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第 03 讲 估算
课程标准 学习目标
①掌握估算的方法 1. 会估算一个无理数的大致范围；
②会利用估算法比较大小 2. 比较两个无理数的大小．
知识点01 估算
【微点拨】日常生活中有些数据不需要十分精确时，可以通过应用所学知识进行估算，但要尽可能地减小
误差，方法要科学．
估算法：（1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算 和 的大小．
例如： ，则 ； ，则 ．
常见实数的估算值： ， ， ．
【即学即练1】
1.估计 的值在（ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间【答案】A
【分析】根据无理数估算大小的方法即可求解．
【详解】解：∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查无理数比较大小，掌握无理数估算大小，比较大小的方法是解题的关键．
2.若a和b为两个连续整数，且 ，那么 ， ．
【答案】 3 4
【分析】根据 ，可得： 的值，进而即可求解．
【详解】 ，
又 为两个连续整数， ，
故答案为：3；4．
【点睛】本题主要考查算术平方根的估算，掌握算术平方根的意义，是解题的关键．
知识点02 比较无理数的大小
①平方（立方）②估算法
注意：
还有其他比较实数大小的方法，如数形结合法（数轴上右边的实数始终比左边的大），作差法，作商法等．
【即学即练1】
1.比较大小：−3❑√2 −❑√19．
【答案】>
【分析】此题主要考查了实数的大小的比较，要比较的两个数都是带根号的无理数时，应把根号外的数整
理到根号内，然后比较被开方数．也可以采用求近似值的方法来进行比较．
因为相比较的两个数都带根号，所以应把根号外的数整理到根号内，然后比较被开方数的大小即可．
【详解】解：3❑√2=❑√18，
❑√18<❑√19，
∵∴−3❑√2>−❑√19
故答案为：>
题型01 估计算术平方根的取值范围【典例1】（2024九年级下·新疆·专题练习）估计❑√5的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】A
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数，算术平方根，是解题的关键．
根据4<5<9，得到❑√4<❑√5<❑√9，即可估算❑√5的取值范围．
【详解】解：∵4<5<9，
∴❑√4<❑√5<❑√9，即2<❑√5<3．
故选：A．
【变式1】（23-24七年级下·重庆秀山·阶段练习）估计❑√27+1的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】D
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据25<27<36得到5<❑√27<6，则6<❑√27+1<7，据此可得答
案．
【详解】解：∵25<27<36，
∴5<❑√27<6，
∴6<❑√27+1<7，
故选：D．
【变式2】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）估算❑√17×❑√3−4的结果在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【分析】本题考查无理数的估值计算．根据题意可得❑√17×❑√3−4=❑√51−4≈3.1，继而得到本题答案．
【详解】解：∵❑√17×❑√3−4=❑√51−4≈3.1，
∴❑√17×❑√3−4的结果在3和4之间，
故选：C．
【变式3】（23-24七年级下·重庆·期末）估算4−❑√5的值（ ）
A．在0到1之间 B．在1到2之间
C．在2到3之间 D．在3到4之间
【答案】B
【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围即可．
【详解】解：∵❑√4<❑√5<❑√9，
∴2<❑√5<3，
∴−3<−❑√5<−2，
∴1<4−❑√5<2；
故选B．题型02 无理数的大小估算
【典例2】（22-23八年级上·河南开封·期末）把无理数❑√17，❑√11，❑√5，❑√3表示在数轴上，在这四个无
理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．
【答案】❑√11
【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小即可得出答案，估算无理数的大小是解题的关键．
【详解】解：∵4<❑√17<5，∴不符合题意，
∵3<❑√11<4，∴符合题意，
∵2<❑√5<3，∴不符合题意，
∵1<❑√3<2，∴不符合题意，
故答案为：❑√11．
【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）估算下列数的大小：
（1）√3120≈ (结果精确到1)；
（2）❑√14.8≈ (结果精确到0.1)．
【答案】 5 3.8
【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题关键会用“夹逼法”．
（1）由43=64,53=125即可得出结论；
（2）由于9<14.8<16，由此即可找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后即可判断出所
求的无理数的大小．
【详解】解：（1）∵43=64,53=125,(√3120) 3 =120，
120更接近125，
∴√3120≈5；
（2）∵9<14.8<16，
∴3<❑√14.8<4，
∵3.82=14.44,3.92=15.21，
14.8更接近14.44，
∴❑√14.8≈3.8．
故答案为：5；3.8．
【变式2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）写出一个介于−❑√3和−❑√10之间的整数 ．
【答案】−2
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．直接根据无理数
比较大小即可得出结果．
【详解】解：∵−❑√10<−❑√4=−2<−❑√3，
∴介于−❑√3和−❑√10之间的数为：−2，故答案为：−2．
【变式3】（22-23七年级下·四川广安·阶段练习）❑√28在两个连续整数a和b之间，a<❑√28”“<”或“=
”）．
【答案】<
【分析】此题主要考查了实数比较大小，正确估算无理数的大小是解题关键．直接利用估算无理数的大小
方法分析可得出答案．
【详解】解：∵1<❑√2<2，
∴0<2−❑√2<1，
故答案为：<．
❑√5+1
【变式2】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）比较大小：1.5 ．
2
【答案】＜
【分析】本题考查了实数比较大小，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算方法得出
❑√5＜2.5，再比较大小即可．
【详解】∵4<5，∴2<❑√5，
∴2+1<❑√5+1，
3 ❑√5+1 ❑√5+1
∴ < 即1.5<
2 2 2
故答案为：＜
【变式3】（23-24七年级下·山东济宁·期末）比较大小：❑√5+1 3．(填“>”“<”或“=”)
【答案】>
【分析】本题考查的是无理数的估算，根据2<❑√5<3，从而可得答案；
【详解】解：∵2<❑√5<3，
∴3<❑√5+1<4．
∴❑√5+1>3；
故答案为：>
题型04 无理数整数部分的有关计算
【典例3】（23-24七年级下·内蒙古通辽·期末）已知5+❑√7的小数部分为a，5−❑√7的小数部分为b，则
(a+b) 2024= ．
【答案】1
【分析】本题主要考查估算无理数的大小，求得a，b的值是解题的关键．先估算出5+❑√7的整数部分，然
后可求得a的值，在估算出5−❑√7的整数部分，可求得b的值，最后代入计算即可．
【详解】解：∵4<7<9，
∴2<❑√7<3
∴7<5+❑√7<8，2<5−❑√7<3，
∴a=5+❑√7−7=❑√7−2，b=5−❑√7−2=3−❑√7，
∴(a+b) 2024=(❑√7−2+3−❑√7) 2024=12024=1．
故答案为：1．
【变式1】（23-24七年级下·山东临沂·期末）设4+❑√5的整数部分是a，小数部分是b，则a−b=
【答案】8−❑√5/−❑√5+8
【分析】考查了估计无理数，得出a，b的值是解题关键．根据无理数大小可得出a，b的值，再代入计算
即可．
【详解】解：∵4<5<9，
∴2<❑√5<3，
∴4+2<4+❑√5<4+3即6<4+❑√5<7
∵4+❑√5的整数部分是a，小数部分是b，
∴a=6，b=❑√5−2，
则a−b=6−(❑√5−2)=8−❑√5．故答案是8−❑√5．
【变式2】（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）已知a的立方根是2，b是❑√12的整数部分，则a+b的算术
平方根是 ．
【答案】❑√11
【分析】本题考查了立方根与算术平方根、无理数的估算，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关
键．先根据立方根的性质求出a的值，再根据无理数的估算可得b的值，然后根据算术平方根的性质求解即
可得．
【详解】解：∵a的立方根是2，
∴a=23=8，
∵9<12<16，
∴❑√9<❑√12<❑√16，即3<❑√12<4，
∵b是❑√12的整数部分，
∴b=3，
∴a+b=8+3=11，
则a+b的算术平方根是❑√11，
故答案为：❑√11．
【变式3】（22-23七年级下·湖北黄冈·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道❑√2是无理数，因此
❑√2的小数部分我们不可能全部地写出来❑√2−1来表示❑√2的小数部分，小明的表示方法是有道理的，因为
❑√2，将这个数减去其整数部分，差就是❑√2，又例如∵22<(❑√7) 2<32，即2<❑√7，∴❑√7的整数部分为2，
小数部分为(❑√7−2)．
请解答：
(1)❑√11的整数部分是 ，小数部分 ．
(2)如果❑√5的小数部分为a，❑√41的整数部分为b，则a+b−❑√5的值．
(3)已知x是3−❑√5的整数部分，y是其小数部分，直接写出x−y的值．
【答案】(1)3，❑√11−3
(2)4
(3)❑√5−3
【分析】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键．
（1）先估算出❑√11的范围，再求出即可；
（2）先估算出❑√5和❑√41的范围，再求出a、b的值，最后求出代数式的值即可；
（3）先求出3−❑√5的范围，再求出x、y的值，最后代入求出即可．
【详解】（1）解：∵❑√9<❑√11<❑√16，
∴3<❑√11<4，
∴❑√11的整数部分是3，小数部分是❑√11−3，故答案为：3，❑√11−3；
（2）解：∵❑√4<❑√5<❑√9，❑√36<❑√41<❑√49，
∴2<❑√5<3，6<❑√41<7，
∴a=❑√5−2，b=6，
∴a+b−❑√5=❑√5−2+6−❑√5=4；
（3）解：∵2<❑√5<3，
∴−2>−❑√5>−3，
∴1>3−❑√5>0，
∴x=0，y=3−❑√5，
∴x−y=0−(3−❑√5)=❑√5−3．
一、单选题
1．（23-24七年级下·广东珠海·期中）估计 的值是在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】B
【分析】本题考查估算无理数大小，解题的关键是掌握算术平方根的定义，能估算无理数大小．由
，可得 ，即可得到答案．
【详解】解： ，
，
故选：B
2．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）估计 的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】C
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据题意得到 是解题的关键．先估算出 的范围，
再得到 的范围，即可求解．
【详解】解： ，，
，
估计 的值应在5和6之间，
故选： ．
3．（2024·四川资阳·中考真题）若 ，则整数m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】此题考查了无理数的估算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法．首先确定 和 的范围，
然后求出整数m的值的值即可．
【详解】解：∵ ，即 ， ，即 ，
又∵ ，
∴整数m的值为：3，
故选：B．
4．（23-24八年级上·全国·单元测试）若一个正方体水晶砖的体积为100，则它的棱长约在（ ）
A． 之间 B． 之间 C． 之间 D． 之间
【答案】D
【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
由题意可得正方体的棱长为 ，然后进行估算即可．
【详解】解：∵一个正方体的水晶砖的体积为100，
其棱长为 ，
，
，
，
，
即它的棱长大约在 之间，
故选：D．
5．（22-23八年级上·河南南阳·期中）若 是 的算术平方根， 是 的小数部分，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了算术平方根的概念和无理数的估算，根据算术平方根的概念和无理数的估算求出 ，
即可，熟练掌握算术平方根的概念和无理数的估算是解题的关键．
【详解】解：∵ 是 的算术平方根，∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
二、填空题
6．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）请写出一个大于 而小于 的无理数 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了无理数的定义和实数的大小比较，能熟记无理数的定义的内容是解此题的关键．本题
是一道开放型的题目，答案不唯一，根据无理数的定义和已知写出一个即可．
【详解】解：大于 而小于 ，即
符合题意的有： ，
故答案为： （答案不唯一）．
7．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）与 最接近的整数是 ．
【答案】7
【分析】本题考查估算无理数的大小．估算无理数 的大小，再确定 更接近的整数，进而得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 最接近的整数是7，
故答案为：7．
8．（23-24七年级下·新疆伊犁·期末）比较大小：（1） ，（2）
【答案】
【分析】本题考查实数的大小比较，根据平方法和估算法，进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，即： ；
故答案为： ； ．
9．（22-23八年级上·广西南宁·开学考试）已知a，b为两个连续整数，且 ，则 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了无理数大小的估算以及代数式求值， 先估算出 即可得出， ，
，再代入代数式求值即可．
【详解】解： ，
，∵
∴a，b为两个连续整数，且 ，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为：7．
∴
10．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知 ， ， ， ．若
n为整数且 ，则n的值是 ．
【答案】44
【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．
根据题意可知： ， ， 为整数且 ，即 ，因此
，即可得出结果．
【详解】解： ， ， 为整数且 ，
，
，
， ，
故答案为：44．
三、解答题
11．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知 ， 的平方根是 ， 是 的整数部分．
(1)求 的算术平方根；
(2)求 的立方根．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）根据平方根的定义以及估算无理数大小的方法得出 ， ， 的值，进而得出代数式的值，
根据算术平方根（2）先求出a，b，c的值，再利用立方根的定义求出答案．
【详解】（1）解： ，
，
解得 ，
的平方根是 ，
，
解得 ，
，
的整数部分 ．
把 ， ， 代入 得，
原式 ，
的算术平方根是4，
的算术平方根为4；
（2）解：由（1）知： ， ， ，
∴ ．
的立方根是 ，
的立方根为 ．
【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根及估算无理数的大小等知识点，能够理解和明确已知中
相关概念及其性质是解答问题的关键．
12．（23-24七年级下·江西宜春·期末）根据表回答问题：
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8
256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24
(1)272.25的平方根是 ；
(2) ， ；
(3)设 的整数部分为m，求 的立方根．
【答案】(1)
(2)163；1.66
(3)
【分析】本题主要考查无理数的估算和平方根：
（1）根据平方根的定义进行计算即可；
（2）开二次方时，被开方数的小数点每向右或向左移动两位时，结果小数点向右或向左移动一位，由此
计算即可；（3）根据 可得 ，则 的整数部分 ， ，再
求出 的立方根为
【详解】（1）解：∵ ，
∴272.25的平方根是 ，
故答案为： ；
（2）解：∵开二次方时，被开方数的小数点每向右或向左移动两位时，结果小数点向右或向左移动一位，
∴ ， ，
故答案为：163，1.66；
（3）解： ，
，
的整数部分 ，
，
的立方根为 ．
13．（22-23七年级上·浙江·期中）请回答下列问题：
(1) 介于连续的两个整数 和 之间，且 ，那么 __________， ____________．
(2) 是 的小数部分， 是 的整数部分，求 ____________， ____________．
(3)求 的立方根．
【答案】(1)2；3
(2) ；3
(3)2
【分析】本题考查无理数的估算及立方根的定义，结合已知条件求得对应字母的值是解题的关键．
（1）估算出 在哪两个连续整数之间即可；
（2）结合（1）中所求，估算出 ， 分别在哪两个连续整数之间即可求得 ， 的值；
（3）将 ， 的值代入 中计算后，根据立方根的定义即可求得答案．
【详解】（1） ，
，
介于连续的两个整数 和 之间，且 ，
， ，故答案为：2；3；
（2） ，
， ，
则 ， ，
故答案为： ；3；
（3）结合（2）可得 ，
故 的立方根为：2．
14．（23-24七年级下·河南安阳·期末）观察：∵ ，即 ，∴ 的整数部分为2，小
数部分为 ．规定符号 表示实数m的整数部分，例如： ， ，请你运用上述规律解
决下面的问题：
(1)按此规定 ________；
(2)如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了无理数的估算．
（1）先估算出 ，得到 ，根据定义即可得到答案；
（2）先估算出 的小数部分 ， 的整数部分为 ，进一步计算即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
（2）∵ ，
即 ，
∴ 的整数部分为2，小数部分 ．
∵ ，即 ，
∴ 的整数部分 ．
∴ ．
∴ ．∴ ．
15．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）根据表回答下列问题：
x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18
28
x2 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324
9
(1)316.84的平方根是 ；
(2) ＝ ， ＝ ；
(3)若 介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 个；
(4)若 小数部分为m，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)171；1.77
(3)4
(4)315
【分析】本题考查平方根，算术平方根，估算无理数大小，无理数小数部分有关的计算．
（1）根据平方根的定义求解即可；
（2）根据算术平方根的规律求解即可；
（3）根据 ，得 ，
（4）根据 ，得出 ，则 ，所以 小数部分
，再代入计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴316.84的平方根是 ，
故答案为： ；
（2）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：171；1.77．
（3）解：∵ 介于17.6与17.7之间，
∴ ，∴ ，
∴满足条件的整数n有310，311，312，313，
∴整数n有4个，
故答案为：4．
（4）解：∵ ，
∴17.7 ，
∴ ，
∴ 小数部分 ，
∴ ．
16．（23-24七年级下·广东珠海·期中）先阅读下面的文字，然后解答问题．
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用
的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，因为 的整数部分是1，差就是小数部分．
由此我们还可以得到一个真命题：如果 ，其中x是整数，那么 ，
请解答下列问题：
(1)如果 ，其中 是整数， 且 ，那么 ， ；
(2)已知 ，其中 是整数， 且 ，求 的值．
【答案】(1)3，
(2)
【分析】此题考查了估算无理数的大小， 解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题 ．
（1） 估算出 ，可得 ，依此即可确定出 ， 的值；
（2） 根据题意确定出 与 的值， 代入求出 即可 ．
【详解】（1）解： ，其中 是整数， 且 ，
，
，
， ，
则 ；
（2）解： ，其中 是整数， 且 ，
， ，
则 ．
17．（23-24七年级下·山西忻州·期末）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．无理数的估算：
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，于是我
用 来表示 的小数部分，你同意我的表示方法吗？
事实上，我的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数
部分
例如：
∵ ，即 ，
∴ 的整数部分是2，小数部分是
根据以上笔记内容，请完成如下任务．
(1)任务一： 的小数部分为______．
(2)任务二：a为 的小数部分，b为 的整数部分，请计算 的值．
(3)任务三： 其中x是整数，且 求 的相反数．
【答案】(1)
(2)1
(3)
【分析】本题考查了无理数的估算，相反数，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键．
（1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案；
（2）根据 ，可求得a值，根据 ，可求得b值，代入即可求解；
（3）根据 ， 其中x是整数，且 可求得 ， ，代入 ，
即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，即 ，
∴ 的小数部分为 ．
（2）解：∵ ，即 ，
∴ 的小数部分为 ，即 ；
∵ ，即 ，
∴ 的整数部分为3，即 ；
∴ ．
（3）解：∵
∴
∵ 其中x是整数，且∴ ， ，
∴ 的相反数 ．
18．（23-24八年级上·全国·单元测试）在没有带开方功能的计算器的情况下，我们可以用下面的方法得到
（ 为正整数）的近似值 （ 为正整数），并通过迭代逐渐减小 的值来提高 的精确度，以
求 的近似值为例，迭代过程如下：
① 先估计 的范围并确定迭代的初始值 ．
，
，取 ．
② 通过计算 和 得到精确度更高的近似值 ．
请根据以上信息，完成下面的问题（此题中记 ，以下结果都要求写成小数形式）：
(1)当 时， ____， ________， ______；
(2)当 时，求 （精确到 0.001）、 的值．
【答案】(1) ， ，
(2) ， ，
【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，正确理解题干所给信息是解此题的关键．
（1）将 带入 即可求得 ，再将 、 代入 求出 的值，然后将 代入
计算即可；
（2）参照（1）中的方法将 的值代入计算即可．
【详解】（1）解：由题干所给的信息分析可得：
当 时，将 带入 得 ，
∴ ， ；
（2）解：当 时，将 代入 得 ，
∴ ， ．
