文档内容
班级 姓名 学号 分数
第五章 分式与分式方程（B 卷·能力提升练）
（时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案中是正确的，每小题2分，共20分）
1. 下列式子是分式的是
A． B． C． D．
【分析】根据分式的定义解答即可，一般地，如果 ， 表示两个整式，并且 中含有字母，那么式子
叫做分式．
【解答】解： 、 是单项式，是整式，故 不符合题意；
、 是单项式，是整式，故 不符合题意；
、 不是整式，也不是分式，当 时，是二次根式，故 不符合题意；
、 是分式，故 符合题意．
故选： ．
2. 下列式子是分式的是
A． B． C． D．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解： 、 ， 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
的分母中含有字母，因此是分式．
故选： ．
3. 下列各式： ， ， ， 中，是分式的共有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解： ， ， 的分母中含有字母，因此是分式；
的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
故分式有3个．
故选： ．
4. 把分式 约分的结果是
A．1 B． C． D．
【分析】根据分式的基本性质，把 分解因式，然后约分化简后选出答案．
【解答】解： ．
故选： ．
5. 下列各式是最简分式的是
A． B．
C． D．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因
式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解： 、该分式的分子、分母中含有公因式 ，则它不是最简分式，故本选项不符合题意；
、该分式的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式，故本选项符合题意；
、该分式的分子、分母中含有公因式 ，则它不是最简分式，故本选项不符合题意；
、该分式的分子、分母中含有公因式 ，则它不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选： ．6. 下列说法错误的是
A．当 时，分式 无意义
B．当 时，分式 的值为正数
C．当分式 时，
D．分式 与 的最简公分母是
【分析】根据分式无意义的条件判断 ；根据分式值为正数的条件判断 ；根据分式的值为0的条件判断
；根据确定最简公分母的方法判断 ．
【解答】解： 、当 时，分式 无意义，故本选项说法正确，不符合题意；
、当 时，分式 的值为正数，故本选项说法正确，不符合题意；
、当分式 时， ，故本选项说法错误，符合题意；
、分式 与 的最简公分母是 ，故本选项说法正确，不符合题意；
故选： ．
7. 一块麦田 亩，甲收割完这块麦田需 小时，乙比甲少用0.5小时就能收割完这块麦田，两人一起收割完
这块麦田需要的时间是
A． B．
C． D．
【分析】先得到乙收割完这块麦田需要的时间，根据工作总量 工作时间 工作效率，分别求出甲、乙的
工作效率，再用工作总量 甲、乙的工作效率和求出两人一起收割完这块麦田需要的工作时间．
【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是 ，
甲的工作效率是 ，乙的工作效率是 ，
故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为 ．
故选： ．
8. 要使分式 有意义，则 的值是
A． B． C． D．
【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零，进而得出答案．
【解答】解： 分式 有意义，
．
解得 ．
故选： ．
9. 若分式 的值为零，则 的值为
A． B．5 C．0 D．
【分析】根据分式值为0的条件列出方程，求出未知数的值即可．
【解答】解： 分式 的值为零，
，
，
故选： ．
10. 已知 ，则 的值是
A． B． C． D．
【分析】先利用倒数关系求出 的值，进而得出答案．
【解答】解：，
的值为 ，
故选： ．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 在式子① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ 中，分式有 个．
【分析】根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式．
【解答】解：在式子① ；② ；④ ；⑤ 的分母中含有字母，都是分式，共有4个．
故答案是：4．
12. 已知一组按规律排列的分式： ， ， ，第 个式子是 ．
【分析】根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母得变化得出分母变化的规律，根据分数符号的变
化规律得出分数符号的边化规律，即可得到该组式子的变化规律，进而可得出结论．
【解答】解：分子底数为 ，其指数为1，3，5， ，其规律为 ，
分母底数为 ，其指数为1，2，3，4， ，其规律为 ，
分数符号为 ， ， ， ，
故第 个式子是 ．
故答案是： ．
13. 请你写出一个值恒为正数的分式 ．
【分析】根据题意列出代数式即可．注意答案不唯一．
【解答】解：此题是一个开放性试题，答案不唯一．如 ，
故答案为： ．
14. 约分： ．
【分析】分子、分母的公因式是 ，通过约分进行化简．【解答】解： ．
故答案为： ．
15. 有分别写有 ， ， 的三张卡片，若从中任选一个作为分式 的分子，使得分式为最简分式，
则应选择写有 的卡片．
【分析】直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义分析得出答案．
【解答】解： ，
，
， 都不是最简分式，
无法化简，是最简分式，
故使得分式为最简分式，则应选择写有 的卡片．
故答案为： ．
16. 分式 和 的最简公分母是 ．
【分析】根据找最简公分母的方法找出即可．
【解答】解：分式 和 的最简公分母是 ，
故答案为： ．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17. 约分：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）将找到分子、分母的公因式，再约分即可得；
（2）先将分子、分母因式分解，再约去公因式即可得．【解答】解：（1）原式 ；
（2）原式 ．
18. 已知：代数式 ．
（1）当 为何值时，该式无意义？
（2）当 为何整数时，该式的值为正整数？
【分析】（1）利用分式无意义的条件，再解即可；
（2）根据题意可得 或 ，再解即可．
【解答】解：（1）由题意得： ，
解得： ；
（2） 代数式 的值为正整数，
或 ，
解得： 或0．
19. 已知分式 ， ， 是这两个分式中分母的公因式， 是这两个分式的最简公分母，且 ，试
求这两个分式的值．
【分析】找出两分式中分母的公因式确定出 ，找出最简公分母确定出 ．
【解答】解：两分式分母的公因式为 ，最简公分母为 ，
，即
则 ．
．
四、解答题：（第20题10分，第21题12分，共22分）
20. 下列分式， ， ， ， ， 其中 ， 均不为0．
（1）将任意一个分式除以后一个分式，请写出你发现的结论；（2）请写出该列分式的第六个分式；
（3）若 为正整数，请写出第 个分式，并验证（1）中得到的结论．
【分析】找规律后计算求解．
【解答】解：（1） ．
发现：将任意一个分式除以后一个分式所得结果均为：
（2）根据题意，第六个分式为： ．
（3）该列分式，奇数项为正，偶数项为负，分子是 ，分母是 ．
第 个分式为： ．
．
21. 自学下面材料后，解答问题
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式，如： ； 等．那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：
（1）若 ， ，则 ；若 ， ，则
（2）若 ， ，则 ；若 ， ，则
反之：（1）若 ，则 或
（2）若 ，则 或 ．
根据上述规律
（1）求不等式 的解集．
（2）直接写出一个解集为 或 的最简分式不等式．
【分析】根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，解决问题．
【解答】解：（2） 两数相除，同号得正，异号得负，，
或
故答案为： ，
（1）由题意得： 或
第一个的解集为 ，第二个不等式组无解，则原分式不等式的解集为 ．
（2） 解集为 或 ，
（不唯一）．
五、解答题：（本题12分）
22. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如 ， ，
则 和 都是“和谐分式”．
（1）下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）；
① ；② ；③ ；④
（2）将“和谐分式 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：
．
（3）应用：已知方程组 有正整数解，求整数 的值．
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义可判定求解；
（2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解；
（3）先解方程组，再根据方程组的解为正整数可求解．【解答】解：（1）① ，故是和谐分式；
② ，故不是和谐分式；
③ ，故是和谐分式；
④ ，故是和谐分式；
故答案为①③④；
（2） ，
故答案为 ；
（3）解方程组 得 ，
方程组 有正整数解，
即 且 能被5整除，
解得 或 ．
六、解答题：（本题12分）
23. 阅读理解
材料1：为了研究分式 与分母 的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
0 1 2 3 4
无意义 1 0.5 0.25
从表格数据观察，当 时，随着 的增大， 的值随之减小，并无限接近0；当 时，随着 的增大，的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做
真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化
成 整 式 和 真 分 式 的 代 数 和 ， 像 这 种 恒 等 变 形 ， 称 为 将 分 式 化 为 部 分 分 式 ． 如 ：
．
根据上述材料完成下列问题：
（1）当 时，随着 的增大， 的值 减小 （增大或减小）；
当 时，随着 的增大， 的值 （增大或减小）；
（2）当 时，随着 的增大， 的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当 时，求代数式 值的范围．
【分析】（1）由 ， 的变化情况，判断 ， 的变化情况即可；
（2）由 ，即可求解；
（3）由 ，再结合 的取值范围即可求解．
【解答】解：（1） 当 时， 随着 的增大而减小，
随着 的增大， 的值减小；
当 时， 随着 的增大而减小，
，
随着 的增大， 的值减小，
故答案为：减小，减小；
（2） ，当 时， 的值无限接近0，
的值无限接近2；
（3） ，
又 ，
，
．
故答案为： ．
七、解答题：(本题12分)
24. 已知 ， 两港之间的距离为150千米，水流速度为5千米 时．
（1）若一轮船从 港顺流航行到 港所用的时间是从 港逆流航行到 港所用时间的 ，求该轮船在静
水中的航行速度；
（2）记某船从 港顺流航行到 港，再从 港逆流航行返回到 港所用的时间为 ；若该船从 港航行
到 港再返回到 港均为静水航行，所用时间为 ，请比较 与 的大小，并说明理由．
【分析】（1）设轮船在静水中的航行速度为 千米 时，则顺流速度为 千米 时，逆流速度为
，列分式方程 即可求解；
（2）设轮船在静水中的速度为 千米 时，由题意知 ， ，比较 的大小即可．
【解答】（1）解：设轮船在静水中的航行速度为 千米 时，则顺流速度为 千米 时，逆流速度为
，根据题意得： ，
解得 ，
经检验 是原方程的解，
答：该轮船在静水中的航行速度为25千米 时；
（2）解： ，理由如下：
设轮船在静水中的航行速度为 千米 时，
根据题意得： ， ，
，
，
，
即 ．
