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第 2 章第 02 讲 立方根
1.了解立方根的含义；了解立方根的性质.
2.会用开立方运算求一个数的立方根，与立方互为逆运算.
3.区分立方根与平方根的不同.
知识点01 立方根的概念
1.立方根的定义：如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果
，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
2.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
知识点02 立方根的性质
【微点拨】
1.第三个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
知识点03 立方根的应用
利用立方根的定义解方程和求解实际问题.题型01 立方根概念理解
【典例】（2023春·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．8的立方根为 B．立方根等于它本身的只有1
C． 的平方根是 D．平方根等于立方根的数只有0
【答案】D
【分析】根据平方根和立方根的性质分别判断．
【详解】解：A、8的立方根为2，故错误，不合题意；
B、立方根等于它本身的只有0， 和1，故错误，不合题意；
C、 ，平方根是 ，故错误，不合题意；
D、平方根等于立方根的数只有0，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了立方根：若一个数的立方等于 ，那么这个数叫 的立方根，记作 ．也考查了平方
根的定义．
【变式1】（2023·浙江·七年级假期作业）下列说法正确的是（ ）
A． 没有立方根 B． 是 的立方根
C．一个非零数的立方根，仍然是一个非零的数 D． 的立方根是
【答案】C
【分析】根据立方根的定义逐个判断即可．如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为
三次方根，也就是说，如果 ，那么x叫做a的立方根．
【详解】解：A、 有立方根，故A不正确，不符合题意；
B、 是 的立方根，故B不正确，不符合题意；
C、一个非零数的立方根，仍然是一个非零的数，故C正确，符合题意；
D、 的立方根是 ，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是掌握如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的
立方根，也称为三次方根，也就是说，如果 ，那么x叫做a的立方根．
【变式2】（2023春·广东惠州·七年级校考期中）下列说法中正确的有（ ）．
①负数没有平方根，但负数有立方根； ② 的平方根是 ；
③ 的立方根是 ； ④ 的立方根是 ；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据平方根、立方根的定义逐项进行判断即可得出答案．
【详解】解：①负数没有平方根，但负数有立方根，故①正确；
② 的平方根是 ，故②正确；
③ 的立方根是 ，故③错误；
④ 的立方根是 ，故④正确；
综上分析可知，正确的有3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义，如果一
个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数
x叫做a的立方根．
题型02 求一个数的立方根
【典例】（2023春·湖北孝感·七年级统考期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据立方根，算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：A、 ，故错误；
B、 ，故错误；
C、 无意义，故错误；
D、 ，正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了求一个数的算术平方根及立方根，正确掌握计算法则是解题的关键．
【变式1】（2023春·广东肇庆·七年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据立方根的定义进行计算，即可得到答案．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的性质 是解题关键．【变式2】（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）计算： ．
【答案】4
【分析】由 ，从而可得答案．
【详解】解： ，
故答案为：4
【点睛】本题考查的是求解一个数的立方根，理解立方根的含义是解本题的关键．
【变式3】（2023春·四川南充·七年级四川省南充高级中学校考阶段练习） 的平方根是 ， 的
立方根是 ．
【答案】
【分析】分别根据平方根及立方根的定义解答即可．
【详解】解： ， ，
的平方根是 ；
，
．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查的是立方根、平方根及算术平方根，熟知以上知识是解题的关键．
题型03 已知一个数的立方根，求这个数
【典例】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）一个数的立方根是－2，则这个数是 ．
【答案】
【分析】根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
所以这个数是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了立方根的定义．掌握立方根的定义是解答本题的关键．
【变式1】（2023春·四川广安·八年级广安二中校考阶段练习）若一个数的立方根是4，则这个数为 ．
【答案】64
【分析】根据立方根的定义：一个数 的立方为 ，则 叫做 的立方根，进行求解即可．
【详解】解： ，
∴这个数为： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查立方根．熟练掌握立方根的定义，是解题的关键．
【变式2】（2023春·吉林·七年级统考阶段练习）若 的立方根是 ，则 ．【答案】3
【分析】根据立方根的意义求解即可．
【详解】解：∵ 的立方根是 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为3
【点睛】此题主要考查了立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根
只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
题型04 立方根的实际应用
【典例】（2023春·北京海淀·七年级校考期中）解方程
(1) (2)
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据平方根定义解方程即可得到答案；
（2）根据立方根定义解方程即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
，解得 或 ；
（2）解： ，
，解得 ．
【点睛】本题考查利用平方根定义及立方根定义解方程，熟记相关定义是解决问题的关键．
【变式1】（2023春·广东广州·七年级校考期中）求下列各式中x的值：
(1) ； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根的定义求解；
（2）根据立方根的定义求解．
【详解】（1）
变形为： ，
∴ ；
（2）∴ ，
∴ ,
∴
【点睛】本题考查了平方根，立方根，注意一个正数的平方根有2个，不要漏解．
【变式2】（2023秋·甘肃定西·七年级校考期末）利用所学知识解方程
(1) (2)
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）利用平方根的性质解方程即可；
（2）根据立方根的性质解方程即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
当 时， ，
当 时， ．
（2）解： ，
，
，
．
【点睛】本题考查了利用平方根和立方根的性质解方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
题型05 算术平方根和立方根的综合应用
【典例】（2023春·陕西安康·七年级统考期末）已知 的立方根是3， 的算术平方根是4．求
的平方根．
【答案】
【分析】根据立方根的定义及算术平方根的定义得到 ，求出x、y的值代入求值即可．
【详解】解： 的立方根是3， 的算术平方根是4，，
解得 ．
．
的平方根是 ．
【点睛】此题考查了立方根的定义及算术平方根的定义，已知字母的值求代数式的值，正确掌握立方根的
定义及算术平方根的定义是解题的关键．
【变式1】（2023春·重庆江北·七年级统考期末）已知 的算术平方根是2， 的立方根是3．
(1)求 的值；
(2)求 的算术平方根．
【答案】(1)14
(2)10
【分析】（1）根据已知条件，求出 、 的值，即可求出最终答案；
（2）把x、y的值代入，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵ 的算术平方根是2，
∴ ，
解得： ，
又∵ 的立方根是3，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ 的值为14.
（2）解：由（1）可知， ， ，
∵ ，
∴ 的算术平方根是10．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根的概念，掌握算术平方根、立方根的概念是关键．
【变式2】（2023春·福建莆田·七年级统考期中）如果一个正数m的两个平方根分别是 和 ，n是
的立方根．
(1)求m和n的值．
(2)求 的算术平方根．
【答案】(1) ， ；
(2)6【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a的值，利用平方根和立方根即可求解；
（2）将（1）中结果代入，然后求算术平方根即可．
【详解】（1）解：∵一个正数m的两个平方根分别是 和 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵n是 的立方根，
∴ ；
（2）由（1）得 ， ，
∴ ，
∴ 的算术平方根为6．
【点睛】本题考查了平方根的性质，立方根的性质．解决本题的关键是求出a．
一、选择题
1．（2023春·山西大同·七年级统考期末）27的立方根是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据立方根的定义，可以知道3的立方等于27，所以27的立方根是3．
【详解】因为 ，所以27的立方根是3，
即 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了立方根的定义，理解立方根的定义是解决本题的关键．
2．（2023春·湖南长沙·七年级统考期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据求一个数的算术平方根，立方根，算术平方根的非负性，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. 无意义，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一个数的算术平方根，立方根，算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根、立方根
的定义是解题的关键．
3．（2023春·重庆江津·七年级重庆市江津中学校校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A． 的立方根是 B． 的立方根是
C．64的平方根是8 D．只有非负数才有立方根
【答案】A
【分析】根据平方根和立方根的定义进行求解即可．
【详解】解：A、 的立方根是 ，说法正确，符合题意；
B、 的立方根是 ，说法错误，不符合题意；
C、64的平方根是 ，说法错误，不符合题意；
D、所有的实数都有立方根，说法错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了立方根和平方根，熟知二者的定义是解题的关键．
4．（2023春·广东广州·七年级广州大学附属中学校考阶段练习）若4的平方根是x， 的立方根是y，则
的值为（ ）
A．7 B．11 C． 或7 D．11或
【答案】C
【分析】根据平方根和立方根的定义求出x、y的值即可得到答案．
【详解】解：∵4的平方根是x， 的立方根是y，
∴ ，
∴ 或 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平方根和立方根，正确根据平方根和立方根的定义求出x、y的值是解题的关键．
5．（2023·浙江·七年级假期作业）有一个数值转换器，原理如下，当输入 时，输出的y是（ ）
A．4 B． C． D．【答案】D
【分析】把 代入数值转换器中，依次计算确定出y即可．
【详解】解： ，
由题中所给的程序可知：
当 时， ，
当 时， ，
故选：D．
【点睛】此题考查了实数，弄清数值转换器中的运算是解本题的关键．
二、填空题
6．（2023春·重庆江北·七年级统考期末） 的值是 ．
【答案】
【分析】根据立方根的运算直接求解即可．
【详解】
故答案为： ．
【点睛】本题考查了立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的运算法则．
7．（2023·全国·七年级专题练习）当x取 时， 有意义．
【答案】任意实数
【分析】根据立方根的定义，可得出 的取值范围．
【详解】解：∵任何实数都有立方根，
∴ 可取任意实数，
∴ 可取任意实数，
∴当 取任意实数时， 有意义．
故答案为：任意实数
【点睛】本题考查了立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键．
8．（2023秋·云南·七年级校考期末）已知 ，则 的立方根是 ．
【答案】 /0.5
【分析】根据已知得出方程 ，求出 的值，即可求出答案．
【详解】解： ，
，
解得： ，
，则 的立方根是 ，故答案为: ．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，偶次方，立方根的应用，关键是求出 的值．
9．（2023·浙江·七年级假期作业）李师傅打算把一个长、宽、高分别为 ， ， 的长方体铁块
锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长是多少 ？
【答案】20
【分析】根据题意，虽然形状发生了变化，但是其体积仍然是没有变化的，以此计算即可．
【详解】解：由题意得长方体体积为： ，
所以立方体棱长 ，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了立方根的运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
10．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考开学考试）已知实数a、b、c在数轴上对应的
点的位置如图所示，化简： 的结果为 ．
【答案】
【分析】先判断 和 的正负，然后根据绝对值的意义，算术平方根和立方根的意义化简，再合并同
类项即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，算术平方根和立方根的意义，以及整式的加减，熟练掌握各知识点是
解答本题的关键．
三、解答题
11．（2023春·七年级课时练习）求下列各数的立方根．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据立方根的定义直接求解即可；
（2）根据立方根的定义直接求解即可；
（3）根据立方根的定义直接求解即可；
（4）先化为假分数，然后根据立方根的定义直接求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解： ，
∴ ；
（3） 的立方根是 ，
（4）∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查立方根的定义，掌握立方根的概念及求一个数的立方根的方法是本题的解题关键．一个
正数有一个正的立方根、0的立方根是0，一个负数有一个负的立方根．
12．（2023春·广东广州·七年级统考期末）计算： ．
【答案】6
【分析】根据算术平方根和立方根以及绝对值求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了算术平方根和立方根以及绝对值，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
13．（2023春·陕西渭南·七年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据立方根、算术平方根可进行求解．【详解】解：原式 ．
．
【点睛】本题主要考查立方根及算术平方根，熟练掌握立方根及算术平方根是解题的关键．
14．（2023春·北京海淀·七年级校考期中）求下列等式中x的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根的意义求解即可；
（2）根据立方根的意义求解即可；
【详解】（1）
解得 ；
（2）
解得 ．
【点睛】此题考查了平方根和立方根的意义，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的意义．
15．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期末）一个正数 的两个平方根是 和 ，求 的立方根．
【答案】
【分析】根据平方根的性质：一个正数的有两个平方根且它们互为相反数解答即可．
【详解】解：∵一个正数 的两个平方根是 和 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的立方根为 ．
【点睛】本题考查了平方根的性质，一元一次方程，立方根的定义，掌握平方根的性质是解题的关键．16．（2023春·吉林白城·七年级校联考阶段练习）已知一个正数的两个不同的平方根分别是 与 ．
(1)求a的值；
(2)求关于x的方程 的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数列式求解即可；
（2）根据立方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是 与 ，
∴ ，
解得： ．
（2）解：当 时， ，即 ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了平方根的性质、立方根的定义等知识点，掌握一个正数有两个平方根，这两个平
方根互为相反数是解题的关键．
17．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）已知 的平方根是 ， 的立方根是3．
(1)求 、 的值；
(2)求 的算术平方根．
【答案】(1) ，
(2)9
【分析】（1）根据立方根与平方根的意义求出 、 的值；
（2）求出 的值，再根据算术平方根的定义求出结果．
【详解】（1）解： 的平方根是 ，
，
，
的立方根是3，
，
．
（2）解：由（1）可知， ，
的算术平方根是9．
【点睛】本题考查了立方根、算术平方根与平方根，正确理解相应的定义是解题的关键．
18．（2023春·江西南昌·七年级统考期末）已知 是 的平方根，3是 的算术平方根．
(1)求a，b的值；
(2)求 的立方根．
【答案】(1) ，(2)
【分析】（1）由平方根、算术平方根的定义求出 、 的值；
（2） 、 的值代入求出 的值，再根据立方根的定义求出其立方根即可．
【详解】（1）解：∵ 是 的平方根，
∴ ，
又∵3是 的算术平方根，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由（1）可知
∴ ．
【点睛】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根，解题关键是熟练掌握平方根、算术平方根以及立
方根的定义．
