文档内容
第 01 讲 认识分式
课程标准 学习目标
1. 掌握分式的概念，并能够熟练的判断分式。
①分式的概念
2. 掌握分式有意义、无意义、分式值为零基本概念。
②分式的值
3. 掌握分式值为正（负）、分式值为整数的条件。
知识点01 分式的意义1.分式的意义
【即学即练1】
1．（24-25八年级上·河南新乡·期末）下列代数式中，是分式的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式的定义，即一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
叫做分式．据此解答即可．
【详解】解：A． 是整式，不符合题意；
B． 是整式，不符合题意；
C． 是整式，不符合题意；
D． 是分式，符合题意；
故选：D．
2．（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知分式 ，当 时，分式没有意义；当 时，分式的值
为零．则 的值为 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式有意义和分式的值为零的条件是解题的关键，根据分式没有
意义，可得 ，再由分式的值为零，可得 从而得到 的值，代入即可得到答案．
【详解】解： 时，分式没有意义，
时，分式的值为零，．
3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知在分式 中，当 时分式有意义，当 时分式值为
0，则 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件
【分析】本题主要考查分式，根据当 时分式有意义，即分母为0，求出a值；当 时分式值为0，
求出b值，掌握分式无意义的条件与分式的值为0的条件，是解题的关键．
【详解】解：由题意知：当 时分式有意义，
∴ ，
，
当 时分式值为0，
，
解得： ，
，
故答案为： ．
4．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）若分式 有意义，则x应满足的条件是 ．使分式
的值为零的x的值是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件
【分析】本题主要考查了分式有意义，分式的值为0，根据分式有意义可知 ，求出答案，再根据
分式的值为0时， 且 ，可得答案．
【详解】解：当 时，分式 无意义，
解得 ．
所以当 时，分式 有意义；
当 且 时，分式 ，
解得 ．
故答案为： ， ．知识点02 分式的值为正或为负
（1）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0
（2）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0
【即学即练2】
1．（24-25八年级上·山东临沂·期末）当分式 的值为正数时，写出一个满足条件的 的值为
．
【答案】2（答案不唯一）
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得 ，则 ，据此可得答案．
【详解】解：∵分式 的值为正数，
∴ ，
∴ ，
∴满足题意的x的值可以为2，
故答案为：2（答案不唯一）．
2．（24-25八年级上·江西上饶·期末）若分式 的值为整数，则非负整数 的值为 ．
【答案】 或 或
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查分式的求值问题，由分式 的值为整数，可得 可以为 、 、 、 ，据此可以
得到答案．要注意分类讨论的思想以及分子分母之间的倍数关系，认真审题，抓住关键的字眼是解题的关
键．
【详解】解：∵分式 的值为整数，
∴ 可以为 、 、 、 ，
∴ 可以为 、 、 、 ，
∴非负整数 的值为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
题型01 分式的判断例题：（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式： ， ， ， ， 其中分式的个
数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解决本题的关键．
根据分式的定义：即分母中含有字母的式子叫做分式，即可一一判定；
【详解】解： ， ， 都是整式，不是分式，
， 是分式，共 个；
故选：C
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）给出如下式子：① ；② ；③ ；④ ，其中是分式的
是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④
【答案】C
【知识点】分式的判断
【分析】此题考查了分式，形如 （其中 、 都是整式，且 中含有字母），这样的式子叫做分式，熟
练掌握分式的定义是解题的关键．
根据分式的定义进行解答即可．
【详解】解：下列式子：① ；② ；③ ；④ ，分式有① ；③ ．
故选：C．
2．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）下列各式中 ， ， ， ， 是分式的有
（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式的概念，根据分式的概念，一般的，如果 表示两个整式，并且 中含有字母，
那么式子 叫做分式，由此问题可求解，熟练掌握分式的概念是解题的关键．
【详解】解：根据分式的概念可知是分式的有 ， ， ， ，共 个，故选： ．
3．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）在 ， ， ， ， ， 中，分式的个数有
（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式的定义，正确理解分式定义是解题的关键，判断分式的依据是看分母中是否含有
字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式。
【详解】解：由此可得 ， 不是分式， ， ， ， 是分式，共4个分式，
故选B
题型02 分式有无意义的条件
例题：（24-25八年级上·吉林长春·期末）若分式 在实数范围内有意义，则实数 应满足的条件是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【分析】此题考查了分式有意义的条件，分式的分母不等于0是分式有意义的条件．据此列式解答即可．
【详解】解：∵分式 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得 ，
故选：B
【变式训练】
1．（2024八年级上·全国·专题练习）要使得分式 有意义，则x满足的条件是（ ）
A． B． C． D． x≠1
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．
根据分母不为零的条件进行解题即可．
【详解】解：由题可知，
，即 ．
故选：B．
2．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）分式 无意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式无意义的条件
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件：分母为0．根据分式
有意义的条件，即可解答．
【详解】解：∵分式 无意义，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
3．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）若分式 无意义，则 的值为（ ）
A．1 B． C． 或1 D．0
【答案】C
【知识点】分式无意义的条件
【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件为分母为零可得 ，计算即可得解．
【详解】解：∵分式 无意义，
∴ ，
∴ 或 ，
故选：C．
题型03 分式值为零的条件
例题：（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若分式 的值为0，则x的值为 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件；根据分式的值为0，则分母不为0，分子为0进行计算即可．
【详解】解：∵ ，解得
∴x的值为
故答案为：
【变式训练】
1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当 时，分式 的值为零．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查了分式的值为零，根据分子的值等于 且分母的值不等于 解答即可求解，掌握分式的
值为零的条件是解题的关键．
【详解】解：∵分式 的值为零，
∴ 且 ，
解得 ，
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）分式 ，则 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件是解题关键．
直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ 且 ，
解得： ．
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式 的值为 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②
分母的值不为0，这两个条件缺一不可．根据分子等于零且分母不等于零列式求解即可．
【详解】解： 分式 的值为 ，
且 ，解得： ，
故答案为： ．
题型04 求分式的值
例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时， ．
【答案】1
【知识点】分式的求值
【分析】本题主要考查了分式求值， 把 代入分式中求解即可．
【详解】解： ，
故答案为：1．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）当 时，分式 的值为 ．
【答案】2020
【知识点】约分、分式的求值
【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是利用平方差公式将所求式子进行化简．先将原式分子因
式分解，约分化简，再将x的值代入计算即可．
【详解】解：当 时，
故答案为：2020．
2．（23-24七年级下·浙江金华·期中）若 ，则分式 的值
【答案】
【知识点】分式的求值
【分析】本题考查了分式的求值，变换代入是解题的关键．
首先得到 ，然后代入求解即可．
【详解】∵
∴
∴．
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·福建三明·期中）已知 ，则 ．
【答案】
【知识点】分式的求值
【分析】考查了分式的求值，找出 的关系，代入所求式进行约分．由 ，得 ，再代入所求得
式子化简即可．
【详解】 ，
，
，
故答案为：
4．（24-25九年级上·广东佛山·期中）若 ，则 ．
【答案】
【知识点】分式的求值
【分析】本题考查了分式求值，令 ，则 ，代入分式即可求出答案．
【详解】解：令 ，
则 ，
，
故答案为： ．题型05 按要求构造分式
例题：（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）一辆汽车 行驶了 ，则它的平均速度为 ；
一列火车行驶 比这辆汽车少用 ，则它的平均速度为 ．
【答案】 /
【知识点】列代数式、按要求构造分式
【分析】本题主要考查了列代数式：分式的应用，熟练掌握相关概念是解题关键．根据平均速度等于行驶
的路程除以行驶的时间可得到汽车的平均速度；再表示出火车行驶 的时间为 ，然后再根据平均
速度的计算方法表示出火车的平均速度．
【详解】一辆汽车 行驶了 ，则它的平均速度为 ，一列火车行驶 比这辆汽车少用 ，则
它的平均速度为 ，
故答案为： ，
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）在一段坡路，小明骑自行车上坡时的速度为 千米/时，下坡时
的速度为 千米/时，则他在这段坡路上、下坡的平均速度是 ．
【答案】 千米/时
【知识点】最简分式、按要求构造分式
【分析】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量
关系，列出代数式．设这段坡路的路程为 千米，根据平均速度 总路程 总时间，列代数式，再进行整理
即可．
【详解】
解：设这段坡路的路程为 千米，根据题意得： （千米 小时）；则小明在这段路上的平均
速度为 千米 小时．
故答案为： 千米 小时．
2．（23-24八年级下·河南郑州·期末）某班组织了绿博园一日游活动，他们共x人租了一辆大巴车，租金为
1000元．出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的
车费少 元．
【答案】
【知识点】按要求构造分式、列代数式【分析】本题考查列分式，根据题意列出代数式可求得结果，准确理解题意是解题的关键．
【详解】解：计划平均每人需分摊的车费是： 元，
当增加了两人时，实际平均每人需分摊的车费是： 元，
则实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少： 元，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·辽宁阜新·期中）小玉要打一份 字的文件，第一天她打字 小时，打字速度为
字/分．第二天她打字速度比第一天快了 字/分，两天打完全部文件，用含 的式子表示第二天打字用
的时间为 分.
【答案】
【知识点】列代数式、按要求构造分式
【分析】本题考查了列代数式，求出第二天打字的数为 ，第二天打字速度为 即可求
得打字的时间．
【详解】 小时 分钟
由题意得：第一天打字的个数为 个，
第二天打字用的时间为 分钟
故答案为： ．
题型06 分式的规律性问题
例题：（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）观察下列分式： ，按此规律第100个
分式是 ．
【答案】
【知识点】分式的规律性问题
【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律 ，即可
解答．
【详解】解：根据题意可得：
第1个分式： ，第2个分式： ，
第3个分式： ，
第4个分式： ，
第5个分式： ，
……
第n个分式： ，
∴第100个分式为 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·单元测试）一组按规律排列的式子： ，则第 的个
式子是 ．
【答案】
【知识点】分式的规律性问题
【分析】本题主要考查分式规律问题，解题的关键是得到代数式的一般规律；由题意易得奇数项为负数，
偶数项为正数，分母符合 ，分子的指数则符合 ，进而问题可求解．
【详解】解：由 可知：
，
∴第n个式子是 ；
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）一组按规律排列的式子： ，…，其中第7个式子
是 ，第n个式子是 （用含n的式子表示，n为正整数）．
【答案】
【知识点】分式的规律性问题【分析】本题主要考查代数式的规律，分母中a的次数等于分式的序次，分子为序次的2倍，当分式的序
次为奇数时，分式符号为正，当分式的序次为偶数时，分式的符号为负，根据这个规律可得第n个式子是
，即可求得第7个式子．
【详解】解∶ ；
；
；
；
；
则第n个式子为
这列分式中的第7个式子是 ，
故答案为： ； ．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）观察下面一列分式： ， ， ， ，…（其中 ）．
(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；
(2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由．
【答案】(1)
(2) ，见解析
【知识点】分式的规律性问题
【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解
题．
（1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案；
（2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案．
【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第6个分式为 ．
（2）解：根据题意得：第n（n为正整数）个分式为 ．理由：
∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子的底数是x，次数是连续的奇数，且第偶数个分式的系数为负，
∴第n（n为正整数）个分式为 ．
4．（23-24八年级下·全国·课后作业）观察下面一列分式： ，…（其中 ）．
(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；
(2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见详解
【知识点】数字类规律探索、分式的规律性问题
【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解
题．
（1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案；
（2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案．
【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第5个分式为： ，
第6个分式为 ．
（2）由已知可得第n(n为正整数)个分式为∶ ．
理由如下：
∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，
分子的底数是x，次数是连续的奇数，
∴第n(n为正整数)个分式为 ．
题型07 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围
例题：（24-25八年级上·河北廊坊·期末）已知分式 的值为正数，写出一个符合条件的 的正整数值：
．
【答案】4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题主要考查了分式的值，根据除法的符号法则可知分子与分母同号，又分子 ，故分母
， 从而求出 的取值范围，熟练掌握分子与分母同号，分式的值大于0，分子与分母异号，分式的值小于0是解决此题的关键．
【详解】解：∵分式 的值为正数，
，
又 ，
，
，
故当 时，分式 的值为正数，
∴ 的正整数值可为4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对），
故答案为：4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）分式 的值为负数，求x的取值范围 ．
【答案】 且
【知识点】分式有意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需
改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向．
根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，
从而列出不等式．
【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0，
∴ ，
∴
∴
∵分式 的值为负数，
∴ ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
2．（23-24八年级上·山东聊城·单元测试）若分式 的值为负数，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题考查分式的值，根据分式的值为负数，绝对值为非负数，得到 且 ，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 且 ，
∴ ；
故答案为： ．
3．（22-23八年级上·山东威海·期中）若分式 的值为负数，则 的取值范围 ．
【答案】
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】此题考查了分式的值，涉及的知识有：非负数的性质，以及解一元一次不等式，列出关于x的不
等式是解本题的关键．
【详解】解：∵ ，
要使分式 的值为负数，则 ，
解得 ，
故答案为： ．
题型08 求使分式值为整数时未知数的整数值
例题：（2023·江苏扬州·三模）能使分式 值为整数的整数 有 个．
【答案】
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将 转化为 ，进一步求解
即可．
【详解】解： ，
∵分式的值为整数，
∴ 的值为整数，
∴ ，
∵ 也是整数，∴ ，
解得： ；
∴能使分式 值为整数的整数 有 个．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）若使分式 的值是整数，则所有符合条件的整数m的和为
．
【答案】1
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了分式的值，把握分母是4的因数是解题的关键；由题意， 是4的因数，且为奇
数，由此可求得m的值，进而求得所有整数m的和．
【详解】解：要使分式 的值是整数，则 是4的因数，
故 ，
但 是奇数，则 ，
所以 或0 ；
所以 ；
故答案为：1．
2．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式 的值为整数，则整数x的值为 ．
【答案】 或 或 或
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为 ，分别代值计算，即
可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键．
【详解】解：
，
分式 的值为整数，且x是整数，
或
或 或 ，解得： 或 或 或 ，
故答案： 或 或 或 ．
3．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）已知x为整数，且分式 的值为正整数，则x可取的值有
．
【答案】2，3，5
【知识点】约分、求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查分式的化简，先根据分式的性质化简分式，然后根据题意得到x的取值，进而可求解．
【详解】解：
，
∵x为整数，且分式 即 的值为正整数，
∴x可取的值有2，3，5，
故答案为：2，3，5．
一、单选题
1．（24-25八年级上·江西上饶·期末）若分式 有意义，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分母不为零列出不等式计算即可．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2．（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）当 时，分式 的值是（ ）A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】分式的求值
【分析】本题考查了求分式的值，将 代入计算即可得出答案．
【详解】解：当 时， ，
故选：A．
3．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）下面各式中， ，分式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否
含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中
含π的代数式不是分式，是整式．
【详解】解： 是整式，
是分式，
故选B．
4．（24-25八年级上·广东汕头·期末）若分式 的值为正数，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题主要考查了分式的值为正的条件，根据题意列出不等式成为解题的关键．
根据已知得出分式的分子为正数，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵分式 的值为正数，
∴ ，解得： ．
故选C．
5．（24-25八年级上·山东泰安·期末）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当 时， 的值为0 B．当 时， 有意义
C．无论 为何值， 不可能是整数 D．无论 为何值， 的值总为正数
【答案】D【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件
【分析】本题主要考查分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性，熟练掌握分式的值为
0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性是解决本题的关键．
根据分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性解答此题．
【详解】解：A、当 时， 无意义，故此选项不符合题意；
B、当 时， 有意义，故此选项不符合题意；
C、当 时， 的值是整数，故此选项不符合题意；
D、根据偶次方的非负性，得 ，即无论x为何值， 的值总为正数，故此选项不符合题意；
故选：D．
6．（24-25八年级上·河南开封·期末）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．大桥全长 千米，其中包含
海底隧道长约 千米．一辆汽车在海底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢 ．若设
该汽车在海底隧道行驶的平均速度为 ，则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为
（ ）
A． 小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时
【答案】C
【知识点】按要求构造分式
【分析】本题考查的知识点是按要求构造分式，解题关键是正确理解题意并列出分式．
先由题意得出该汽车在其它路段行驶的平均速度，再由时间 路程 速度即可得出汽车完全通过大桥（车
长忽略不计）所用的时间．
【详解】解：依题得：该汽车在海底隧道行驶的平均速度为 ，
则该汽车在其它路段行驶的平均速度为 ，
汽车通过海底隧道所用的时间为 小时，汽车通过其他路段所用的时间为 小时，
该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为 小时．
故选： ．
二、填空题
7．（24-25八年级上·山东德州·期末）若分式 无意义，则 ．
【答案】
【知识点】分式无意义的条件【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件——分式的分母等于0是解题的
关键．根据分式无意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案为： ．
8．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）若分式 的值为零，则 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查了使分式的值为0时，求 的值，要保证分子为0的同时，分母不为0，计算出结果即可．
【详解】解：由题意可得： ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴取 ．
故答案为： ．
9．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列式子： ， ， ， ， ， 分式有 个．
【答案】3
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式的定义，熟悉相关性质，注意 是常数，是解题的关键．
根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
【详解】解： ， ， 的分母中含有字母，属于分式，共有3个．
故答案为：3．
10．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知每个人做某项工作的效率相同，m个人做d天可以完成，若增
加r人，则完成工作所需的天数为 ．
【答案】
【知识点】按要求构造分式
【分析】本题考查列分式，设每个人的工作效率均为1，根据工作时间等于工作总量除以工作效率，进行
求解即可．
【详解】解：设每个人的工作效率均为1，由题意，得：增加r人，则完成工作所需的天数为 ；
故答案为： ．11．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）观察下列分式： ，按此规律第100个分
式是 ．
【答案】
【知识点】分式的规律性问题
【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律 ，即可
解答．
【详解】解：根据题意可得：
第1个分式： ，
第2个分式： ，
第3个分式： ，
第4个分式： ，
第5个分式： ，
……
第n个分式： ，
∴第100个分式为 ，
故答案为： ．
12．（2025·吉林·模拟预测）若 为正整数，且 也为正整数，则 的值为 ．
【答案】 或 /6或2
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质化简是解题的关键．
根据题意，将分式化简为 ，结合正整数的定义进行判定，代入求值即可．
【详解】解： ，该分式为正整数， 也为正整数，且 ，
∴当 时， ，原式为正整数，符合题意；当 时， ，不符合题意；
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，原式为正整数，符合题意；
当 时， ，不符合题意；
综上所述， 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题
13．（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
【答案】整式： ， ， ， ， ， ， ；分式： ， ， ，
【知识点】整式的判断、分式的判断
【分析】本题考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做
分式．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．根据分式的定义、整式的定义逐一判断即可．
【详解】解：整式有： ， ， ， ， ， ， ；
分式有： ， ， ， ．
14．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）已知 求 的值．
【答案】
【知识点】分式的求值
【分析】本题考查的是分式的化简求值， 令 ，则 ， ， ．然后代入分式化
简求值即可．
【详解】解：令 ，则 ， ， ．
原式 ．15．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）已知 ，x取哪些值时：
(1)y的值是零；
(2)分式无意义；
(3)y的值是正数；
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等
式组的解集
【分析】本题主要考查的是分式的值，分式无意义的条件，解一元一次不等式组，掌握分式的值为正数、
值为零、分式有意义、无意义的条件是解题的关键．
（1）分式的分子为0，分母不为0时，y的值为0；
（2）分式的分母为0时，分式无意义；
（3）分式的分子、分母同号时，y的值是正数；
【详解】（1）解：当分子值为0，分母的值不为0时，分式值为0，
所以 ，解得 ，
此时 ，所以当 时，y的值为0；
（2）当分母为0时，分式无意义，则 时，即 时分式无意义；
（3）因为y的值为正数，所以可得：① 或② ，
解①得 ，此时无解，解②得 ，解为 ，
∴当 时，y的值为正数．
16．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知：代数式
(1)当m为何值时，该式无意义？
(2)若该式的值为正数，求m的取值范围；
【答案】(1) 时，该式无意义
(2)
【知识点】分式无意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求一元一次不等式的解集
【分析】（1）由分母为0时，分式无意义，从而可得答案；（2）根据两数相除，同号得正，可得该式的值为正数，则 ，再解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意得，当 时，代数式 无意义；
所以 时，该式无意义．
（2）由题意得，该式的值为正数时， ，
即 ．
【点睛】本题考查的是分式无意义的含义，分式的值为正数，一元一次不等式的解法，理解题意是解本题
的关键．
17．（2025八年级下·全国·专题练习）给定下列分式： ， ， ， ，… ．
(1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？
(2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？
(3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】分式的规律性问题
【分析】本题考查分式规律型：数字的变化类，关键是善于观察发现规律．
（1）由分式的特点，即可发现分式的分子、分母和符号分别具有特征；
（2）计算任意一个分式除以它前面的一个分式，即可发现规律；
（3）由分式的特点，即可写出给定的这列分式中的第10个分式．
【详解】（1）解：这列分式的分子是幂的形式，底数x的指数是从3开始的奇数，分母是幂的形式，底数
y的指数是从1开始的自然数，第奇数个分式的符号为正，第偶数个分式的符号为负．
（2）解：∵ ， ， ，
∴从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，所得结果都是 ；
（3）解：第10个分式是 ．
18．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分
式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如：参考上面的方法，解决下列问题：
(1)将 变形为满足以上结果要求的形式： ________________；
(2)若 变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数 的值；
(3)将 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________．
【答案】(1)
(2) ， 或
(3)
【知识点】约分、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题主要考查了分式的性质：
（1）把原式先变形为 ，再约分化简即可得到答案；
（2）把原式先变形为 ，进一步变形得到 ，再约分化简即可；根据题意可得
的值为整数，则 为整数，即可得到 ，解方程即可得到答案；
（3）利用完全平方公式把原式变形为 ，进一步变形得到 ，再约分化简即可得到
答案．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：
，∵ 的值为整数，
∴ 的值为整数，
∴ 为整数，
∴ ，
∴ 或 ；
（3）解：
，
故答案为： ．
