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第 01 讲 认识分式(13 类热点题型讲练)
1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、无意义、分式值为零、分式值为正（负）、分式值为整数的条
件；
2.了解分式的基本性质，掌握分式的约分、最简分式的概念
知识点01 分式的意义
1.分式的意义
知识点02 分式的值为正或为负
（1）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0
（2）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0
知识点03 分式的基本性质3.分式的基本性质
题型01 分式的识别
【例题】（2023上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）在 ， ， ， ， ， 中分式的个
数有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练】
1．（2023上·湖南永州·八年级统考阶段练习）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·重庆开州·八年级校联考阶段练习）在代数式 中，属于分式的
有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型02 分式有意义的条件
【例题】（2023上·湖南永州·八年级校联考期中）若分式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D．
【变式训练】
1．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）若使分式 有意义，则字母x的满足的条件是
（ ）
A． B． C． 且 D． 或
2．（2023·云南楚雄·统考二模）要使分式 有意义，则 的取值范围为____．题型03 分式无意义的条件
【例题】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）当x__________时，分式 无意义．
【变式训练】
1．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）当 满足条件___________时，分式 没有意义．
2．（2023·山东临沂·统考一模）要使分式 无意义，则x的取值范围是_________．
题型04 分式值为零的条件
【例题】（2023·广东佛山·佛山市南海区南海执信中学校考三模）若分式 的值为0，则x的值为( )
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）若分式 的值为零，则x的值为（ ）
A． B．0 C．3 D．
2．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）若分式 的值为0，则 的取值是
（ ）
A． B． C． D．
题型05 分式的值
【例题】（2023春·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）若 ，则分式 __．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）当a＝1时，分式 的值是______．
2．（2023春·七年级单元测试）已知 ，则分式 的值为______．
题型06 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围
【例题】（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式 的值大于零，则x的取值范围是 ______．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式 的值为负数，x的取值范围是_________．2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知分式 的值是正数，那么 的取值范围是_____．
题型07 求使分式值为整数时未知数的整数值
【例题】（2023春·七年级单元测试）若 表示一个负整数，则整数 ________．
【变式训练】
1．（2023春·山西忻州·八年级统考期中）如果m为整数，那么使分式 的值为整数的m的值为_______．
（写出两个即可）
2．（2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试）已知 的值为正整数，则整数m的值为
_________________________.
题型08 判断分式变形是否正确
【例题】（2023·广东茂名·统考一模）下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试）下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）下列变形中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
题型09 利用分式的基本性质判断分式值的变化
【例题】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果把 中x，y的值都扩大2倍，那么这个分式的
值（ ）
A．不变 B．缩小到原来的 C．扩大4倍 D．扩大2倍
【变式训练】
1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）当 ， 时，若 、 都扩大为原来的10倍，则分式 的值（ ）
A．缩小到原来的 B．扩大到原来的10倍
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的100倍
2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）若把分式 中的 和 都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来值 D．缩小为原来值的
题型10 将分式的分子分母的最高次项化为正数
【例题】（2023春·浙江·七年级专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数
都化为正数．
(1) (2) ．
【变式训练】
1．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子、分母中都不含“ ”：
(1) ； (2) (3) (4)
2．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使
分子、分母的最高次项的系数都是正数．
(1) ； (2) (3) ．
题型11 将分式的分子分母各项系数化为整数
【例题】（2023秋·八年级单元测试）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数．
（1） _________；（2） __________；（3） ________．
【变式训练】1．（2023春·江苏·八年级期中）不改变分式的值，把分式 的分子、分母各项系数都化为整数，
得_____．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）不改变分式 的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成
整数，其结果为______．
题型12 最简分式
【例题】（2023春·山东济南·八年级统考期中）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）下列分式是最简分式的个数为( )
① ；② ；③ ；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型13 约分
【例题】（2023秋·八年级课时练习）约分：（1） _____________；（2）
_____________．
【变式训练】
1．（2023秋·八年级课时练习）已知 ，则 _____________， _____________．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）约分：
（1） ___________；
（2） ___________；
（3） ___________．一、单选题
1．（2024上·福建福州·八年级校考期末）若分式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分是有意义的条件，由分式有意义的条件：分母不为0进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
2．（2024上·浙江台州·八年级统考期末）如果把分式 中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大6倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大3倍
【答案】C
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，
根据题意得出 ，再根据分式基本性质化简即可．
【详解】 ，
把分式 中的m和n都扩大3倍，分式的值不变，
故选：C．
3．（2023上·河南漯河·八年级漯河市实验中学校考阶段练习）在 中，分
式的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】题目主要考查分式的判断，形如 （A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.根据分式的定义即可判断．
【详解】解：在 中， 是分式，共5个，
故选：C．
4．（2023上·湖北十堰·八年级统考期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值
不变；根据分式的基本性质判断即可．
【详解】A项， 和 都是最简分式，其值显然不一定相等，故本项不符合题意；
B项， ，故该选项正确，符合题意；
C项， ，故该选项不正确，不符合题意；
D项， ，计算不正确，故本项不符合题意；
故选：B．
5．（2023上·河北廊坊·八年级统考期末）下列说法错误的是（ ）
A．若式子 没有意义，则x的取值范围是
B．分式 中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值扩大2倍
C．分式 的值不可能等于0
D．若 表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个
【答案】B
【分析】本题考查分式的定义，性质，分式有意义和分式的值为0，直接利用分式的定义以及分式的性质、
分式有意义的条件分别分析得出答案即可．
【详解】解：A．若式子 没有意义，则 ，即 ，故不符合题意；
B．分式 中的x、y都扩大原来的2倍，即 ，所以分式的值不变，故符合题意；
C．当 ，即 时， ，所以分式的值不可能等于0，故不符合题意；
D．若 表示一个整数，则整数x可取值是 ，共有4个，故不符合题意；
故选：B．
6．（2024上·湖南长沙·八年级湖南师大附中校考期末）已知 ，则 的值是（ ）
A． B．8 C． D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值等知识点，灵活对代数式进行变形是解题的关键．
由 可得 进而得到 ，然后将 整体代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，则 ，
∴ ．
故选A．
二、填空题
7．（广西壮族自治区桂林市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）将分式 化简的结果是
．
【答案】
【分析】本题考查了分式的约分，先将分子因式分解，分解成乘积的形式，然后再约分即可求得结果，掌
握因式分解是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
8．（2023上·福建福州·八年级统考期末）已知 时，分式 无意义，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查分式意义的条件，关键在于通过分式无意义算出a的值．
当分式无意义时分母为0，据此可求出a的值．
【详解】解：∵分式 无意义，
∴ ，此时 ，即：
解得： ．
故答案为：2．
9．（2023上·四川眉山·九年级校考期中）如果代数式 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式有意
义的条件列出不等式，解不等式即可，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式分母不为0是解题的关键．
【详解】解：要使代数式 有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
10．（2024上·江西上饶·八年级统考期末）整数 为 时，式子 为整数．
【答案】
【分析】由式子为整数可知 或 或 或 ，从而可解得m的值．考查的是分
式的值，根据式子为整数确定出 的值是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴ 或 或 或 ，
解得： 或 或 （不合题意，舍去）或 ．
故答案为： ．
11．（2024上·河南信阳·八年级统考期末）已知分式 ，当 时，分式的值为 ，当 时，分式
无意义，则 ．
【答案】
【分析】本题考查分式，掌握分式有意义条件和分式为零的条件是解题的关键．
根据题意列出关于 、 的方程 ，解方程求出 、 的值，代入代数式求出结果即可．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，
所以 ．故答案为： ．
12．（2022下·山西运城·八年级校联考阶段练习）已知 （ ，且 ），
， ，… ，则 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了分式的规律探究问题，先求得前 个式子，找到规律，3个一循环，进而即可求解．
【详解】根据规律可知， ，
．
．
故答案为： ．
三、解答题
13．（2023上·全国·八年级课堂例题）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
【答案】整式： ， ， ， ， ， ， ；分式： ， ， ，
【分析】本题考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做
分式．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．根据分式的定义、整式的定义逐一判断即可．
【详解】解：整式有： ， ， ， ， ， ， ；
分式有： ， ， ， ．
14．（2023上·江苏无锡·九年级江苏省天一中学校考阶段练习）已知： ，求下列各式的值
(1) ； (2) ．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由 可得 ，然后代入 计算即可；
（2）由 可得 ，然后代入 计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了分式的约分、代数式求值等知识点，灵活对已知代数式进行变形是解答本题的关
键．
15．（2023上·全国·八年级课堂例题）当 取何值时，下列分式的值为0？
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)无解
(4)
【分析】本题考查了分式为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，
关键是熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键；
（1）根据分式值为零即分子为零且分母不为零进行解答即可；
（2）根据分式值为零即分子为零且分母不为零进行解答即可；
（3）根据任何非零的数的平方都是非负数，当 时， ，分式无意义，故无解；
（4）根据分式值为零即分子为零且分母不为零进行解答即可；
【详解】（1）由 ，得 ．当 时，分式 的值为0．
（2） ，
又 ，
即 ．
当 时，分式 的值为0．
（3） 时， ，
分式无意义，
没有使分式 的值为0的 值．
（4）由
，
得
当 时，分式 的值为0．
16．（2023上·全国·八年级课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整
数：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的
整式，分式的值不变；
（1）分子分母都乘以60即可；
（2）分子分母同时乘以12即可；
【详解】（1）根据分式的基本性质，将 的分子与分母同乘60，得 ．
（2）解：根据分式的基本性质，将 的分子与分母同乘12，
得 ．
17．（2023上·全国·八年级课堂例题）约分：
(1) ； (2) ； (3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键；
（1）分式的分子、分母都是单项式，可以直接确认分子、分母的公因式并约分；
（2）可以直接确认分子、分母的公因式并约分；
（3）应先将分子、分母分解因式，再进行约分．
【详解】（1） ．
（2） ．
（3） ．
18．（2023上·福建福州·八年级统考期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：
．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分
式”，例如： ， ：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：
， ．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：
；；
(1)请根据以上信息，任写一个真分式；
(2)将分式 化为整式与真分式的和的形式；
(3)如果分式 的值为整数，求 的整数值．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)
(3) 或 或 或
【分析】（1）根据定义即可求出答案；
（2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可；
（3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值．
本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算．
【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”
∴分式 是真分式，
故答案为： （答案不唯一）；
（2）解：
；
（3）解：
=
∵分式的值为整数，x为整数，∴ 或 ，
解得 或 或 或 ，
∴当 或 或 或 时，分式 的值为整数．
