° C．50°或 140° D．50°或 130°
【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来
讨论．
【答案】解：当为锐角时，如图：
∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，
∴∠A＝50°，
当为钝角时，如图：∠ADE＝40°，∠DAE＝50°，
∴顶角∠BAC＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．
17. 如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（ ）
A．3∠1﹣∠2＝180° B．2∠1+∠2＝180°
C．∠1+3∠2＝180° D．∠1＝2∠2
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠1和∠C之间的关系，再根据三角形外角的
性质可得∠1和∠2之间的关系．
【答案】解：∵AB＝AC＝BD，
∴∠B＝∠C＝180°﹣2∠1，
∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠1，
∴3∠1﹣∠2＝180°．
故选：A．
18. 如图，若AB＝AC，下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4）
【分析】根据等腰三角形的判定对 个选项逐一分析，只有 不能被一条直线分成两个小等腰
三角形 ①②③④ ②
【答案】解： 中作∠B的角平分线即可；
①过A点作BC的垂线即可；
③中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可；
④只有 选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．
故选②：B．
19. 如图，在第一个△ABA 中∠B＝20°，AB＝A B，在A B上取一点C，延长AA 到A ，使得A A ＝A C，得
1 1 1 1 2 1 2 1
到第二个△A A C；在A C上取一点D，延长A A 到A ，使得A A ＝A D；…，按此做法进行下去，则以
1 2 2 1 2 3 2 3 2
点A 为顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）
4
A．175° B．170° C．10° D．5°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质
1
分别求出∠CA A ，∠DA A 及∠EA A 的度数，找出规律即可得出∠A 的度数．
2 1 3 2 4 3 6
【答案】解：∵在△ABA 中，∠B＝20°，AB＝A B，
1 1
∴∠BA
1
A＝ ＝80°，
∵A A ＝A C，∠BA A是△A A C的外角，
1 2 1 1 1 2
∴∠CA
2
A
1
＝ ＝ ＝40°；A
同理可得∠DA A ＝20°，∠EA A ＝10°，
3 2 4 3
∴∠A
n
＝ ，
以点A 为顶点的底角为∠A ．
4 5∵∠A ＝ ＝5°，
5
故选：D．
考点5 轴对称性质的应用
【方法点拨】掌握轴对称的性质：
1.成轴对称的两个图形全等。
2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。
3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。
20. （2022春•卧龙区期末）如图，点 为 内一点，分别作 点关于射线 ， 的对称点 ， ，
若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
【分析】根据对称的性质得出 ，再根据四边形内角和是 得出 的度数，即可得
出结论．
【解答】解：根据对称知， ， ，
，
，
故选： ．
21. （2022春•三原县期末）如图，在直角三角形 中， ，点 在 上，点 在 上，
与 关于直线 对称， 与 交于点 ，如果 ，那么 与 的数量关系是
．【分析】根据翻折的性质得出 ，进而利用平行线的性质解答即可．
【解答】解： 与 的数量关系是： ，
，
，
，
由翻折可得： ，
，
故答案为： ．
22. （2021秋•渝北区期末）如图，在 中， ， ， 是边 上一点，连接 ．将
沿直线 翻折后，点 恰好落在边 上 点，若 ，则点 到 的距离是
．
【分析】根据折叠可得 ，由 ，可求出 ，根据三角形面积之间的关系可
求出答案．
【解答】解：由折叠得， ， △ ，
，
，
，
，
，设点 到 的距离为 ，
则 ，
，
即点 到 的距离为 ，
故答案为： ．
23. （2022秋•沭阳县校级月考）如图所示，已知 是 内的一点，点 、 分别是 点关于 、
的对称点， 与 、 分别相交于点 、 ，已知 ．
（1）求 的周长；
（2）连接 、 ，判断 的形状，并说明理由；
（3）若 ，求 （用含 的代数式表示）．
【分析】（1）根据轴对称的性质，可得 与 的关系， 与 的关系，根据三角形的周长公式，
可得答案；
（2）根据轴对称的性质，可得 与 的关系， 与 的关系，根据等腰三角形的判定，可得答案；
（3）根据轴对称的性质，可得 与 的关系， 与 的关系，根据角的和查，可得答
案．
【解答】解：（1）由点 、 分别是 点关于 、 的对称点，得
， ．
由三角形的周长，得
；（2）如图： ，
由点 、 分别是 点关于 、 的对称点，得
， ，
，
是等腰三角形；
（3）由点 、 分别是 点关于 、 的对称点，得
， ．
由角的和差，得
，
，
．
考点6 设计轴对称图案
【方法点拨】设计轴对称图案往往以正方形、菱形、等边三角形和网格纸（或格点纸）为基础，因为这些
图形本身就是轴对称图形，利用轴对称的有关性质容易设计出它们的对称点或对称部分。设计轴对称图案
时，要先确定出有几条对称轴，然后根据对称轴的不同，合理地设计出整体的轴对称图案。具体设计时，
我们通常先以一条对称轴为基线，根据构思或需要，再添加其他的对称轴，进一步设计美观、完善的图案。
注意：（1）要设计的图案是由哪些基本图形组成的；
（2）是不是轴对称图形，如果是轴对称图形，要先确定它的对称轴；
（3）设计轴对称的美术图案时，除图形对称外，有时颜色也要“对称”。
24. （2022春•李沧区期末）如图是 的正方形网格，要在图中再涂黑一个小正方形，使得图中黑色的部分
成为轴对称图形，这样的小正方形有 个．
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．【解答】解：如图所示：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将
1，2，3，4，5处涂黑，都是符合题意的图形．
故答案为：5．
25. （2022春•北海期末）如图，在 的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得
3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有 处．
【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个
图形叫做轴对称图形．
【解答】解：如图所示：再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共
有6处，分别是标有数字1，2，3，4，5，6，7位置．
故答案为：7．
26. （2021秋•丹凤县期末）如图，在平面直角坐标系中，点 、 、 的坐标分别为 、 、
．
（1）在图中作出 关于 轴对称的图形△ ；
（2）分别写出点 、 、 关于 轴的对称点 、 、 的坐标．【分析】（1）根据轴对称的性质画图即可；
（2）关于 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得答案．
【解答】（1）如图所示，△ 即为所求；
（2） ， 、 ，
点 、 、 关于 轴的对称点 、 、 的坐标分别为 、 、 ．
27. （2021秋•岑溪市期末）在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别是 ， ，
．
（1）请在所给的坐标系中画出 ；
（2）画出 关于 轴对称的△ （其中 、 、 分别是 、 、 的对应点）．【分析】（1）根据 ， ， ，即可在所给的坐标系中画出 ；
（2）根据轴对称的性质即可画出 关于 轴对称的△ ．
【解答】解：（1）如图， 即为所求；
（2）如图，△ 即为所求．
考点7 复杂的尺规作图
28. （2021秋•靖西市期末）如图：已知 和 两条公路，以及 、 两个村庄，建立一个车站 ，使车站
到两个村庄距离相等即 ，且 到 ， 两条公路的距离相等．
【分析】作 的角平分线和线段 的垂直平分线，它们的交点为 点．
【解答】解：如图，点 为所作．29. （2022•丰顺县校级开学）指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴．
【分析】根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就
是图形的对称轴，据此即可作出．
【解答】解：
30. 在七年级我们就学过用一副三角板画出一些特殊度数的角．在八年级第二章，我们学会了一些基本的尺规
作图，这些特殊的角也能用尺规作出．下面请各位同学开动脑筋，只用直尺和圆规完成下列作图．
已知：如图，射线OA．
求作：∠AOB，使得∠AOB在射线OA的上方，且∠AOB＝45°（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】反向延长OA到点D，过点O作直线DA的垂直平分线OC，再作∠AOC的平分线即可得．
【答案】解：如图所示，∠AOB即为所作．31. 如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．
（1）试用直尺和圆规，在直线AB上求作点P，使△PBC为等腰三角形．要求： 保留作图痕迹；
若点P有多解，则应作出所有的点P，并在图中依次标注P 、P 、P 、…； ① ②
1 2 3
（2）根据（1）求PA的长（所有可能的值）
【分析】（1）以C点为圆心，CB为半径画弧交直线AB于P ，以B点为圆心，BC为半径画弧交直线
1
AB于P ，P ，作BC的垂直平分线交直线AB于P ；
2 3 4
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，当CP ＝CB时，利用等腰三
1
角形的性质得到AP ＝AB＝3；当BP ＝BP ＝BC＝5时，易得AP ＝AB+BP ＝8；AP ＝BP ﹣AB＝2；当
1 2 3 2 2 3 3
P C＝P B时，设AP ＝x，则P C＝P B＝x+3，利用勾股定理得到x2+42＝（x+3）2，解方程即可．
4 4 4 4 4
【答案】解：（1）如图，点P 、P 、P 、P 为所作；
1 2 3 4
（2）∵AB＝3，AC＝4，BC＝5．
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，
当CP ＝CB时，
1
∵CA⊥BP ，
1∴AP ＝AB＝3；
1
当BP ＝BP ＝BC＝5时，
2 3
AP ＝AB+BP ＝3+5＝8；
2 2
AP ＝BP ﹣AB＝5﹣3＝2；
3 3
当P C＝P B时，
4 4
设AP ＝x，则P C＝P B＝x+3，
4 4 4
在Rt△P
4
AC中，x2+42＝（x+3）2，解得x＝ ，
即AP ＝ ．
4
综上所述，AP的值可能为2、3、8、 ．
考点8 利用轴对称性质求最值
32. （2021秋•无锡期末）如图，已知 的大小为 ， 是 内部的一个定点，且 ，点 、
分别是 、 上的动点，若 周长的最小值等于4，则
A． B． C． D．
【分析】设点 关于 的对称点为 ，关于 的对称点为 ，当点 、 在 上时， 的周长为
，此时周长最小，根据 可求出 的度数．
【解答】解：如图，作点 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ， 于 ．
此时， 的周长最小．
连接 ， ， ， ．
点 与点 关于 对称，
垂直平分 ，
， ， ，
同理，可得 ， ， ．， ，
．
又 的周长 ，
，
是等边三角形，
，
．
故选： ．
33. （2021秋•滦州市期末）某市计划在公路 旁修建一个飞机场 ，现有如下四种方案，则机场 到 ，
两个城市之间的距离之和最短的是
A． B．
C． D．
【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【解答】解：作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于 ．
根据两点之间，线段最短，可知选项 机场 到 ， 两个城市之间的距离之和最短．
故选： ．34. （2021秋•安州区期末）在 中， ， ， ， 为 的中点， 为 上一
动点，连接 ， ，则 的最小值是 ．
【分析】作 关于 的对称点 ，连接 ，易求 ，则 ，且△ 为等边三角形，
为 与直线 之间的连接线段，其最小值为 到 的距离 ，所以最小值
为6．
【解答】解：作 关于 的对称点 ，连接 ，
， ，
，
，
△ 为等边三角形，
为 与直线 之间的连接线段，
最小值为 到 的距离 ，
故答案为：6．
35. （2022秋•太仓市月考）如图， 纸片的直角边 落在直线 上， ， ， ，
平面内一点 到直线 的距离为9， 纸片沿直线 左右移动，则 的最小值为 ．
【分析】过点 做直接 平行直线 ，作点 关于直线 的对称点 ，当 、 、 共线时， 最
小，即可求得．【解答】解：过点 作直接 平行直线 ，作点 关于直线 的对称点 ，当 、 、 共线时，
最小
根据勾股定理得
，
的最小值是13，
故答案为：13．
考点9 生活中的最短距离问题
36. 茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，
OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计
一条行走路线，使其所走的总路程最短？
【分析】本题意思是在OA上找一点D，在OB上找一点E，使△CDE的周长最小．如果设点C关于OA
的对称点是M，关于OB的对称点是N，当点D、E在MN上时，△CDE的周长为CD+DE+EC＝MN，
此时周长最小．
【答案】解： 分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，
连接MN，分①别交OA于D，OB于E．
②则C→D→E→C为所求的行走路线．37. 如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤小队从A处出发，先到公路m上设卡检査，再
到公路n上设卡检査，最后再到达B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法．
【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作A关于公路m的对称点A′，作B关于公路n的对称点B′，连
接A′B′与公路m，n分别相交于点M、N，然后沿A→M→N→B走才能使总路程最短．
【答案】解：如图所示，分别作A、B关于公路m、n的对称点A′、B′，连接A′B′交m、n于M、N两点，
连AM、BN，则A→M→N→B即为最短路线．
38. 如图，点P是∠AOB内部一点，现有一只蚂蚁要从P的出发，先到OA，再到OB，最后返回到点P．请作
出蚂蚁爬行的最短路径（要求：保留作图痕迹，不写作法．）【分析】作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″与OA、OB交于点M、N，可得蚂蚁爬行的最
短路径为：PM+MN+PN＝P′M+MN+P″N＝P′P″．
【答案】解：如图，
作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，
连接P′P″与OA、OB交于点M、N，
则蚂蚁爬行的最短路径为：
PM+MN+PN＝P′M+MN+P″N＝P′P″．
39. 如图直线l
1
，l
2
表示一条河的两岸，且l 1∥l
2
，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A经过
河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
【分析】先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河
岸，交另一河岸于点D，即可得出答案．
【答案】解：如图，先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作
CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．理由：由作图过程可知，四边形ACDA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线
段最短，由于河宽不变，CD即为桥．
考点10 等腰三角形中的角度问题
40. （2022春•原阳县月考）如图， 与 关于直线 对称，若 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
【解答】解： 与 关于直线 对称，
△ ，
，
，
．
故选： ．
41. （2021秋•宜兴市期末）将一张纸如图所示折叠后压平，点 在线段 上， 、 为两条折痕，若
，则 的度数是A． B． C． D．
【分析】由折叠的性质可知， ， ，
推出 ， ，
所以 ．
【解答】解：由折叠的性质可知， ， ，
，
，
，
，
故选： ．
42. （2022•南京模拟）如图， 和 关于直线 对称， 与 的交点 在直线 上．
（1）图中点 的对应点是点 ， 的对应角是 ；
（2）若 ， ，则 的长为 ；
（3）若 ， ，求 的度数．
【分析】根据 与 关于直线 对称确定对称点，从而确定对称线段、对称角和对称三角形，
利用轴对称的性质即可解决问题；
【解答】解：（1） 与 关于直线 对称，
图中点 的对应点是点 ， 的对应角是 ；故答案为： ， ．
（2） 与 关于直线 对称，
，
，
．
故答案为：3．
（3） ， ，
，
再根据对称性，
，
．
43. 如图，△ABC中，AE＝BE，∠AED＝∠ABC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若AB＝CB，∠AED＝4∠EAD，求∠C的度数．
【分析】（1）要证明BD平分∠ABC，只要证明∠DBC＝∠ABE即可，根据题目中的条件和三角形外
角和内角的关系，可以证明∠DBC＝∠ABE，从而可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和题意，利用三角形内角和可以求得∠C的度数．
【答案】（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠ABC＝∠ABE+∠DBC，
∴∠EAB＝∠DBC，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠ABE，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴BD平分∠ABC；
（2）设∠EAD＝x，则∠AED＝4x，
∵∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠EAB＝∠ABE，BD平分∠ABC，∴∠BAE＝2x，∠ABC＝4x，
∴∠BAC＝3x，
∵AB＝CB，
∴∠BAC＝∠C，
∴∠C＝3x，
∵∠ABC+∠BAC+∠C﹣180°，
∴4x+3x+3x＝180°，
解得，x＝18°，
∴∠C＝3x＝54°，
即∠C的度数是54°．
考点11 等腰三角形与全等三角形综合
44. 在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．
（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；
（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝ AE吗？说明理由．
【分析】（1）成立，根据等腰三角形的性质就可以求出∠BAE＝∠CAE，再证明△ABE≌△ACE就可以
得出结论；
（2）成立，由BF⊥AC，∠BAC＝45°就可以求出AF＝BF，在由条件证明△AEF≌△BCF就可以得出结论．
【答案】解：（1）成立．
理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAE＝∠CAE．
在△ABE和△ACE中， ，∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE＝CE；
（2）成立．
理由：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF．
∴△ABF为等腰直角三角形
∴AF＝BF，
由（1）知AD⊥BC，
∴∠EAF＝∠CBF
在△AEF和△BCF中， ，
∴△AEF≌△BCF（ASA），
∴AE＝BC，
∵BD＝ BC，
∴BD＝ AE．
45. 如图，等腰△ABC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且∠BAC＝∠ADE＝∠ADF＝60°．
（1）在图中找出与∠DAC相等的角，并加以证明；
（2）若AB＝6，BE＝m，求：AF（用含m的式子表示）．
【分析】（1）首先证明△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）在 DE 上截取 DG＝DF，连接 AG，先判定△ADG≌△ADF，得到 AG＝AF，再根据∠AEG＝
∠AGE，得出AE＝AG，进而得到AE＝AF即可解决问题．
【答案】解：（1）结论：∠BDE＝∠DAC．
理由：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵∠ADB＝∠3+∠ADE＝∠1+∠C，∠ADE＝∠C＝60°，∴∠3＝∠1．
（2）如图，在DE上截取DG＝DF，连接AG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠ADE＝∠ADF＝60°，AD＝AD，
∴△ADG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠1＝∠2，
∵∠3＝∠1，
∴∠3＝∠2
∵∠AEG＝60°+∠3，∠AGE＝60°+∠2，
∴∠AEG＝∠AGE，
∴AE＝AG，
∴AE＝AF＝6﹣m．
46. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD、DC．
（1）求证：∠CAD＝∠DBC；
（2）求∠BDC的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和已知角的度数求得∠CAD＝DBC＝20°即可证得结论；
（2）延长AD到点E，使得AE＝BC，证得DBC≌△CAE，设∠CDE＝∠CED＝α，表示出∠BDC＝
∠ACE＝100°+α，然后根据三角形的内角和定理求得已知角即可．
【答案】证明（1）∵AB＝AC，∠BAC＝100°
∴∠ABC＝∠ACB＝40°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠DBC＝20°∵BD＝AB
∴∠ADB＝∠DAB＝80°
∴∠CAD＝20°
∴∠CAD＝∠DBC
（2）延长AD到点E，使得AE＝BC，
∵BD＝AB＝AC，∠CAD＝∠DBC，
∴△DBC≌△CAE，
∴CD＝CE，∠BDC＝∠ACE，
∴∠CDE＝∠CED＝α，
∵∠ADB＝80°，
∴∠BDE＝100°
∴∠BDC＝∠ACE＝100°+α，
∴20°+100°+α+α＝180°，
∴α＝30°，
∴∠BDC＝130°．
47. 在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．
（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：
求证：BE＝AD；
①用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；
②（2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是
BD的中点．
【分析】（1） 根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ACB＝∠DCE，根据全等三角形的性
质即可得到结论①；
根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，根据三角形的内角和即可得到结论；
②（2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，根据全等三角形的性质得到MC＝
BP，同理，CM＝DQ，等量代换得到DQ＝BP，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【答案】解：（1） ∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α，
∴∠ACB＝180°﹣2α，①∠DCE＝180°﹣2α，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，
∵∠ABE＝∠BOA+∠BAO，
∴∠CBE+α＝∠BOA+∠BAO，
∴∠BAO+α+α＝∠BOA+∠BAO，
∴∠BOA＝2α；
（2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，
∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC，∵∠BCA＝∠AMC，
∴∠BCP＝∠CAM，
在△CBP与△ACM中， ，
∴△CBP≌△ACM（AAS），
∴MC＝BP，
同理，CM＝DQ，
∴DQ＝BP，
在△BPN与△DQN中， ，
∴△BPN≌△DQN（AAS），
∴BN＝ND，
∴N是BD的中点．
考点12 翻折变换中的角度问题
48. （2022春•芜湖期末）如图，已知矩形 沿着直线 折叠，使点 落在 处， 交 于 ，
， ，则 的长为
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先根据翻折变换的性质得出 ， ，再设 ，则 ，由全等三
角形的判定定理得出 △ ，可得出 ，在 中利用勾股定理即可求出
的值，进而得出 的长．
【解答】解： △ 由 翻折而成，
， ，
设 ，则 ，
， ，，
在 与 △ 中，
，
△ ，
，
在 中， ，
，
解得： ，
的长为5．
故选： ．
49. （2022春•舞钢市期末）如图，将 沿 的角平分线 所在直线翻折，点 在 边上的落点记
为点 ．已知 ， ，那么 等于
A． B． C． D．
【分析】根据折叠的性质可得 ， ，然后根据 ， ，证得
，根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．
【解答】解：根据折叠的性质可得 ， ．
， ，
．
，
．
．
故选： ．
50. （2021秋•上杭县期末）如图，将一张长方形纸片 沿对角线 折叠后，点 落在点 处，连接
交 于点 ，再将三角形 沿 折叠后，点 落在点 处，若 刚好平分 ，那么的度数为
A． B． C． D．
【 分 析 】 根 据 折 叠 的 性 质 可 得 ， ， 由 角 平 分 线 的 定 义 可 得
， ，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案．
【解答】解：由折叠可知， ， ，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选： ．
