文档内容
第 02 讲 一元一次不等式及应用
课程标准 学习目标
①一元一次不等式的概念 1.掌握一元一次不等式概念；
②会解一元一次不等式 2.会解一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；
③一元一次不等式的应用 3.利用一元一次不等式解决实际问题。
知识点01 一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不
等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也
有联系，即一元一次不等是属于不等式．【即学即练1】（23-24七年级下·北京顺义·阶段练习）下列是一元一次不等式的有（ ）
， ， ， ， ，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练2】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知 是关于 的一元一次不等式，
则 ．
知识点02 解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类
项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等
号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
【即学即练1】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式： ，将解集在数轴上表示出来，
并写出符合条件的x的非负整数解．
【即学即练2】（2024八年级上·全国·专题练习）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1) ；
(2) ．
知识点03 一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的
条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非
常容易的解决问题．
【即学即练1】（24-25八年级上·浙江·阶段练习）写出一个满足不等式 的正整数 的值：
．
【即学即练2】（2024·陕西商洛·模拟预测）求不等式 的正整数解．
知识点04 一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
【即学即练1】（2024·湖南·模拟预测）为了响应共青团中央的号召，某中学的团员积极参与青年大学习
的答题竞赛活动．竞赛活动共有20道题，每道题答对得5分，答错扣2分，不答得0分．
(1)若某位参赛团员的最终得分是83分，其中有2道题没有作答，请问该团员答对了多少道题？
(2)若参赛团员的得分至少需要得到85分才能获评“答题能手”，则参赛团员最少需要答对多少道题才能
获评“答题能手”？
题型01 一元一次不等式的识别
例题：（23-24八年级下·陕西西安·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）下列各式中，是一元一次不等式的有（ ）
； ； ； ； ； ．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．（23-24八年级上·湖南娄底·阶段练习）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤
．其中是一元一次不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型02 利用一元一次不等式的定义求参数的值
例题：（24-25八年级上·重庆·开学考试）已知 是关于 的一元一次不等式，则 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）已知不等式 是关于x的一元一次不等式，则
．2．（22-23八年级下·广东深圳·期中）已知 是关于 的一元一次不等式，则
．
题型03 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集
例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）解不等式并把解表示到数轴上：
(1) ；
(2)
【变式训练】
1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）解不等式： ，并把解集在数轴上表示出来．
2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）解不等式： ，并把解集在数轴上表示出来；
题型04 求一元一次不等式的整数解
例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）关于x的不等式 的非负整数解为 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·北京朝阳·期末）不等式 的正整数解是 ．
2．（22-23七年级下·云南曲靖·期末）不等式 的负整数解的和等于 ．
题型05 一元一次不等式求解中错解复原问题
例题：（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）下面是航航解不等式 的过程：
，第一步
，第二步
，第三步
，第四步先阅读以上解题过程，然后解答下列问题
(1)航航的解题过程从第 步开始出现错误；
(2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下面是小明解一元一次不等式 的过程，请认真阅读并完
成相应的任务．
解：去分母，得 ……第一步
去括号，得 ……第二步
移项，得 ……第三步
合并同类项，得 ……第四步
两边都除以5，得 ……第五步
(1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步骤的依据是 ．
(2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上．
2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务．
解不等式：
解： 第一步
第二步
．第三步
．第四步
第五步
任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据 （填运算律）进行变形的；②第 步开始出错，这
一步错误的原因是 ；
任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来．
题型06 解|x|≥a型的不等式
例题：（22-23七年级下·河南鹤壁·期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题．
例：解绝对值方程： ．
解：分情况讨论：①当 时，原方程可化为 ，解得 ；
②当 时，原方程可化为 ，解得 ．
所以原方程的解为 或 ．根据材料，解下列绝对值方程：
(1)理解应用： ；
(2)拓展应用：不等式 的解集为______．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·福建厦门·期中）阅读理解：
例1．解方程 ，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为 ，所以方程 的解为 ．
例2．解不等式 ，在数轴上找出 的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2
的点对应的数为 或3，所以方程 的解为 或 ，因此不等式 的解集为 或
．
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程 的解为________
(2)解不等式： ．
(3)解不等式： ．
2．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的
探究，首先对 和 进行探究：
根据绝对值的意义，将不等式 的解集表示在数轴上（如图1），可得 的解集是： ；将
不等式 的解集表示在数轴上（如图2），可得 的解集是： 或 ．
根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式 （ ）的解集为______，不等式 （ ）的解集为______；
(2)解不等式 ；
(3)求不等式 的解集．
题型07 列一元一次不等式
例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）小明准备用零花钱购买一个学生 眼镜，他已经存有60元，从
现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱 个月，不等式可列为
．【变式训练】
1．（23-24八年级下·全国·单元测试）老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生，已知套尺
的单价5元，圆规的单价为10元．老师买了7套套尺，求老师最多还能买几副圆规．设老师买了x副圆规，
可列不等式为 ．（只列式不计算）
2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，笔的单价为2元，
笔记本单价为8元，若购买的总金额少于30元，依题意可列不等式： ．
题型08 用一元一次不等式的解决实际问题
例题：（23-24八年级上·湖南娄底·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，某学校举行了主题为
“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，竞赛共有25道题，满分100分，每答对
一题得4分，答错扣1分，不答得0分．
(1)若小明只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则小明答对了多少道题？
(2)若规定参赛者每道题都必须作答，且总得分大于或等于95分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛
者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
【变式训练】
1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）学校决定购买A，B两种型号电脑，若购买A型电脑3台，
B型电脑8台共需40000元；若购买A型电脑14台，B型电脑4台共需80000元．
(1)求A，B两种型号电脑每台多少元？
(2)若用不超过160000元去购买A，B两种型号电脑共45台，则最多可购买A型电脑多少台？
2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京某厂可
支援外地12台，上海某厂可支援外地6台，现在决定支援汉口10台，重庆8台．如果从北京运往汉口、
重庆的运费分别是4万元/台、8万元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3万元/台、5万元/台．
(1)若总运费恰好为90万元，则如何调运？
(2)若总运费不超过91万元，问共有几种调运方法？
(3)在（2）中，求总运费最低的调运方法，最低费用是多少？
一、单选题
1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．2．（23-24八年级下·甘肃张掖·期中）不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）若关于x的方程 的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八年级上·全国·专题练习）若不等式 的解集表示在数轴上如图所示，则被
墨迹污染的数字是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级下·广西梧州·期末）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A地需要不
到5小时．已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（
）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（24-25八年级上·浙江·期中）用不等式表示“2与 的3倍的和是正数”： ．
7．（23-24八年级上·全国·单元测试）若关于 的不等式 的解集在数轴上的表示如图所示，则
的值是 ．
8．（23-24八年级下·全国·单元测试）关于x的方程 解为负数，则实数a的取值范围是
9．（23-24八年级下·全国·期末）两个实数 ， ，规定 ，则不等式 的解集
为
10．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）若关于x的不等式 的解集是 ，那么关于
x的不等式 的解集是 ．
三、解答题
11．（2024·北京·模拟预测）解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解．12．（23-24九年级上·全国·单元测试）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
13．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）解下列不等式：
(1)
(2)
14．（24-25八年级上·浙江温州·期中）解下列不等式，并把解表示在数轴上．
(1) ；
(2) ．
15．（23-24七年级下·山西朔州·期末）下面是小明同学解一元一次不等式 的过程，请认真
阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得 ．……第一
步
移项，得 ．…………第二
步
合并同类项，得 ．………………第
三步
化系数为1，得 ．……………………第
四步
任务一：
（1）去分母的依据是_______；
（2）解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现______处错误，其中最后一处错误在第______步，
错误的原因是______；
（3）请写出不等式 的正确解答过程，并把解集表示在数轴上；
任务二：
请你给同学们提出在解一元一次不等式时避免解答出错的一条建议．
16．（23-24七年级下·广东湛江·期末）某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，共有20道题，
规定答对一道题得10分，答错或放弃扣4分，在这次抢答赛中，七年级1班代表队被评为优秀（90分或
90分以上），求这个队至少要答对多少道题？
17．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知，在 中， ，且 ．(1)求a的取值范围；
(2)若 为等腰三角形，求a的值．
18．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）数学活动课上，老师让同学们用长度分别是 ， ，
的三根木棒搭一个三角形的木架，小明不小心把 的木棒折去了 ，他发现：用折断后剩下
的木棒与另两根木棒怎么也搭不成三角形．
(1)你知道为什么吗？
(2) 长的木棒至少折去多长后剩余的部分就不能与另两根木棒搭成三角形？
19．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）“靖州杨梅”——湖南省靖州县特产，全国农产品地理标志．靖州
杨梅已有上千年的栽培史，以色泽呈乌、酸甜适度、果大核小、品质优良、营养丰富而著称．《靖州乡土
志》诗云：“木洞杨梅尤擅名，申园梨栗亦争鸣，百钱且得论摊买，恨不移根植上京．”目前，靖州杨梅
主要分为台梅和乌梅两种．某水果商为了解靖州杨梅的市场销售情况，购进台梅和乌梅两种进行试销．在
试销中，水果商将两种杨梅搭配销售，若购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192元；若购买台梅3千克，
乌梅4千克，共需172元．
(1)求台梅和乌梅每千克各多少元？
(2)一顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100千克，要求台梅尽量多，他最多能购买台梅多少千克？
20．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题，
材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为
．例如：数轴上 与3对应的点之间的距离为 ．
(1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x， ，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C
的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；
(2)利用数轴探究：当x取何值时， 有最小值，最小值是多少?
(3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由图可得出：绝对值不等式 的解集是 或 ；绝对值不等式 的解集，是 ，则：
不等式 的解集是______；
②利用数轴解不等式 ，并加以说明．
