文档内容
第 01 讲 探索勾股定理
1.熟练掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题.
2.掌握勾股定理的证明方法，能够熟练地运用勾股定理解决弦图等相关问题．
3.熟练掌握重要的数学思想：方程思想.
知识点01 勾股定理
勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，
斜边长为c，那么a2+b2=c2.
【微点拨】
1）仅直角三角形中存在勾股定理（若要使用勾股定理则需要有直角三角形或通过辅助线构造直角三角
形）；
2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（斜边）的平方等于
两短边（两直角边）的平方和，只有c是斜边时才有a2+b2=c2，切不可死搬硬套公式.
3）利用勾股定理，若无法直接找出其中的两条边，则可设定一条边长为未知数，根据题目已知的条件能
表示其他的边（可以是设定的未知数表示，也可以是具体的数字），再建立方程求解，这样就将数与形有
机地结合起来，达到了解决问题的目的.
知识点02 勾股定理的验证
据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了.由于篇幅有限，我们就重点介绍最具代表性的
“勾股圆方图”（即赵爽弦图）的证法.
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.（赵爽的证法）
图（1）中 ，所以 .图（1） 图（2）
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.（毕达哥拉斯的证法）
图（2）中 ，所以 .
【微点拨】
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关
系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特
风格树立了一个典范.尤其是其中体现出来的“形数统一” 的思想方法，更具有科学创新的重大意义.以后
的数学家大多继承了这一风格并且有发展,只是具体图形的分合移补略有不同而已.
题型01 用勾股定理解三角形
【典例1】（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，长方形 中， ， ， ，
则 ______．
【答案】4.8
【分析】利用长方形的性质得到 ，利用勾股定理计算出 ，利用面积法计算出 即可．
【详解】解：∵四边形 长方形，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ．故答案为：4.8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等积法求直角三角形的高，解题的关键是熟练掌握勾股定理求出
．
【变式1】（2023春·湖南郴州·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，求BC
边上的高AD的长．
【答案】12
【分析】 为高，那么题中有两个直角三角形． 在这两个直角三角形中，设 为未知数，可利用勾
股定理都表示出 长．求得 长，再根据勾股定理求得 长即可．
【详解】解：设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
，
解得 ，
在 中， ．
【点睛】本题考查了勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点．主要利用
了勾股定理进行解答．
【变式 2】（2023 春·广东云浮·八年级校考期中）如图，在 中， ， ，
， 于 ．求：
(1) 的长和 的面积；
(2) 的长．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据勾股定理求得 的长；利用三角形的面积公式可求出 的面积；（2）再根据三角形的面积公式是一定值求得 即可．
【详解】（1）解：在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： ，
，
．
【点睛】此题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边
长的平方是解题的关键．
题型02 已知两点坐标求两点距离
【典例1】（2023春·广东湛江·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是 ，则 的
长为（ ）
A． B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】直接根据勾股定理计算即可．
【详解】解： ，点 为坐标原点，
．
答：线段 的长度为10．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边
长的平方．
【变式1】（2023春·广东中山·八年级中山市华侨中学校考期中）平面直角坐标系中，点 到原点
的距离是（ ）
A．4 B．3 C．7 D．5
【答案】D
【分析】根据M点坐标，直接利用勾股定理可求解点M到原点的距离．
【详解】解：∵ ，
∴点 到原点的距离是： ．
故选：D．
【点睛】本题考查的勾股定理的应用，掌握“已知两点坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键．【变式2】（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，点 与点
之间的距离为______
【答案】10
【分析】根据两点间的距离公式直接计算求解即可．
【详解】解：由两点间距离公式得： ，
故答案为：10．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中两点间的距离公式，若平面内两点坐标为 ， ，则
这两点间的距离为 ．
题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积
【典例1】（2023·全国·八年级假期作业）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形A，B，C，若正方
形B，C的面积分别为6，18，则正方形A的面积是（ ）
A． B． C．12 D．24
【答案】D
【分析】由正方形的面积得 ， ，再由勾股定理得 ，即可得出结论．
【详解】解：如图，
正方形 ， 的面积分别为6，18，
， ，，
，
正方形 的面积 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式1】（2022秋·广东茂名·八年级校考期中）如图， 中， ，以 的三边
为边向外作正方形，其面积分别是 ， ， ，且 ， ，则 （ ）
A．20 B．12 C． D．
【答案】A
【分析】利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：
， ，
∴ ；
故选A．
【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式2】（2023春·山东德州·八年级统考期中）如图，字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．15 C．144 D．306
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出字母B所代表的正方形的边长，根据正方形的性质即可求出面积答案．
【详解】解：如图，在 中，由勾股定理得， ，
字母 代表的正方形的边长为 ，
字母B所代表的正方形的面积为： ．
故选C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、正方形的面积，熟知如果直角三角形的两条直角边长分别是 和
，斜边长为 ，那么 是解决问题的关键．
题型04 勾股定理与网格问题
【典例1】（2023·云南楚雄·统考一模）如图，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，则 边上的
高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用等积法求解即可．
【详解】解：由正方形网格图可知， ， ， 边上的高为2，
∴根据三角形面积公式可得， 边上的高 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出 的长．
【变式1】（2023·全国·八年级假期作业）如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，
连接三个小格点，可得 ，则 边上的高是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 边上的高为 ，由题意知 ， ，则
，即 ，计算求解即可．
【详解】解：设 边上的高为 ，
由题意知 ， ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ 边上的高为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格．解题的关键在于熟练掌握割补法求面积以及等面积法．
【变式2】（2023春·全国·八年级期中）如图，在 的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格
点上，求：
(1) 的长；
(2) 边上的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)运用勾股定理计算即可．
(2)运用三角形面积不变性列式计算即可．【详解】（1）由图可得，
，
即 的长为 ．
（2）由图可得，
，
设 边上的高为x，
则 ，
即 ，
解得 ，
即 边上的高为 ．
【点睛】本题考查了网格上的勾股定理与图形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
题型05 勾股定理与折叠问题
【典例1】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，一张直角三角形纸片ABC中，
，将它沿折痕 折叠，使点A与点B重合，则 ___________．
【答案】
【分析】由折叠的性质得出 ，设 ，则 ．在 中运用勾股定理列方程，
解方程即可求出 的长．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
设 ，则 ．
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ．∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题时，设要求的线段长为x，然后根据折叠
和轴对称的性质，用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程
求出答案．
【变式1】（2023春·全国·八年级阶段练习）如图所示，把矩形纸条 沿 ， 同时折叠， ，
两点恰好落在 边的 点处，若 的度数恰好为 ， ， ，则矩形 的边 的
长为_____．
【答案】12
【分析】利用折叠的性质得到 ， ，再利用勾股定理得到 ，即可求解 ．
【详解】解： 矩形纸条 沿 ， 同时折叠， ， 两点恰好落在 边的 点处，
， ，
，
，
，
故答案为：12．
【点睛】本题考查折叠的性质和勾股定理，解题的关键是利用勾股定理和折叠的性质求出 ， ， ．
【变式2】（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片，
，将斜边 翻折，使点B落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为
，则 的长是 ____________________．
【答案】
【分析】先利用勾股定理求出 ，根据折叠的性质可知： ， ，进一步求出，设 ，则 ，由勾股定理得 ，解得 ，则
．
【详解】解：在 中，由勾股定理得 ，
根据折叠的性质可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得
∴ ，
解得
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确利用勾股定理结合方程的思想求解是解题的关键．
题型06 勾股定理的证明方法
【典例1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这
个公式 ；在推得这个公式的过程中，主要运用了
A．分类讨论思想 B．整体思想 C．数形结合思想 D．转化思想
（2）如图2， ， ，且 在同一直线上．求证： ；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年
4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．
【答案】（1） ； ；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）利用大正方形面积等于两个小正方形面积与两矩形面积之和得出即可，利用数形结合得出答案；
（2）利用 ，得出 ，进而得出 ，即可得出答案；
（3）利用图形面积即可证出勾股定理．
【详解】解：（1）利用大正方形面积等于两个小正方形面积与两矩形面积之和得出：
；
利用数形结合得出：在推得这个公式的过程中，主要运用了数形结合思想；
故答案为： ； ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，利用图形面积由数形结合思想得出等式是解题关键．
【变式1】（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称
之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学
家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明
该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；
②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2
的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．
(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图
形中面积关系满足 的有______个；
(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别
为 、 ，直角三角形面积为 ，请判断 、 、 的关系______．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
(3)
【分析】（1）①将图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可；②
图1中： ， ，即可得 ，图2中大正方形的面积为： ，据此即可
作答；
（2）根据题意得： ，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解；
（3）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、以c为直径的半圆面积、三角
形的面积，根据图形特点表示出（ + ），结合勾股定理，即可得到答案．
【详解】（1）①证明：
在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即 ，化简得 ．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即 ，化简得 ．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即 ，化简得 ．
②在图1中： ， ，
图2中大正方形的面积为： ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴图2中大正方形的面积为29．
（2）根据题意得： ，
如图4：
即有： ， ， ，
∴ ；
如图5：
， ， ，
∵ ，
∴ ；
如图6：下面推导正三角形的面积公式：
正 的边长为u，过顶点x作 ，V为垂足，如图，
在正 中，有 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴在 中，有 ，
∴正 的面积为： ，
∴ ， ，
∵
∴ ；
∴三个图形中面积关系满足 的有3个
故答案为：3；
（3）关系： ，理由如下：
以a为直径的半圆面积为： ，
以b为直径的半圆面积为： ，
以c为直径的半圆面积为： ，
三角形的面积为： ，
∴ ，即： ，
结合（1）的结论：
∴ ．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定
理的性质，从而完成求解．
一、选择题
1．（2023·全国·八年级假期作业）在平面直角坐标系中，点 ，则点P到原点的距离为（ ）
A．3 B． C．5 D．4
【答案】C
【分析】根据点 的坐标，可以得到点 到 轴和 轴的距离，然后根据勾股定理即可得到点 到原点的
距离．
【详解】解： 点 ，
点 到原点的距离是： ．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理解答．
2．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三
角形的面积是（ ）
A．30 B．60 C． D．40
【答案】A
【分析】设另一直角边为x，根据勾股定理求出x的值，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：设另一直角边为x，
∵斜边的长为13，一条直角边长为5，
∴ ，
∴ ．
故选A
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边
长的平方是解答此题的关键．
3．（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）若直角三角形两边长为12和5，则第三边长为（ ）A．13 B．13或 C．13或15 D．15
【答案】B
【分析】分长为12的边是斜边还是直角边两种情况讨论解题．
【详解】当长为12的边是斜边时，则第三边是另一直角边，其长为 ．
当长为12的边是直角边时，则第三边是斜边，其长为 ．
所以第三边的长为13或 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理与计算，在直角三角形中，斜边是最大的边，故本题中长5的边只能为直角
边，二边长为12的边可能是斜边，也可能是直角边，因此分两种情况讨论．
4．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图， 中， ，将
折叠，使点C与 的中点D重合，折痕交 于点M，交 于点N，则线段 的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】先求出 ，由折叠的性质可得 ，则 ，利用勾股定理建立方程
，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵D是 中点， ，
∴ ，
∵将 折叠，使点C与 的中点D重合，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．5．（2022秋·山东淄博·七年级统考期末）图1是第七届国际数学教育大会 的会徽图案，它是由
一串有公共顶点O的直角三角形(如图2所示)演化而成的．如果图2中 ，那
么 的长为( )
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】 ，根据勾股定理可得 ， ，找到 的规律，
即可计算OA 的长．
8
【详解】解：∵ ，
∴由勾股走理可得 ，
，
……
，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾脸定理的灵活运用，本题中找到 的规律是解题的关键．
二、填空题
6．（2023春·吉林·八年级期中）如图，在 中， ，以 和 为边向两边分别作正方
形，面积分别为 和 ，已知 ，则 的长为______．
【答案】5
【分析】利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：由题意，得： ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ （负值已舍去）．
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理．正确的识图，熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
7．（2023春·贵州黔东南·八年级校联考期中）如图，以 的三边为直径分别向外作半圆，若斜边
，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【分析】根据勾股定理可得 ，然后根据阴影部分的面积为三个半圆的面积之和即可求解．
【详解】∵ 是直角三角形， ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积和为 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，熟记定理与圆的面积的求法是解题的关键．
8．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）若直角三角形的两条边长为 ， ，且满足 ，
则该直角三角形的第三条边长为_____．
【答案】 或
【分析】先根据非负数的性质求出a与b的长，再分两种情况根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由题意得， ， ，
解得： ， ，
当 为直角边时，直角三角形的第三条边长 ，
当 为斜边时，直角三角形的第三条边长 ，
故答案为： 或 ．【点睛】本题考查了非负数的性质，勾股定理，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．
9．（2023·山东泰安·统考一模）如图，在 中， ， ，垂足为D， ，
，则 ______．
【答案】 /
【分析】根据 作出辅助线，证明全等三角形，将 转化为 ，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】在 上取一点 ，使得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴在 中， ,
即 ，解得 ，
∴ ．
故答案为：【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是作出辅助线，根据勾股定理列方程求解．
10．（2023·辽宁大连·校联考二模）如图，三角形纸片 中， ， ， ．沿过点
A的直线将纸片折叠，使点B落在边 上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与 的
交点为E，则 的长是______．
【答案】
【分析】根据折叠，可知 ， ， ， ，然后证明 ，设
，在 中，根据勾股定理即可求出答案．
【详解】根据折叠，可知 ， ， ，
设
，
，
在 中
，即
解得：
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理等知识，掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题
11．（2023春·黑龙江大庆·七年级校考阶段练习）如图，折叠长方形纸片 的一边，使点D落在 边
的 处， 是折痕．已知 ， ，求 的长．【答案】 cm
【分析】证明 ， ，由 是由 折叠得到，可得 ，
，再利用勾股定理可得 ，设 ，则 ，再建
立方程 即可．
【详解】∵四边形 为长方形，
∴ ， ，
又∵ 是由 折叠得到，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
即 ．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，长方形的性质，勾股定理的应用，熟练的利用轴对称的性质再利用
勾股定理建立方程是解本题的关键．
12．（2023春·广东湛江·八年级校考期中）在 中， ，
(1)求 的长；
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）直接利用勾股定理求得 的长；
（2）根据三角形的面积公式求得 即可．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
；
（2） ，
∴ ，
．
【点睛】此题考查了勾股定理及直角三角形面积的不同表示方法，关键是得到斜边 的长．
13．（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个
单位长度，点A，B，C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
(1) ＝___；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据勾股定理即可得出答案；
（2）利用正方形的面积减去三个三角形的面积即可得出答案.
【详解】（1）解：根据勾股定理得：
故答案为：
（2）如图，根据网格特点得到正方形 ；【点睛】本题考查了勾股定理与网格，熟练掌握相关知识是解题的关键
14．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在 中， ．
(1)如图（1），把 沿直线 折叠，使点A与点B重合，求 的长；
(2)如图（2），把 沿直线 折叠，使点C落在 边上G点处，请直接写出 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 x，则 ，在 中用勾股定理求解即可；
（2）设 x，则 ，先根据勾股定理求出 ，再在 中，用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵直线 是对称轴，
∴ ，
∵ ，设 ，则
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴
（2）解：∵直线 是对称轴，
∴ ， ，∵ ，设 ，则 ，
∴在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键．
15．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，动
点P从点B出发沿射线 以 的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示
①当点P在线段 上时， ________．
②当点P在线段 的延长线上时， ________．
(2)当 为直角三角形时，求t的值；
【答案】(1)① ；②
(2) 或
【分析】（1）先根据勾股定理求出 的长度，然后再根据图形求解即可；
（2）当 为直角三角形时，分两种情况：①当 为直角时，②当 为直角时，分别求出此时
的t值即可．
【详解】（1）∵ ， ， ，
∴ ．
∵动点P从点B出发沿射线 以 的速度移动，
∴ ．
①当点P在线段 上时， ．②当点P在线段 的延长线上时， ．
故答案为：① ；② ；
（2）①当 为直角时，点P与点C重合， ，即 ；
②当 为直角时， ， ，
在 中， ，
在 中， ，
即： ，
解得 ，
故当 为直角三角形时， 或 ；
【点睛】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理，以及分情况讨论．
16．（2023春·全国·八年级期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉
斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证
明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定
理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个
图形中面积关系满足 的有___________个．
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分
别为 ， ，直角三角形面积为 ，请写出 ， ， 的数量关系：___________．(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这
一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形
的边长为定值 ，四个小正方形 ， ， ， 的边长分别为 ， ， ，d，则
___________．
【答案】(1)①见解析，②见解析
(2)①3，②
(3)
【分析】（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；
②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；
（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即
可得到答案；
②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；
（3）由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知， ．
【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么 ． 或在直
角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方）
②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．）
若选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即 ，
化简，得 ．
若选择图2，证明过程如下：
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即 ，
化简，得 ．
若选择图3，证明过程如下：
证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即 ，
化简，得 ．
（2）①根据题意，则如下图所示：
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则
由勾股定理，得 ，
∴ ；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则
， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则
， ， ，（等边三角形面积公式： ，a为边长）
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∴满足 的有3个，
故答案为：3；
②结论 ；
，
；
故答案为： ．（3）如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为： ，
∴ ， ， ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，勾股定理的证明，以及正方形的性质，解题的关键是
掌握勾股定理的应用，注意归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是
中档题．
