文档内容
第五章 生活中的轴对称 章末检测卷（北师大版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021·江苏九年级二模）如图的四个图案中，具有一个共有的性质，那么在下列各数中也满足上述性
质的是（ ）
A．212 B．444 C．535 D．808
【答案】D
【分析】先确定每个图形的性质，然后找出他们的共同性质，再判断四个选项中是轴对称的即可．
【详解】解：∵五角星是轴对称和旋转对称图形，三圆两辆相切图形是轴对称图形和旋转对称图形，
心形是轴对称图形，箭头是轴对称图形，∴他们的共有性质是轴对称性质，
在四个选项中只有D是轴对称图形．故选择D．
【点睛】本题考查图形的性质，共同性质，掌握轴对称性质是解题关键．
2．（2021·广东七年级模拟）小明将一正方形纸片画分成16个全等的小正方形，且如图所示为他将其中四
个小正方形涂成灰色的情形．若小明想再将一小正方形涂成灰色，使此纸片上的灰色区域成为轴对称图形，
则此小正方形的位置为何？（ ）.A．第一列第四行 B．第二列第一行 C．第三列第三行 D．第四列第一行
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的性质和纸片上的四个灰色小正方形，确定出对称轴，即可得出小正方形的位置．
【详解】解：根据题意得：涂成灰色的小方格在第二列第一行．故选B．
点评：此题考查了利用轴对称设计图案，解答此题的关键是根据题意确定出对称轴，画出图形．
3．（2021·河南省实验中学八年级月考）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距
离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶
点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距
离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．
【详解】∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适，故选：D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用，理解基本性质是解题关键．
4．（2021•福山区初二期末）在下列结论中：
（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【点拨】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都
相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．
【解析】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是 180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角
是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形
中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．
（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形
是等边三角形．该结论错误．（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题．
5．（2021·河北八年级期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球
（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【答案】B
【分析】利用轴对称画图可得答案．
【详解】解：如图所示，
，
球最后落入的球袋是2号袋，故选：B．
【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形．
6．（2020·宁波市海曙区储能学校初二期末）若 中刚好有 ，则称此三角形为“可爱三角
形”，并且 称作“可爱角”．现有 一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的
“可爱角”应该是（ ）．
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 或
【答案】C
【分析】根据三角形内角和为180°且等腰三角形的两个底角相等，再结合题中一个角是另一个角的2倍即可求解．
【解析】解：由题意可知：设这个等腰三角形为△ABC，且B2C，
情况一：当∠B是底角时，则另一底角为∠A，且∠A=∠B=2∠C，
由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°，
∴5∠C=180°，∴∠C=36°，∠A=∠B=72°，此时可爱角为∠A=72°，
情况二：当∠C是底角，则另一底角为∠A，且∠B=2∠A=2∠C，
由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°，∴4∠C=180°，即∠C=45°，
此时可爱角为∠A=45°，故选：C．
【点睛】本题借助三角形内角和考查了新定义题型，关键是读懂题目意思，熟练掌握等腰三角形的两底角
相等及三角形内角和为180°．
7．（2021·浙江宁波市·八年级期末）如图， 中， 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ，
的垂直平分线分别交 、 于点 、 ，若 ，则 的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＋∠B，根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三
角形的性质得到∠EAB＝∠B，同理，∠GAC＝∠C，计算即可．
【详解】解：∵∠BAC＝100°，∴∠C＋∠B＝180°−100°＝80°，
∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理：∠GAC＝∠C，
∴∠EAB＋∠GAC＝∠C＋∠B＝80°，∴∠EAG＝100°−80°＝20°，故选B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线
段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．（2021·江苏南通市·八年级期末）如图①，已知 ，用尺规作它的角平分线（如图②）．尺规作图具体步骤如下，
第1步：以 为圆心，以 为半径画弧，分别交射线 于点 ；
第2步：分别以 为圆心，以 为半径画弧，两弧在 内部交于点 ；
第3步：画射线 ．射线 即为所求．下列说法正确的是（ ）
A． 有最小限制， 无限制 B． 的长
C． 的长 D．连接 ，则 垂直平分
【答案】B
【分析】直接根据尺规作图作角平分线的方法即可得出结论 的长．
【详解】解：以B为圆心画弧时，半径 必须大于0，分别以D，E为圆心，以 为半径画弧时， 必须
大于 DE的长，否则两弧没有交点．故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的作图方法，熟练掌握作角平分线的步骤及方法是解题的关键．
9．（2021•南宁八年级期末）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，
垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25
【答案】C【解答】解：过P作BC的平行线交AC于F，∴∠Q＝∠FPD，
∵△ABC是等边三角形，∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，
∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF，
∵AP＝CQ，在△PFD中和△QCD中， ，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，
∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，∴AE＝EF，∴AE+DC＝EF+FD，∴DE＝ ，
∵AC＝2，∴DE＝1，故选：C．
10．（2021·南阳市第三中学八年级月考）如图，等腰 中， ， ， 是
等边三角形，点 是 的角平分线上一动点，连接 、 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】B
【分析】连接BP，根据AP垂直平分BC，即可得到CP=BP，再根据当B，P，D在在同一直线上时，
BP+PD的最小值为线段BD长，即可得出PD+PC的最小值为10．
【详解】解：如图，连接BP，
∵点P是∠BAC的角平分线上一动点，AB=AC，∴AP垂直平分BC，∴CP=BP，∴PD+PC=PD+PB，∴当B，P，D在在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，
又∵△ABD是等边三角形，AB=BD=10，∴PD+PC的最小值为10，故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，最短路
线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作
点关于某直线的对称点．
11．（2021·浙江九年级专题练习）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边
上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG＝118°，则∠FPG的度数为（
）
A．54° B．55° C．56° D．57°
【答案】C
【分析】根据四边形ABCD是长方形，可得AD∥BC，得∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，所以可得
∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，由折叠可得EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，可得
∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，进而可得∠FPG的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，
∴∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，
由折叠可知：EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，
∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝118°，
∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，
∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣236°＝124°，
∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣124°＝56°．故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
12．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图， ， ， 三点在同一直线上， ，
都是等边三角形，连接 ， ， ：下列结论中正确的是（ ）
①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③ 平分 ；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】利用等边三角形的性质，三角形的全等，逐一判断即可．
【详解】∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠PCQ =∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD =∠BCE，
∴△ACD≌△BCE， ∴①的说法是正确的；
∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC =∠QEC，
∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，
∴PC=QC，∴△CPQ是等边三角形；∴②的说法是正确的；
∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE， ，
过点C作CG⊥PD，垂足为G，CH⊥QE，垂足为H，
∴ ，∴CG=CH，∴ 平分 ，∴③的说法是正确的；
无法证明△BPO≌△EDO．∴④的说法是错误的；故答案为①②③，故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形的全等与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握等
边三角形的性质，灵活进行三角形全等的判定，活用角的平分线性质定理的逆定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2020·湖南永定·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三
等分角仪”能三等分任何一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可
绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=78°，则∠AOB等于__________度．【答案】26
【分析】根据题意易得∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC，则有∠DCE=∠DEC =2∠O，∠BDE=3∠O，然后进
行求解即可．
【解析】解：∵OC=CD=DE，∴∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠DEC =2∠O，∴∠BDE=∠O+∠DEC=3∠O，∵∠BDE=78°，∴∠O=26°；故答案为26．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形外角
的性质是解题的关键．
14．（2021·无锡市八年级期中）如图，等边 ABC的边长为8cm，点P从点C出发，以1cm/秒的速度由C
向B匀速运动，点Q从点C出发，以2cm/秒△的速度由C向A匀速运动，AP、BQ交于点M，当点Q到达
A点时，P、Q两点停止运动，设P、Q两点运动的时间为t秒，若∠AMQ＝60°时，则t的值是 秒。
【答案】
【分析】由等边三角形性质可得： ， ，根据题意可得：
， ，进而可得： ， ，根据三角形外角性质可得：
，即可证明： ，即可求得 的值．
【解析】解： 是等边三角形， ， ，
由题意，得： ， ， ， ，
， ， ，在 和 中， ， ，
， ，解得： （秒 ．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形判定和性质，解题关键是运用方程思想建立方程求解．
15．（2021·山东潍坊市·八年级期末）如图，在 ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长
为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交
于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列结论正确有 （填序号）
①AD平分∠BAC；②．∠ADC=60°；③．点D在AB的垂直平分线上；④． ＝1：2
【答案】①②③
【分析】由作图可得： 平分 可判断①，再求解 可得
可判断②，再证明 可判断③，过 作 于 再证明 再
利用 ，可判断④ 从而可得答案．
【详解】解：
由作图可得： 平分 故①正确；故②正确；
在 的垂直平分线上，故③正确；
过 作 于 平分
故④不正确；
故选：①②③
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，
等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
16．（2021·四川成都铁路中学八年级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分
线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC
的数量关系是___．
【答案】
【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到 ；再根据三
角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到 ，进而得出 和 的数
量关系．【详解】解： 平分 ， 平分 ， ， ，
，即 ；
如图，连接 ． 点 是这个三角形三边垂直平分线的交点，
， ， ， ，
， ，
，
，故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是
解题的关键．
17．（2021·成都市·初二期末）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP =P P=P P=…
1 1 2 2 3
=P P =P A，则∠A的度数是 ．
13 14 14
【答案】12°．
【解析】设∠A=x，∵AP =P P=P P=…=P P =P A，∴∠A=∠AP P=∠AP P =x．
1 1 2 2 3 13 14 14 2 1 13 14
∴∠PPP=∠P P P =2x，∠PPP=∠P P P =3x，……，∠PPP=∠PPP=7x．
2 1 3 13 14 12 2 3 4 13 12 10 7 6 8 8 9 7
∴∠AP P=7x，∠AP P=7x．在△AP P 中，∠A+∠AP P+∠AP P=180°，即x+7x+7x=180°．
7 8 8 7 7 8 7 8 8 7
解得x=12°，即∠A=12°．
18．（2021·北京房山区·八年级期末）已知等边三角形 ．如图，（1）分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；（2）作直线 交
于点D；（3）分别以点A，C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于H，L两点；
（4）作直线 交 于点E；（5）直线 与直线 相交于点O；
（6）连接 ， ， ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
① ；② ；③ ；④ ，正确的是____________．
【答案】①③④
【分析】根据题意可得点O是三边中垂线的交点，从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项
分析即可．
【详解】由题可得点O为等边三角形ABC三边中垂线的交点，即：MN⊥AB，HL⊥AC，
∴根据等边三角形的性质可得：∠DAO=∠EAO=30°，AD=AE，∴△ADO≌△AEO，∴OD=OE，
又根据中垂线的性质得∠EAO=∠ECO=30°，∴在Rt COE中，OC=2OE，∴OC=2OD，故①正确；
在Rt ABE中，显然AB=2AE，而OA＞AE，∴AB≠△2OA，故②错误；
根据中△垂线性质可得OA=OB，OA=OC，∴OA=OB=OC，故③正确；
在四边形ADOE中，∠ADO=∠AEO=90°，∠DAE=60°，
∴∠DOE=360°-90°×2-60°=120°，故④正确；故答案为：①③④．
【点睛】本题考查等边三角形的性质以及垂直平分线的画法和性质，以及全等三角形判定与性质，理解题
意中所作图形的本质是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（2022.绵阳市七年级期中） 如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
的
（1）画出△ABC关于直线MN 对称图形△A′B′C′；
（2）直接写出线段BB′的长度；（3）直接写出△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）6；（3）
【分析】（1）由轴对称的性质，首先连接对称点，然后连接线段即可；（2）由作出的图，查格子数目直
接可求BB'；（3）利用割补法△ABC的面积＝长方形面积-三个直角三角形面积．
【详解】（1）如图：（2）由图可求BB'＝6；（3） ．
【点睛】本题考查了轴对称图形的做法，轴对称图形的性质，和割补法求组合图形的面积，将求△ABC的
面积转化为求长方形面积-三个直角三角形面积，是解决本题的关键．
20．（2021·广西贵港市·八年级期末）（1）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法及证明过程）：如图，已知点 在 内，分别在 、 边上求作点 和点 ，使 的周长最小．
（2）如图直线l ，l 表示一条河的两岸，且l ∥l ，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄 A
1 2 1 2
经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
【答案】见解析
【分析】（1）步骤：①作P关于AB的对称点P．②作P关于BC的对称点P．③连接PP．④PP 与
1 2 1 2 1 2
AB的交点就是E，PP 与BC的交点就是F． 即为所求．（2）先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河
1 2
岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，即可得出答案．
【详解】（1）如图： 即为所求，
注：①作 关于 的对称点 ；②作 关于 的对称点 ；③连接PP．
1 2
④PP 与AB的交点就是E，PP 与BC的交点就是F．
1 2 1 2
（2）如图，先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD
垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．
理由：由作图过程可知，四边形ACDA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，
线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，轴对称等知识，平移变换以及利用轴对称解决最短路径问题，解题的
关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.（2021•赫章县八年级期末）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于
点Q，PQ＝3，PE＝1．（1）求证：AD＝BE；（2）求AD的长．
【点拨】（1）根据等边三角形的三条边都相等可得AB＝CA，每一个角都是60°可得，∠BAE＝∠ACD＝
60°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CAD＝∠ABE，然后求出∠BPQ＝60°，再根据直角三角形两锐角
互余求出∠PBQ＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BP＝2PQ，再根据
AD＝BE＝BP+PE代入数据进行计算即可得解．
【解析】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝CA＝BC，∠BAE＝∠ACD＝60°；
在△ABE和△CAD中， ，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AD＝BE；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，∴∠CAD＝∠ABE，
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAE＝60°；
∵BQ⊥AD，∴∠AQB＝90°，∴∠PBQ＝90°﹣60°＝30°，
∵PQ＝3，∴在Rt△BPQ中，BP＝2PQ＝6，
又∵PE＝1，∴AD＝BE＝BP+PE＝6+1＝7．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于
斜边的一半，熟记性质并求出BP＝2PQ是解题的关键．
22．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，在 中， ， ， ，垂
足为 点， 平分 交 于点 ，交 于点 ． 点 为 的中点，连接 交 于点 ．
（1）求 的度数；（2） ．【答案】（1）67.5°；（2）见解析．
【分析】（1）由 ，可得 ，再利用三角形的内角和定理可得：
从而可得答案；
（2）先证明 ≌ ，可得 ， 连接 ，由 ，点 为 的中点，证
明 垂直平分 ，再求解 证明 从而可得结论．
【详解】解：（1） ∵ ，∴
∵ ∴ ．
（2） ∵ ， 为垂足，∴
∵ ，∴ ，∴ ,∴ ，
又∵ ， 平分 ，∴ ， ∴ ，
, ∴ ,
在 和 中 ∴ ≌ ，∴ ，连接 ，∵ ，点 为 的中点， ∴ 垂直平分 ，
又∵点 在 上，∴ ，
平分 ， ∴ ,
∴ ,
又∵ ，∴ ， ∴ ，
∵ ，∴ ．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与
性质，掌握以上知识是解题的关键．
23．（2020·东北师大附中明珠学校八年级期中）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的
部分内容．
线段垂直平分线：我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN
是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与
PB完全重合．由此即有：
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点求证：PA＝PB．
分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB．（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程；
（2）如图②，在△ABC中，直线l，m，n分别是边AB，BC，AC的垂直平分线．
求证：直线l、m、n交于一点；（请将下面的证明过程补充完整）
证明：设直线l，m相交于点O．
（3）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点
E，若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5
【分析】（1）证明△PAC≌△PBC即可解决问题．（2）如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、
BO、CO．用线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可．（3）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角
形即可．
【详解】证明：（1）如图①中，
∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．
在△PAC和△PBC中， ，∴△PAC≌△PBC（SAS），∴PA＝PB．
（2）如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、BO、CO．
∵直线l是边AB的垂直平分线，∴OA＝OB，又∵直线m是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∴OA＝OC，
∴点O在边AC的垂直平分线n上，∴直线l、m、n交于点O．
（3）解：如图③中，连接BD，BE．
∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，
∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，
∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，
∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，
∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，
∵AC＝15，∴DE＝ AC＝5．故答案为5．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三
角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（2020·广西南宁市·八年级期末）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射
线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC
于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3．
【分析】（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三
角形的性质证明结论；（2）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明
△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可；（3）在BD上截取BH＝BG，连接OH，证明
△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝
∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可．
【详解】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，
∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，
在△BCE和△DCF中， ，∴△BCE≌△DCF（AAS）∴BC＝DC；
（2）解：AD﹣AB＝2BE，理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，AE＝AF，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE，
在△BCE和△DCF中， ，∴△BCE≌△DCF（AAS），∴DF＝BE，
∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，∴AD﹣AB＝2BE；
（3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH，
∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB在△OBH和△OBG中， ，∴△OBH≌△OBG（SAS）∴∠OHB＝∠OGB，
∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，∴点O到AD，AB，BD的距离相等，∴∠ODH＝
∠ODF，
∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，∴∠DOH＝∠DAB＝60°，
∴∠GOH＝120°，∴∠BOG＝∠BOH＝60°，∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF，
在△ODH和△ODF中， ，∴△ODH≌△ODF（ASA），∴DH＝DF，
∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线．
25.（2021.重庆七年级期末）如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得
EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．（1）求证：AB＝GF；（2）若GD═10，AD＝
3，求DC的长度；（3）在（2）的条件下，S ＝7，求△ABC的面积．
△DCF
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）根据AAS证明△ABE≌△GFE，可解答；
（2）根据等腰三角形和平行线的性质得：∠C＝∠DFC，所以DF＝DC，设DC＝x，则AB＝AC＝3+x，
根据DG＝10列方程可解答；（3）连接AF，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得△ADF的面
积，同理得△AFG的面积，由（1）中△ABE≌△GFE，则△ABE与△GFE的面积相等，利用面积和可得
结论．
【详解】（1）证明：∵GD∥BA，∴∠BAE＝∠G，在△ABE和△GFE中，∵ ，∴△ABE≌△GFE（AAS），∴AB＝GF；
（2）解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵GD∥BA，∴∠B＝∠DFC，∴∠C＝∠DFC，∴DF＝DC，
设DC＝x，则AB＝AC＝3+x，∵DG＝10，∴FG+DF＝AB+DC＝10，即3+x+x＝10，∴x＝ ，∴DC＝
；
（3）解：连接AF，∵S ：S ＝AD：DC，∵S ＝7，AD＝3，CD＝ ，
△ADF △CDF △DCF
∴S ：7＝3： ，∴S ＝6，同理得：S ：S ＝DF：FG，即6：S ＝ ： ，∴S ＝
△ADF △ADF △ADF △AFG △AFG △AFG
，
由（1）知：△ABE≌△GFE，∴S ＝S ＝ ，∴S ＝ +6+7＝ ．
△ABF △AFG △ABC
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，同高等底的三角形的面积关系，解题的
关键在于熟悉对应的几何性质定理，并且能够想到利用同高等底三角形的面积比来求三角形面积．
26. （2021.成都市七年级期末）已知： ABC为等边三角形．（1）如图1，点D、E分别为边BC、AC上
的点，且BD＝CE．①求证： ABD≌ BCE；②求∠AFE的度数；（2）如图2，点D为 ABC外一点，
BA、CD的延长线交于点E，连接AD，已知∠BDC＝60°，且AD＝2，CD＝5，求BD的长；
（3）如图3，线段DB的长为3，线段DC的长为2，连接BC，以BC为边作等边 ABC，连接AD，直接写出当线段AD取最大值与最小值时∠BDC的度数．
【答案】（1）①见解析，②60°；（2）7；（3）当AD取最小值时，点T落在线段BD上，∠BDC＝
60°，当AD取最大值时，点T落在BD的延长线上，∠BDC＝120°
【分析】（1）i）根据SAS证明三角形全等即可．ii）利用全等三角形的性质以及三角形的外角的性质即
可解决问题．（2）如图2中，在DB上取一点J，使得CJ＝CD，利用全等三角形的性质证明BD＝AD+DC
即可．（3）如图3中，以CD为边向外作等边 CDT，连接BT．构造全等三角形，证明BT＝AD，求出
BT的取值范围即可解决问题． △
【详解】（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS）．
②解：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠AFE＝∠FBA+∠BAD＝∠FBA+∠CBE＝∠CBA＝60°．
（2）解：如图2中，在DB上取一点J，使得CJ＝CD，
∵∠CDJ＝60°，CJ＝CD，∴△CDJ是等边三角形，
∴∠JCD＝∠ACB＝60°，DJ＝DC＝CJ，∴∠BCJ＝∠ACD，
∵CB＝CA，∴△BCJ≌△ACD（SAS），
∴BJ＝AD，∴BD＝BJ+DJ＝AD+DC＝2+5＝7．
（3）解：如图3中，以CD为边向外作等边 CDT，连接BT．
△∵CT＝CD，CB＝CA，∠TCD＝∠BCA＝60°，∴∠TCB＝∠DCA，
∴△TCB≌△DCA（SAS），∴BT＝AD，
∵CT＝CD＝2，BD＝3，∴3﹣2≤BT≤3+2，
∴1≤BT≤5，∴1≤AD≤5．∴AD的最小值为1，最大值为5．
当AD取最小值时，点T落在线段BD上，∠BDC＝60°，当AD取最大值时，点T落在BD的延长线上，
∠BDC＝120°．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系
等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型
