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第五章 投影与视图
一、选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分)
1.下列几何体中,主视图是矩形的是 ( )
【答案】A
2.一个立体图形的三视图如图所示,则该立体图形是( )
A.圆锥 B.圆柱 C.长方体D.球
【答案】B
3.下列图中是太阳光下形成的影子的是 ( )
【答案】A
【解析】 由于是两个物体在太阳光下形成的影子,所以影子的方向相同,影子的长度与物体
的高度成正比.故选A.
4.如图,位似图形由三角板与其在灯光照射下的中心投影组成,已知灯到三角板的距离与灯到
墙的距离的比为2∶5,且三角板的一边长为8 cm,则投影三角形的对应边长为 ( )
A.20 cm B.10 cm C.8 cm D.3.2cm【答案】A
【解析】 由于三角板与其在灯光照射下的投影是位似图形,且相似比为2∶5,三角板的一边
2
长为8 cm,所以投影三角形的对应边长为8÷ =20(cm).故选A.
5
5.如图是一根空心方管,在研究物体的三种视图时,小明画出的该空心方管的主视图与俯视图
分别是( )
A.(1)(3) B.(1)(4) C.(2)(3) D.(2)(4)
【答案】D
【解析】 主视图是正方形且中间的空心部分看得见,所以主视图是(2);俯视图是长方形且
中间的空心部分看不见,因此要画成虚线,所以俯视图是(4).故选D.
6.如图1为五角大楼的示意图,图2是它的俯视图,小红站在地面上观察这个大楼,若想看到大
楼的两个侧面,则小红应站的区域是( )
A.A区域
B.B区域
C.C区域
D.三区域都可以
【答案】C
【解析】 由题图可知,A 区域可以看到一个侧面,B区域可以看到3个侧面,C区域可以看到
两个侧面.故选C.
7.如图是某几何体的三种视图,则该几何体可以是 ( )【答案】C
【解析】 由主视图中矩形的内部有两条虚线,可知A,B项不符合题意;根据俯视图,可知该
几何体的上底面不是梯形,而是一个不规则的四边形,所以D项不符合题意.故选C.
8.如图是由6个大小相同的小立方块组成的几何体,将小立方块①移走以后,所得几何体 (
)
A.主视图改变,左视图改变
B.俯视图不变,左视图改变
C.俯视图改变,左视图改变
D.主视图改变,左视图不变
【答案】D
【解析】 将小立方块①移走前的主视图中每列正方形的个数依次为1,2,1;小立方块①移走
后的主视图中每列正方形的个数依次为1,2.发生改变.将小立方块①移走前的左视图中每列
正方形的个数依次为2,1,1;小立方块①移走后的左视图中每列正方形的个数依次为2,1,1.没
有发生改变.将小立方块①移走前的俯视图中每列正方形的个数依次为1,3,1;小立方块①移
走后的俯视图中每列正方形的个数依次为1,3.发生改变.故选D.
9.如图,该直三棱柱的底面是一个直角三角形,且AD=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,则下列说法正
确的是 ( )
A.直三棱柱的体积为12 cm3
B.直三棱柱的表面积为24 cm2
C.直三棱柱的主视图的面积为11 cm2
D.直三棱柱的左视图的面积为8 cm2
【答案】A
1
【解析】 直三棱柱的体积为 ×4×3×2=12 (cm3),故A项正确;在Rt△ABC中,AC=
2
1
√AB2+BC2=5 cm,直三棱柱的表面积为2×4+2×3+2×5+ ×3×4×2=36 (cm2),故B项错误;
2
直三棱柱的主视图是长为5 cm、宽为2 cm的矩形,面积为2×5=10 (cm2),故C项错误;易得
12 12
△ABC中AC边上的高为 cm,故直三棱柱的左视图是长为 cm、宽为2 cm的矩形,面
5 5
12 24
积为 ×2= (cm2),故D项错误.故选A.
5 510.已知某几何体的三种视图如图所示,其中左视图是一个等边三角形,则该几何体的体积等
1
于( )(参考公式:棱锥的体积V= Sh,其中S为棱锥的底面积,h为底面对应的高)
3
A.12√3
B.16√3
C.20√3
D.32√3
【答案】C
【解析】 根据题中三种视图,可知该几何体是由底面边长为4、高为6的正三棱柱去掉一
1 1
个底面边长为4、高为3的三棱锥得到的,如图所示.所以该几何体的体积为 ×4×2√3×6- ×
2 3
1
×4×2√3×3=20√3.故选C.
2
二、填空题(本大题共6小题,每题3分,共18分)
11.如图是一个球吊在空中,当发光的手电筒由远及近时,落在竖直墙面上的球的影子会
.(填“逐渐变大”“逐渐变小”)
【答案】逐渐变大
12.一张桌子上摆放了若干个碟子,从三个方向看,三种视图如图所示,则这张桌子上共有碟子
个.【答案】12
【解析】 由题中三种视图,易得三摞碟子的个数分别为3,4,5,所以这张桌子上共有碟子12
个.
13.如图,在A时测得某树的影长为4米,在B时测得该树的影长为9米,若两次日照的光线互
相垂直,则该树的高度为 米.
【答案】6
ED
【解析】 如图,在△EFC中,∠ECF=90°,ED=9 米,FD=4米.易得Rt△EDC∽Rt△CDF,∴
CD
CD 9 CD
= ,即 = ,∴CD=6米.
FD CD 4
14.如图是一个由若干个相同的小立方块搭成的几何体的主视图与左视图,那么下列图形中可
以作为该几何体的俯视图的序号是 .
【答案】①②③【解析】 由主视图和左视图,可知从正面看,该几何体的第1行第1列有3个小立方块,第2
行第1列有2个小立方块,第1行第2列有1个小立方块或第2行第2列有1个小立方块或这
两个位置各有1个小立方块.故可以作为该几何体的俯视图的是①②③.
15.如图是一个正六棱柱的主视图和左视图,则图中的a的值为 .
【答案】√3
【解析】 根据题中该正六棱柱的主视图和左视图画出其俯视图,如图所示,连接BC,过点A
1
作AD⊥BC于点D,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,所以∠ACD=30°,可得AD= AC,从而易
2
知2AD+AC=4,所以AC=2,AD=1.在Rt△ACD中,由勾股定理可得CD=√3,故a=√3.
16.圆桌面(桌面中间有一个直径为0.4 m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射
到平行于地面的桌面后, 在地面上形成如图所示的圆环形阴影.已知桌面直径为1.2 m,桌面
离地面1 m,若灯泡离地面3 m,则地面圆环形阴影的面积是 m2.
【答案】0.72π
【解析】 设阴影部分大圆半径为R m,小圆半径为r m,根据相似三角形对应边的比等于对
1.2 3-1 0.4 3-1
应高的比,有 = , = ,解得R=0.9,r=0.3,所以S =πR2-πr2=π(R2-r2)=π(0.92-
阴影
2R 3 2r 3
0.32)= 0.72π(m2).三、解答题(本大题共 5小题,共52分)
17.(8分)如图所示为一直三棱柱的主视图和左视图.
(1)请补画出它的俯视图,并标出相关数据;
(2)根据图中所标的尺寸(单位:cm),计算这个几何体的表面积.
【解析】 (1)该直三棱柱的俯视图如图所示.
(2)由勾股定理得,主视图中三角形的斜边长为10 cm,
1
∴S =2× ×8×6+(8+6+10)×3=48+72=120(cm2).
表
2
18.(10分)如图,某同学想测量旗杆的高度,他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时其影长
为1.5米,在同一时刻测量旗杆的影长时,因旗杆靠近一楼房,影子不全落在地面上,有一部分
落在墙上,他测得落在地面上的影长为21米,落在墙上的影高为2米,求旗杆的高度.
【解析】 如图(示意图),连接AC并延长交BD的延长线于点E,其中CD=2米,BD=21米,
由CD∶DE=1∶1.5,得DE=3米.
所以BE=BD+DE=21+3=24(米).
因为AB∶BE=1∶1.5,即AB∶24=1∶1.5,
所以AB=16米,
所以旗杆的高度为16米.
19.(10分)用小立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如图所示,俯视图中小正方形中
字母表示该位置上小立方块的个数,请解答下列问题:(1)a= ,b= ,c= ;
(2)这个几何体最少由 个小立方块搭成,最多由 个小立方块搭成;
(3)当d=2,e=1,f=2时,画出这个几何体的左视图.
【解析】 (1)3 1 1
(2)9 11
(3)左视图如图所示.
20.(10分)如图,花丛中有一路灯AB,在灯光下,大华在D点处的影长DE=3 m,沿BD方向行走
至G点,DG=5 m,此时大华的影长GH=5 m,如果大华的身高为1.6 m,求路灯AB的高度.
【解析】 设BD=x m,
CD DE 3
由CD∥AB,可得△CDE∽△ABE,∴ = = ,
AB BE 3+x
FG GH 5
同理,△FGH∽△ABH,∴ = = ,
AB BH 5+5+x
3 5
∴ = ,解得x=7.5,
3+x 10+x
CD 1.6 3
∴ = = ,∴AB=5.6 m,
AB AB 3+7.5
∴路灯AB的高度为5.6 m.
21.(14分)夜晚,小明在路灯下散步.已知小明身高1.5 m,路灯的灯柱高4.5 m.
(1)如图1,若小明在相距10 m的两路灯AB,CD之间行走(不含两端),他前后的两个影子长分
别为FM=x m,FN=y m,试求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(2)如图2,若小明在灯柱PQ前,朝着影子的方向(如图箭头),以0.8 m/s的速度匀速行走,试求
他的影子的顶端R在地面上移动的速度.图1 图2
【解析】 (1)∵EF∥AB,
∴∠MEF=∠A,∠MFE=∠B,
∴△MEF∽△MAB,
MF EF 1.5 1
∴ = = = ,
MB AB 4.5 3
x 1
∴ = ,∴MB=3x,∴BF=3x-x=2x.
MB 3
同理,DF=2y.
∵BD=10,BF+FD=BD,
∴2x+2y=10,
∴y=-x+5.
∵当小明接近路灯AB时,影长FM接近0,当小明接近路灯CD时,影长FM接近5,
∴0
