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第 03 讲 一元一次不等式与一次函数
课程标准 学习目标
1. 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集。
①求解集
2. 通过不解不等式，直接用图象法求不等式和方程的解与解
②数形结合
集。
知识点01 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集
(1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合.
(2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合.
(3)一元一次不等式kx+b>kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象上方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.
(4)一元一次不等式kx+b<kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象下方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.
【即学即练1】（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线
与直线 相交于点 ，与 轴、 轴分别交于 两点．(1)若点 的坐标分别为 ．直接写出下列各小题答案．
方程 的解是______．
方程组 的解是______．
不等式 的解集是______．
不等式 的解集是______．
(2)若点 的坐标分别为 ，直线 的表达式为 ，求 的面积；
(3)在（ ）的基础上，点 是 轴上的一点，且使得 是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的
点 的坐标．
题型01 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
例题：（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如下图，已知一次函数 ，观察图象回答下列问题：
当 时， ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末） 的图象如图所示，关于x的不等式 的解集是
．2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点 在一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上，则不等式
的解集是 ．
3．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）一次函数的图象如图所示，观察图象回答问题：当 时，
，当 时， ，当 时， ．
题型02 根据两条直线的交点求不等式的解集
例题：（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，函数 和 的图象相交于点 ，则
关于 不等式 的解集为 ．【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，函数 和 的图象相交于点 ，则不等式
的解集为 ．
2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，一次函数 （ ， 为常数）与 （ 为常数）的
图象交于点 ，则关于 的不等式 的解集是 ．
3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）直线 与直线 在同一平面直角坐标系中的图象如图
所示，关于 的不等式 的解集为 ．
题型03 一次函数与一元一次不等式综合问题
例题：（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与正比例函
数 交于点 ．(1)求m和k的值．
(2)若点 在直线 上，连接 ，求 的面积．
(3)结合图象，直接写出关于x的不等式 的解集．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直
线 交于点 ，直线 与x轴交于点A．
(1)求直线 的解析式；
(2)求四边形 的面积；
(3)直接写出不等式 的解集．
2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，直线 经过A、B，点 ， 的坐标分别为
， ，直线 与坐标轴交于 、 两点．
(1)求k、b的值，并求出直线AB直线 交点 的坐标．
(2)直接写出不等式 的解集．
3．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，过点A(−2,0)的直线 与直线 交于
．(1)求直线 对应的表达式．
(2)直接写出 时， 的取值范围．
(3)求四边形 的面积．
题型04 一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题
例题：（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）在如图所示的坐标系下，
(1)画出函数 与 的图象，并利用图象解答下列问题：
(2)求方程组 ；
(3)不等式
【变式训练】
1．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线 ： 与直线 ： 相交于点 ．
(1)求 的值；(2)写出方程组 的解；
(3)写出 时， 的取值范围．
2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数 的图象与 轴分别交于 两点，与正
比例函数 交于点 ．
(1)关于 的方程 的解是________；
(2)关于 的二元一次方程组 的解为_______，关于 的不等式 的解集为_______；
(3)关于 的不等式 的解集为_______，不等式 的解集为_______．
3．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，直线 ： 与直线 ： 相交于点 ，与x
轴分别交于A，B两点．
(1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组 的解；
(2)根据图象，直接写出关于x的不等式 的解集；
(3)求 的面积；
(4)垂直于x轴的直线 与直线 ， 分别交于点C，D，若线段CD的长为3，直接写出a的值．
题型05 含绝对值的函数与一元一次不等的综合问题
例题：（23-24八年级下·山东临沂·期末）请用描点法研究函数 图象与性质，并用它完成下列
各题．①列表：
… 0 1 2 3 4 …
… 0 2 3 2 1 0 …
②描点③连线．
(1) _______，并画出函数 的图象；
(2)当 时， 最大值 _______， 最小值 _______；
(3)求出函数 与函数 的交点坐标；
(4)直接写出 的解集．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等
式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数 确定为研究对象，
通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下
探究过程，回答问题．
(1)作出函数 的图象．
①列表：
x … 0 1 …
y … 0 m 2 1 0 …
其中，表格中m的值为________；
②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点；
③连线：画出该函数的图象．(2)观察函数 的图象，回答下列问题：
①当 ________时，函数 有最大值，最大值为________；
②方程 的解是 ________．
(3)已知直线 ，请结合图象，直接写出满足不等式 的x的取值范围________．
一、单选题
1．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）一次函数 的图像如图所示，当 时， 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八年级上·江苏·专题练习）直线 与直线 在同一平面直角坐标系中的图象如
图所示，则关于 的不等式 的解为（ ）A． B． C． D．无法确定
3．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，直线 （ 和 是常数且 ）交 轴、 轴于
点 、(0,2)，下列结论正确的是（ ）
A．方程 的解是 B．方程 的解是
C．不等式 的解集是 D．不等式 的解集是
4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）一次函数 与 的图象如图所示，下列说法：
①对于函数 来说，y随x的增大而增大；②函数 不经过第二象限；③不等式
的解集是 ；④ ，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知一次函数 ，当 时， ．
6．（24-25八年级上·浙江金华·期中）一次函数 的图象经过点 ，且与正比例函数
的图象交于点 ，则 的解为 ．7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线 与 分别交x轴于点 ，
，则不等式 的解集为 ．
8．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）一次函数 的图象经过点 ，则 的值为 ；当
时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值，则 的取值范围 ．
三、解答题
9．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）一次函数 的图象如图所示．
(1)求出 ， 的值；
(2)当 时，直接写出 的取值范围．
10．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，根据图中信息解答下列问题：
(1)关于 的不等式 的解集是 ；(2)关于 的不等式 的解集是 ；
(3)当 ， ．
11．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点 ， ，
与x轴，y轴相交于点C，D．
(1)结合函数图象，直接写出 的解集为______；
(2)求一次函数 的表达式；
(3)求 的面积．
12．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，一次函数 和 的图象相交于点 ，两图象
分别与 轴交于点 和点 ．
(1)方程组 的解是_______，点A的坐标是_______；
(2)根据图象判断，当 时， 的取值范围为_______；
(3)在直线 的图象上存在另一点 ，使得 的面积为 面积的2倍，求出点 的坐标．
13．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图
象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数 展开探索，请补充
完整以下探索过程：
(1)列表：
0 2 4 6 8
5 2 5直接写出 的值， ______， ______．
(2)在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象．
(3)已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式 的解集为
______．
14．（23-24八年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，请根据图像所提供的信息解答下列问题：
(1)交点 的坐标 是二元一次方程组：______的解；
(2)不等式 的解集是______；
(3)当 ______时， ；
(4)直线 分别交 轴、 轴于点 、 ，直线 分别交 轴、 轴于点 、 ，求点 的坐标和四边形
的面积．
15．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）我们曾研究过“函数 的图象上点的坐标的特征”，了解了
一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式 的解集是
函数 图象在 轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式： （或 ）的解集，是函数 图象在 轴上方（或 轴下
方）部分的点的横坐标的集合．【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数 的图象经过点 ，则不等式 的解集是
__________．
（2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________；不等式 的解集是__________．
【拓展延伸】：
（3）如图3，一次函数 和 的图象相交于点 ，分别与 轴相交于点 和点 ．
①结合图象，直接写出关于 的不等式组 的解集是__________．
②若在 图像上有一动点 ，是否存在点 ，使得 为等腰三角形，若存在，请直接写出点坐
标；若不存在，请说明理由．
