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第 02 讲 分式的乘除法(6 类热点题型讲练)
1.掌握分式的乘除运算法则；
2.能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算.
知识点01 分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：
．
知识点02 分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为： ．
知识点03 分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为： 为正整数， ．
题型01 分式的乘法运算
【例题】（2023上·全国·八年级专题练习）计算： ．【答案】
【分析】本题考查了分式的乘法运算，熟练进行因式分解是解题的关键；
先分解因式，再分子，分母进行约分即可；
【详解】解：
【变式训练】
1．（2023上·山东威海·九年级校考阶段练习）化简：
【答案】
【分析】根据平方差公式及完全平方公式的运算法则化简计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题主要考查了分式化简，解题的关键是熟练掌握分式化简运算法则，准确计算．
2．（2023上·全国·八年级课堂例题）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用分式的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解： ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【点睛】本题考查分式的乘法，掌握分式的乘法法则是解题的关键．题型02 分式的除法运算
【例题】（2023上·湖南永州·八年级统考期中）计算： ．
【答案】
【分析】此题考查了分式的除法，先将除法化为乘法，再计算乘法得到结果，熟练掌握分式的乘除法法则
是解题的关键．
【详解】解：原式= ．
【变式训练】
1．（2023上·湖南永州·八年级校考阶段练习）计算
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，正确计算是解题的关键，
（1）利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
2．（2023上·全国·八年级课堂例题）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据分式的除法进行计算即可求解；（2）根据分式的除法进行计算即可求解；
（3）根据分式的除法进行计算即可求解；
（4）根据分式的除法进行计算即可求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
（3）解： ；
（4）解： ．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
题型03 分式乘除混合运算
【例题】（2023春·全国·八年级阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】根据分式乘除法进行计算即可求解．
【详解】 ．
【点睛】本题考查了分式乘除法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算： ．
【答案】2
【分析】根据平方差公式和分式乘除法则求解即可．
【详解】解：原式 ．
【点睛】本题主要考查了利用平方差公式进行运算以及分式乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题
关键．
2．（2023秋·八年级课时练习）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等进行分解因式，再计算；
（2）根据平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等进行分解因式，再计算．
【详解】（1）原式 ．
（2）原式 ．
【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，正确分解因式是关键，属于基础题．
题型04 分式的乘方运算
【例题】（2023·全国·九年级专题练习）计算 ．
【答案】
【分析】根据幂的乘方法则和积的乘方法则先算乘方，然后再算乘法即可．
【详解】解：原式 ．
【点睛】本题考查分式的乘法运算，掌握幂的乘方 ，积的乘方运算法则 是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级期中）计算：（1） ； （2） ﹣a﹣1．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）先计算分式的乘方，幂的乘方，再算分式的乘除，最后化为最简分式；
（2）先通分，利用公式展开，再合并同类项．
【详解】解：（1） = = = ；
（2） = = = = ．
【点睛】本题考查分式的加减，分式的乘方，幂的乘方，分式乘除混合运算，掌握分式的加减，分式的乘
方，幂的乘方，分式乘除混合运算是解题关键．
2．（2023秋·八年级课时练习）计算：
(1) (2)
(3) ； (4) ．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据分式的乘方运算法则计算即可；
（2）先计算分式的乘方，再计算分式的除法；
（3）根据分式的乘方运算法则计算即可；
（4）先计算分式的乘方，再计算分式的乘法．
【详解】（1）解： ．
（2）解： ．
（3）解： ．
（4）解： ．
【点睛】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的乘方运算法则和分式的乘除运算法则是解题的关键．
题型05 含乘方的分式乘除混合运算
【例题】（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
【答案】
【分析】先计算乘方运算，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了含乘方的分式乘除法，解本题的关键在熟练掌握其运算法则．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
(1) ； (2) ．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将除法转化为乘法，再约分即可得出答案；
（2）先利用完全平方公式整理，将除法化为乘法，最后约分即可得出答案．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
（1） ； （2） ；
（3） • ÷ ； （4） ．
【答案】（1） ；（2）1；（3） ；（4）
【分析】（1）先计算乘方，同时将除法化为乘法，再计算乘法；
（2）先计算乘方，将除法化为乘法，再计算乘法；
（3）先将除法化为乘法，将分子与分母分解因式，再计算乘法；
（4）将分子与分母分解因式，除法化为乘法，计算乘法即可．
【详解】解：（1）原式= ）= ；
（2）原式= =1；
（3）原式= = ；
（4）原式= = ．
【点睛】此题考查分式的计算，掌握分式的乘方计算法则，乘除法计算法则，因式分解的方法是解题的关
键．
题型06 分式乘除混合运算中化简求值
【例题】（2023秋·广东肇庆·八年级统考期末）先化简，再求值： ，其中 ．【答案】 ，
【分析】将除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．
【详解】解：
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的除法运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）化简并求值： ，其中 ．
【答案】 ，9
【分析】先对各分式进行因式分解，然后将除法变为乘法，进行化简，再将 的值代入化简后的式子计
算即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式乘除法的运算法则．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】先利用分式的除法法则将原式变形，再利用分式的乘法法则进行化简，最后把 的值代入计算即
可．
【详解】解： ，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的乘法、除法法则和求值．能正确根据分式的乘除法法则进行化简是解题的关键．一、单选题
1．（2024上·河南信阳·八年级统考期末）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式乘方运算，根据分式性质结合乘方法则进行运算，即可作答．
【详解】解：依题意， ，
故选：D．
2．（2023下·四川达州·八年级校考阶段练习）下列运算结果为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过约分化简即可判定A、D，根据分式的乘法法则计算判定C，根据分式除法法则计算判定C．
【详解】解：A．原式 ，故此选项不符合题意；
B．原式 ，故此选项符合题意；
C．原式 ，故此选项不符合题意；
D．原式 ，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题词考查分式化简和分式乘除法，熟练掌握分式化简与分式乘除法法则是解题的关键．
3．（2024上·广西河池·八年级统考期末）下列各式计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．根据分式的乘除运算法则计算，即可求解．
【详解】解：A、 ，故本选项正确，不符合题意；B、 ，故本选项正确，不符合题意；
C、 ，故本选项正确，不符合题意；
D、 ，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
4．（2022上·山东泰安·八年级统考期末）公园普通景观灯 天耗电 千瓦．改用 节能景观灯后，同样
千瓦的电量可多用 天．普通景观灯每天的耗电量是 节能景观灯每天耗电量的（ ）倍．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求得普通景观灯每天的耗电量与 节能景观灯每天耗电量，即可求解．
【详解】解：∵公园普通景观灯 天耗电 千瓦
∴普通景观灯每天的耗电量为 ，
∵改用 节能景观灯后，同样 千瓦的电量可多用 天
∴ 节能景观灯每天耗电量为 ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的除法的应用，根据题意列出代数式是解题的关键．
5．（2023上·河北邢台·八年级统考期中）已知 ，关于甲、乙、丙的说法，下列判断
正确的是（ ）
甲： 的计算结果为 ；
乙：当 时， ；
丙：当 时， 的值为正数
A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对
【答案】C
【分析】此题考查了分式的乘除运算，分式的求值，首先将分式化简即可判定甲，然后将 代入求解
即可判断乙，然后根据x的范围即可判定A的正负，解题的关键是熟练掌握分式的乘除运算法则．
【详解】，故甲对；
当 时， ，故分式无意义，故乙错；
当 时，
，
∴ ，故丙错．
故选：C．
二、填空题
6．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）计算： ．
1
【答案】 / x/
8
【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式乘方和分式乘法的运算法则是解题关键．
先算乘方，然后再算乘法．
【详解】解： ，
故答案为： ．
7．（2023上·八年级课时练习）当 ， 时， .
【答案】
【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘除，然后代值计算即得答案.
【详解】解：
；
当 ， 时，原式 ；
故答案为： .
【点睛】本题考查了分式的乘方和乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题关键.
8．（2021上·八年级课时练习）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克；每千克梨 元，那么每千克苹果的售价是梨的 倍．
【答案】
【分析】根据题意用苹果的单价除以梨的单价，而苹果的单价等于苹果的总价除以总重与箱重的差，由此
列式计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的应用，根据题意列出代数式是解本题的关键．
9．（2022上·上海松江·七年级校考阶段练习）我们定义一种新运算：记 ，如果设
为代数式 ，则 （用含 的代数式表示）．
【答案】
【分析】根据 可得 ，据此把 变形求解即可．
【详解】∵
，
∴ 可变形为：
，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了新定义，以及分式的乘除混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
10．（2023下·山西太原·八年级山西实验中学校考阶段练习）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先
乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行，这种运算的过程如下：
则第4次运算的结果 ．【答案】
【分析】根据题干中的程序图分别计算出 ， ， ，找到规律，可以得到 ．
【详解】解： ，
，
，
观察上式可得： ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了找规律-数字的变化类，分式的运算，根据程序图计算找到规律是解题的关键．
三、解答题
11．（2023上·全国·八年级课堂例题）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了分式的乘除混合运算．
（1）先把除法运算化为乘法运算，再进行计算，约分，即可求解；
（2）先把除法运算化为乘法运算，再进行约分即可求解；
（3）先把除法运算化为乘法运算，再进行约分即可求解．【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ．
12．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解： ；
（2）解：
；
（3）解：．
（4）解：
．
【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合
运算顺序；先乘方，再乘除．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
13．（2023上·湖北黄石·八年级校考阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了因式分解，分式的化简，其中准确使用法则是解题的关键．
（1）先算乘方，再把除法变乘法，最后用乘法进行运算即可；
（2）先把除法变乘法，第一个式子和第二个式子先因式分解，再约分即可；
（3）先把除法变乘法，第一个式子和第三个式子先因式分解，再约分即可．
（4）先把除法变乘法，第一个式子和第二个式子先因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
14．（2023上·八年级课时练习）在解答题目“已知 ，求 的值”时，小明误
将 看成了 ，但算出的结果仍然正确，你能解释原因吗？
【答案】见解析
【分析】根据分式的除法法则，对式子进行化简求值，即可．
【详解】解：
．
因为原式结果是常数2，与x的值无关，
所以小明误将 看成了 ，其结果仍然是正确的．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的乘除运算，平方差和完全平方公式的运用．15．（2023上·八年级课时练习）给定一列分式： ， ， ， ，…，其中 ．
(1)从第二个分式起，把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
(2)根据你发现的规律，试写出给定的这列分式中的第n个分式．
【答案】(1)可发现规律：从第二个分式起，任意一个分式除以前面一个分式的结果恒等于
(2)第n个分式为
【分析】（1）分别求出第二个分式除以第一个分式的值，第三个分式除以第二个分式的值，第四个分式
除以第三个分式的值，找出规律即可；
（2）根据解析（1）得出的规律，得出第n个式子为： 即可．
【详解】（1）解：根据题设要求，可求出：
；
；
；
…．
由此可发现规律：从第二个分式起，任意一个分式除以前面一个分式的结果恒等于 ．
（2）解：第n个分式为 ．
【点睛】本题主要考查了分式规律探索，解题的关键是熟练掌握乘法和除法运算法则，准确计算．
16．（2023上·全国·八年级课堂例题）对 ， 定义一种新运算 ，规定 ，这里等式右边是
通常的四则运算，例如： ．
(1)化简： ；
(2)若令 ，且 ，求 的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；
（1）根据题中所给新定义运算及分式的除法运算进行求解即可；
（2）先根据新定义运算进行求解，然后再利用整体思想进行求值即可
【详解】（1）解：∵ ，
∴
．
（2）解： ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
