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第二章 相交线与平行线 章末检测卷（北师大版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021·安徽长丰·七年级期末）下列图形中，有关角的说法正确的是（ ）
A．∠1与∠2是同位角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠3与∠5是对顶角 D．∠4与∠5相等
【答案】C
【分析】根据同位角、内错角、对顶角的定义判断即可求解．
【详解】A、∠1与∠2不是同位角，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠4不是内错角，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、∠3与∠5是对顶角，原说法正确，故此选项符合题意；
D、∠4与∠5不相等，原说法错误，故此选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查同位角、内错角、对顶角的定义，解题的关键是熟练掌握三线八角的定义及其区分．
2．（2021·山东寒亭·七年级期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次转弯后，在与原来相同的方向上平
行行驶，那么汽车两次转弯的角度可能是（ ）
A．第一次右转 ，第二次左转 B．第一次左转 ，第二次右转
C．第一次左转 ，第二次左转 D．第一次右转 ，第二次右转
【答案】B
【分析】依照题意画出图形，根据平行线的判定判断即可得出结论．
【详解】解：A、如图，∵∠1＝40°，∠2＝60°，∴∠1≠∠2，∴两次转弯后，现在的方向与原来的方向不平行，故A选项错误；
B、如图，
∵∠1＝30°，∠2＝30°，∴∠1＝∠2，∴两次转弯后，现在的方向与原来的方向平行，故B选项正确；
C、如图，
∵两次都是向左转，∴两次转弯后，现在的方向与原来的方向不平行，故C选项错误；
D、如图，
∵两次都是向右转，∴两次转弯后，现在的方向与原来的方向不平行，故D选项错误；故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是根据行驶方向得出∠1＝∠2．本题属于基础题，难度不
大，解决该题型题目时，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．
3．（2021·山西广灵·七年级期中）绘图员画图时经常使用丁字尺，丁字尺分尺头、尺身两部分，尺头的里
边和尺身的上边应平直，并且一般互相垂直，也有把尺头和尺身用螺栓连接起来，可以转动尺头，使它和
尺身成一定的角度．用丁字尺画平行线的方法如下面的三个图所示．画直线时要按住尺身，推移丁字尺时
必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是什么？
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【分析】根据平行线的判定条件即可得到答案.
【详解】解：由题意可知：画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框由此可见画直线时，是保持着一定的角度进行的即根据同位角相等，两直线平行来画平行直线的，故选A.
【点睛】本题主要考查了平行线的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的判定条件.
4．（2021·河南中原·七年级期末）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠3+∠5＝180° B．∠2＝∠4 C．∠2＝∠5 D．∠5+∠1＝180°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质逐一判断即可得解．
【详解】解：A、由a∥b，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠3+∠5=180°，故A不符合题意；
B、由a∥b，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠2+∠4=180°，但∠2与∠4不一定相等，故B符合
题意；C、由a∥b，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠2=∠5，故C不符合题意；
D、由a∥b，得到∠3+∠5=180°，又因为∠3=∠1，所以∠5+∠1=180°，故D不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”、 “两直线平行，内错角相
等”是解题的关键．
5．（2021·河北·七年级期末）如图，已知直线 ， 的平分线 交 于点F， ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质推出 ， ，然后结合角平分线的定义求解即可得出
，从而得出结论．
【详解】解：∵ ，∴ ， ，∵ 的平分线 交 于点F，∴ ，
∴ ，∴ ，故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的定义，理解并熟练运用平行线的基本性质是解题关键．
6．（2021·山东招远·七年级期中）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点
C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（ ）
A．77° B．64° C．26° D．87°
【答案】A
【分析】本题首先根据∠BGD′＝26°，可以得出∠AEG=∠BGD′＝26°,由折叠可知∠α=∠FED，由此即可求
出∠α=77°．
【详解】解：由图可知： AD∥BC∴∠AEG=∠BGD′＝26°,即：∠GED=154°，
由折叠可知: ∠α=∠FED，∴∠α= =77°故选：A．
【点睛】本题主要考察的是根据平行得性质进行角度的转化．
7．（2021·山东青岛·七年级期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）
A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
【答案】C
【分析】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据平行线的性质可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝
180°﹣∠E，根据AB∥EF可得CG∥DH，根据平行线的性质可得∠CDH＝∠DCG，进而根据角的和差关
系即可得答案．
【详解】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，
∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E），
∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°．故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，
同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
8．（2021·浙江·温州市南浦实验中学八年级期中）一副三角板摆放如图所示，斜边FD与直角边AC相交
于点E，点D在直角边BC上，且FD AB，∠B＝30°，则∠ADB的度数是（ ）
A．95° B．105° C．115° D．125°
【答案】B
【分析】题意可知∠ADF＝45°，则由平行线的性质可得∠B+∠BDF＝180°，求得∠BDF＝150°，从而可求
∠ADB的度数．
【详解】解：由题意得∠ADF＝45°，∵ ，∠B＝30°，
∴∠B+∠BDF＝180°，∴∠BDF＝180°﹣∠B＝150°，∴∠ADB＝∠BDF﹣∠ADF＝105°．故选：B
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
9．（2021·江苏·常州实验初中七年级期中）如图，下列说法错误的是（ ）A．如果∠AED＝∠C，则 DE//BC B．如果∠1＝∠2，则 BD//EF
C．如果AB//EF，则∠FEC＝∠A D．如果∠ABC+∠BDE＝180°，则AB//EF
【答案】D
【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内
角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【详解】解：A、∠AED＝∠C，则 DE//BC，故原选项正确，不符合题意；
B、∠1＝∠2，则 BD//EF，故原选项正确，不符合题意；
C、AB//EF，则∠FEC＝∠A，故原选项正确，不符合题意；
D、∠ABC+∠BDE＝180°，则BC//DE，故原选项错误，符合题意． 故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答
题的关键．
10．（2021·湖南荷塘·七年级期末）①如图1， ，则 ；②如图2， ，
则 ；③如图3， ，则 ；④如图4，直线 ，点O在直线
EF上，则 ．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】如图1所示，过点E作EF//AB，由平行线的性质即可得到∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
则∠A+∠C+∠AEC=360°，故①错误；如图2所示，过点P作PE//AB，由平行线的性质即可得到
∠A=∠APE=180°，∠C=∠CPE，再由∠APC=∠APE=∠CPE，即可得到∠APC=∠A-∠C，即可判断②；如
图3所示，过点E作EF//AB，由平行线的性质即可得到∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，再由
∠AEF+∠CEF=∠AEC，即可判断③ ；由平行线的性质即可得到 ， ，
再由 ，即可判断④．
【详解】解：①如图所示，过点E作EF//AB，
∵AB//CD，∴AB//CD//EF，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=360°，又∵∠AEF+∠CEF=∠AEC，∴∠A+∠C+∠AEC=360°，故①错误；
②如图所示，过点P作PE//AB，
∵AB//CD，∴AB//CD//PE，∴∠A=∠APE=180°，∠C=∠CPE，
又∵∠APC=∠APE=∠CPE，∴∠APC=∠A-∠C，故②正确；
③如图所示，过点E作EF//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//EF，∴∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，
又∵∠AEF+∠CEF=∠AEC，∴180°-∠A+∠1=∠AEC，故③错误；
④∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，故④正确；故选B
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021·河南正阳·七年级期中）现有2021条直线a，a，a，…，a ，且有a⊥a，a∥a，a⊥a，
1 2 3 2021 1 2 2 3 3 4
a∥a，…，则直线a 与a 的位置关系是___．
4 5 1 2021
【答案】平行
【分析】根据平行线的性质和规律得到：4条直线的位置关系为一个循环．
【详解】解：∵a⊥a，a∥a，a⊥a，a∥a，…，∴a⊥a，a⊥a，a∥a，a∥a，
1 2 2 3 3 4 4 5 1 2 1 3 1 4 1 5
依此类推，a⊥a，a⊥a，a∥a，a∥a，∵（2021-1）÷4＝505，∴a∥a ．故答案是：平行．
1 6 1 7 1 8 1 9 1 2021
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是找到直线位置关系的规律．
12．（2021·全国·七年级单元测试）张雷同学从A地出发沿北偏东60°的方向行驶到B地，再由B地沿南偏
西35°的方向行驶到C地，则∠ABC＝____度．【答案】25
【分析】根据题意作出图形即可判断求解．
【详解】解：如图所示，
∵AD∥BE，∠1＝60°，∴∠ABE＝∠DAB＝60°，
又∵∠CBE＝35°，∴∠ABC＝60°﹣35°＝25°．故答案为：25．
【点睛】此题主要考查方位角的计算，涉及了平行线的有关性质，解题的关键是根据题意作出图形，即可
进行求解．
13．（2021·广东珠海·七年级期中）如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝
40°，则下列结论：①∠BOE＝70°；②OF平分∠BOD；③∠1＝∠2；④∠POB＝2∠3．其中正确的结论
有______．（填序号）
【答案】①②③
【分析】根据平行线的性质和∠ABO=40°，由两直线平行，同旁内角互补，可计算出∠BOC的度数，再根
据角平分线的性质，可计算出∠BOC的度数，根据角平分线的性质可得出∠BOE的度数，可判断①是否正
确．根据OF⊥OE，由∠BOE的度数计算出∠BOF的度数，根据两直线平行，内错角相等的性质，得到
∠BOD的度数，可计算出∠3的度数，可得出结论②是否正确，由②中的结论可判断③是否正确．根据平
行线的性质，可得到∠OPB=90°，可计算出∠POB的度数，可得出④结论是否正确．
【详解】解：∵AB∥CD，∠ABO＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，∴∠B0E＝ ∠BOC＝ ＝70°，故结论①正确；
∵OF⊥OE，∠B0E＝70°，∴∠BOF＝90°﹣70°＝20°，
∵AB∥CD，∠ABO＝40°，∴∠BOD＝∠ABO＝40°，∴∠FOD＝∠BOD﹣∠BOF＝20°，∴∠BOF＝∠DOF，∴OF平分∠BOD，故结论②正确；
由②的结论可得，∴∠1＝∠2＝20°，故结论③正确；
∵OP⊥CD，∴∠OPB＝90°，∴∠POB＝90°﹣∠ABO＝50°，
∵2∠3＝2×20°＝40°，∴∠POB≠2∠3，故结论④错误．故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线性质的应用，合理应用平行线的性质是解决本题关键．
14．（2021·安徽琅琊·七年级期末）一副直角三角尺按如图①所示的方式叠放，现将含45°角三角尺
固定不动，将含30°角的三角尺 绕顶点 顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行；如图②，
当 时， ，则 其他所有可能符合条件的度数为_____．
【答案】45°或60°
【分析】分三种情况进行分析讨论即可：当AC∥DE时；当BC∥AD时；当BC∥DE时，分别求出
即可．
【详解】解：当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°；
当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；当BC∥DE时，为题目所给情形；
综上所述，当两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠BAD（0°＜∠BAD＜90°）其他所有可能符合条件的
度数为：45°或60°，故答案为：45°或60°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，根据题意得出多种情况分析讨论是解本题的关键．
15．（2021·辽宁建昌·七年级期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形
AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；
③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）【答案】①④
【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【详解】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，∴∠BAD=60°+90°=150°；
∴∠BAD=150°或∠BAD =30°．故答案为：①④．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线
的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
16.（2021.江苏镇江七年级期中）镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、
QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发
出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B
灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时
间是 ．【答案】6秒或19.5秒.
【解析】解：设A灯旋转t秒，两灯的光束平行
①如图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；
②如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；
故答案为：6秒或19.5秒．
17．（2021·湖南岳阳·七年级期末）如图，将一副三角板按如图所示放置， ，
， ，且 ，则下列结论中：① ；②若 平分 ，则有
；③将三角形 绕点 旋转，使得点 落在线段 上，则此时 ；④若 ，
则 ．其中结论正确的选项有______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】②③④
【分析】①根据同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°；②都是根据角平分线的定义、内错角相等，
两条直线平行，可得结论；③根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；④
根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论．
【详解】解：①如图，∵∠CAB=∠DAE=90°，即∠1+∠2=∠3+∠2+90°，∴∠1=∠3≠45°，故①不正确；
②∵AD平分∠CAB，∴∠1=∠2=45°，
∵∠1=∠3，∴∠3=45°，又∵∠C=∠B=45°，∴∠3=∠B，∴BC∥AE，故②正确；
③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，则∠4=∠ADE-∠ACB=60°-45°=15°，故③正确；
④∵∠3=2∠2，∠1=∠3，∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∴∠3=60°，
又∠E=30°，设DE与AB交于点F，则∠AFE=90°，
∵∠B=45°，∴∠4=45°，∴∠C=∠4，故④正确，故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同
角的余角相等及平行线的判定．
18．（2021·贵州碧江·七年级期末）如图①，已知 ， ， 的交点为 ，现作如下操作：第一
次操作，分别作 和 的平分线，交点为 ；第二次操作，分别作 和 的平分线，
交点为 ；第三次操作，分别作 和 的平分线，交点为 ……第 次操作，分别作
和 的平分线，交点为 ．如图②，若 ，则 的度数是__________．
【答案】
【分析】先过 作 ，根据 ，得出 ，再根据平行线的性质，得出 ，
，进而得到 ；先根据 和 的平分线交点为 ，运用图①的结
论，得出 ；同理可得 ；根据 和的平分线，交点为 ，得出 ； 据此得到规律 ，最后求得 的
度数即可．
【详解】解：如图①，过 作 ，
， ， ， ，
， ，由此可得：
如图②， 和 的平分线交点为 ， ，
和 的平分线交点为 ， ，
和 的平分线，交点为 ，
，
以此类推， ，∴ ， 当 时， ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的
关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做
这个角的平分线．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．（2021·北京八十中七年级期中）如图，∠AOB内有一点P． 根据下列语句画图：
（1）过点P作OB的垂线段，垂足为Q ；（2）过点P作线段PC∥OB交OA于点C，作线段PD∥OA交
OB于点D ；（3）如果∠O = 40°，那么∠DPQ = ° ；（4）比较PQ和PD的大小：PQ PD，依据是 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ；（4） ；垂线段最短
【分析】（1）利用三角板的直角，过点P作OA⊥PQ即可；
（2）过点P画线段PC∥OB交OA于点C，画线段PD∥OA交OB于点D即可；
（3）利用平行线的性质和三角形内角和定理即可求解．
（4）根据直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段距离最短即可求解.
【详解】如图：
（2）如图：
（3）∵AO∥PD， ∴∠O=∠ODP=40°，
∵PQ⊥BO， ∴∠PQD=90°， ∴∠DPQ=50°， 故答案为：50°．
（4）因为PQ⊥BO，所以 ；点到直线上所有连线中，垂线段距离最短.故答案为：垂线段最短.
【点睛】本题主要考查了基本作图的中的垂线和平行线的作法以及作一个角等于已知角，要求能够熟练地
运用尺规作图，并保留作图痕迹．
20．（2021·山西广灵·七年级期中）已知：如图， ， 、 分别平分 与 ，
且 ．求证： ．证明： ，
．（ ）
又∵ 、 分别平分 与 ，
， ．（ ）
∵∠______＝∠______．（ ）
∵ ，（ ）
∴∠2＝______．（等量代换）
∴______//______．（ ）
【答案】等式的性质；角平分线的定义；1；2；等量代换；已知；3； ； ；内错角相等，两直线
平行
【分析】由 ， 、 分别平分 与 ，可得∠1＝∠2，又由 ，得到
，从而得到 ．
【详解】证明： ，
，（ 等式的性质 ）
又∵ 、 分别平分 与 ，
， ，（角平分线的定义 ）
∵∠1＝∠2，（ 等量代换 ）
∵ ，（ 已知 ）
∴ （等量代换）
∴ ．（内错角相等，两直线平行 ）
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
21．（2021·黑龙江龙凤·七年级期中）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合下图，试
探索这两个角的关系，并证明你的结论． （1）如图1，AB∥EF，BC∥DE， 与 的关系是_____．（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE， 与 的关系是________________．
（3）经过上述证明，我们可以得到一个结论：
（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的 倍少 ，则这两个角分别是多少度？
【答案】（1） ；（2） ；（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那
么这两个角相等或互补；（4）这两个角分别是 ， 或 ， ．
【分析】（1）根据平行线的性质求解即可；（2）根据平行线的性质以及对顶角的性质求解即可；（3）
结合已知条件以及（1）（2）的结论求解即可；（4）设其中一个角为 ，根据（3）的结论，列方程求解
即可．
【详解】解：（1）∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ；故答案为
（2）∵ ∴ 又∵ ∴
又∵ ∴ ；故答案为
（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
（4）解：设其中一个角为 ，列方程得 或 ，
故 或 ，所以 或 ，
答：这两个角分别是 ， 或 ， ．
【点睛】此题考查了平行线的性质，涉及了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握平行线的性质，得出
结论，列方程求解即可．
22．（2021·黑龙江龙凤·七年级期中）已知：如图，EF∥CD， ．（1）判断 与 的位
置关系，并说明理由．（2）若 平分 ， 平分 ，且 ，求 的度数．【答案】（1）平行，理由见解析；（2）80°
【分析】（1）根据 可得 ，再由 可得 由此即可证明；
（2）由平行线的性质可得 ，再由角平分线的定义可得 ，则
，由此即可得到答案．
【详解】解：（1） ．
理由： ， ，又 ， ， ；
（2） ， ，
平分 ， ，∴ ，
平分 ， ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的
性质与判定条件以及角平分线的定义．
23．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD
之间的数量关系为 ．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+
∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错
角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-
∠APD=180°；（3）先证明∠NOD= ∠PAB，∠ODN= ∠PDC，利用（2）的结论即可求解．
【详解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，过点P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，如图，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
(3)设PD交AN于O，如图，
∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，由题知∠PAN+ ∠PAB=∠APD，即∠PAN+ ∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，∴∠POA= ∠PAB，∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD= ∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN= ∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°- (∠PAB+∠PDC)，
由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，
∴∠AND=180°- (∠PAB+∠PDC)=180°- (180°+∠APD)=180°- (180°+90°)=45°，即∠AND=45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想
的应用．
24．（2021·山西·浑源县教育科技局教研室七年级期中）已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的
两侧中，直线MN经过点C，且 ，其中 ， ， ，
点E、F均落在直线MN上．
（1）如图1，当点C与点E重合时，求证： ；聪明的小丽过点C作 ，并利用这条辅助线
解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程．
（2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证： ；
（3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点 ，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，
若 ，则 ________．（用含 的代数式表示）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析； ．
【分析】（1）过点C作 ，得到 ，再根据 ， ，得
到 ，进而得到 ，最后证明 ；
（2）先证明 ，再证明 ，得到 ，问题得证；
（3）根据题意得到 ，根据（２）结论得到∠DEF=∠ECA= ，进而得到
，根据三角形内角和即可求解．
【详解】解：（1）过点C作 ， ，
， ， ， ，
， ， ， ；（2）解： ， ，
又 ， ，
， ， ， ， ；
（3）如图三角形DEF即为所求作三角形．
∵ ，∴ ，由（2）得，DE∥AC，∴∠DEF=∠ECA= ，
∵ ，∴∠ACB= ，
∴ ，∴∠A=180°- = ．故答案为为： ．
【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根据题意
画出图形是解题关键．
25．（2021·河南襄城·七年级阶段练习）（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平
行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且 ，要求保留折纸痕迹，画出所
用到的直线，指明结果．无需写画法：②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线．
（2）已知，如图3， ，BE平分 ，CF平分 ．求证： （写出每步的依据）．
【答案】（1）①见解析；②垂；（2）见解析
【分析】（1）①过 点折纸，使痕迹垂直直线 ，然后过 点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直
线 ；②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点 的直线 的垂线．（2）先根据平行线的性质得到
，再利用角平分线的定义得到 ，然后根据平行线的判定得到结论．
【详解】（1）解：①如图2所示：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点 的直线 的垂线．故答案为垂；
（2）证明： 平分 ， 平分 （已知），
， （角平分线的定义），
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（等量代换），
（等式性质），
（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了作图 复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何
图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质
把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质与判定．
26．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）已知：如图，AB∥CD．
（1）如图1，求证：∠EAB+∠AED+∠EDC＝360°；
（2）如图2，若AF平分∠EAB，DF平分∠EDC．设∠AFD＝α，求∠AED的度数；（用含α的式子表
示）
（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AH∥ED交DC于点H，AD平分∠EAH，∠DAG：∠FDC＝1：
3，AF延长线交CD于点G．求∠BAH的度数．【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）过点E作 ，则 ，可得 ， ，即有
（2）过点 作 交 于点 ，则有 ， ，根据 平分
， 平分 ， 得到 ， ， ，即：
；由（1）可知， 可得 ；
（3） 平分 ， 平分 ，得 ， ，则 ；
根据 ，设 ， ，则 得 ，又
，根据 可求出 ，即可求得 ．
【详解】解：（1）如图1所示，
过点E作 ∵ ∴ ∵ ∴
∵ ∴ ∴ 即
（2）如图2所示，
过点 作 交 于点 ∵ ∴
∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， 平分
∴ ， 即 ，
∵ ∴ 即：
由（1）可知， ∴ ；即（3）∵ 平分 ∴ ∵ 平分 ，∴
∴
∵ ，设 ， ，则 ，
∵ 平分 ∴
∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴ ∴
∴ ． ，则 ．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．
