文档内容
2.3 一元一次不等式与一次函数 教学设计
1.教学内容
本节选自北师大版八年级下册《不等式与不等式组》第二章第3节“2.3 一元一次不等式与一次
函数”，核心内容包括：一元一次不等式与一次函数图像的对应关系，利用数形结合判断不等式解集，
及在实际问题中运用一次函数模型解决不等式问题。
2.内容解析
本节通过数形结合，将代数中对一元一次不等式的求解与一次函数图像相联系，重点理解当函数
值大于或小于某一区域时，横坐标的取值范围如何变化；难点在于综合运用数学建模思想，借助一次
函数表达式和图像，找出不等式解集并分析实际背景下的最优决策方案。
1.教学目标
• 理解一元一次不等式与一次函数图像的关系，能够通过函数图像直观判断不等式的解集。
•能在实际问题中建立函数模型并利用图像解不等式，综合运用数形结合与数学建模思想。
2.目标解析
• 通过分析一次函数 y=kx+b 在坐标平面上的位置，理解“图上方或下方”与不等式 kx+b>0 或
kx+b<0 的对应关系，达成对不等式解集的直观判定。
• 在实践应用中，能根据问题情境建立一次函数模型，寻找临界值并讨论不同范围内的最优解，从而
提升抽象思维和综合应用能力。
3.重点难点
• 教学重点：利用一次函数的图像判断不等式解集。
• 教学难点：结合实际情境建立模型，综合运用数形结合及建模思想解决不等式问题。
学生已具备一元一次方程和一次函数的基础知识，也能初步理解多项式运算。在学习“数形结
合”解不等式时，可能较容易接受图像与不等式解集的对应关系，但在应用题中列函数方程式并转化
为不等式求解、尤其在临界值的讨论和决策分析等环节，学生容易出现方法混乱或遗漏情况，需要重
点引导与示范。创设情景，引入新课
问题情境：
情景引入
经过上节课的学习，你还记得什么是一元一次不等式吗？
只含有一个未知数，且未知数的次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式.
本节课我们将结合一元一次不等式，学习它与一次函数的关系，你还记得一次函数的概念和相关性质
吗？
①一次函数的一般形式是 y=kx+b（k≠0），其图像是 一条直线。
②增减性：已知一次函数y=kx+b（k≠0）
当k>0时，y随x的增大而增大；
当k<0时，y随x的增大而减小.
一元一次不等式与二次函数有什么关系？
【设计意图】通过复习“什么是一元一次不等式”、一次函数的基本概念与性质，快速唤起学生对旧
知的记忆。抛出一元一次不等式与二次函数间的对比问题，引发思考，为后续学习做好铺垫，激发探
究兴趣。
探究点1：一元一次不等式与一次函数
1.议一议
函数y=2x−5的图象如图所示，观察图象回答下列问题：
（1）x取什么值时，2x−5=0？
解：由图可知交点为A(2.5，0)，故x=2.5
（2）x取哪些值时，2x−5>0？
解：即函数值y>0，此时函数图象在x轴上方，对应x的取值范围为x>2.5
（3）x取哪些值时，2x−5<0？
解：即函数值y<0，此时函数图象在x轴下方，对应x的取值范围为x<2.5
（4）x取哪些值时，2x−5>1？
解：即函数值y>1，在图象上找到y=1对应的点，图象在y=1上方的部分对应x>3。
2.尝试思考
如果y=−2x−5，那么：当x取哪些值时，y<0？当x取哪些值时，y<1？你是如何求解的？解：利用解不等式的方法
5
①解不等式−2x−5<0，得−2x<5，即x>− ；
2
②解不等式−2x−5<1，得−2x<6，即x>−3；
结合并观察函数图像
5
①观察函数y=−2x−5的图象，图象在x轴下方（y<0）时x>− ；
2
②观察函数图象y=1对应的x值，因函数递减，y<1时x>−3.
3.知识归纳
一元一次不等式与一次函数的关系
①一元一次方程kx+b=0的解，对应一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标.
②一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解集，对应一次函数y=kx+b的图像在x轴上 方（或 下
方）时，所有 x的取值范围。
这种通过函数图像解决代数问题的方法，体现了数形结合数学思想
4.练一练
一次函数y=kx+b的图象如图所示，当kx+b>3时，x的取值范围是（ ）
A．x>0 B．x<0
C．x<2 D．x>2
【分析】利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当y>3时，函数的图象在x轴的左侧，
写出对应x的取值范围即可
解：由一次函数y=kx+b的图象可知，
当y>3时，x<0
故选：B．
【设计意图】通过数形结合，学生能直观理解不等式解集与一次函数图像位置的关系，突破“解不等
式”与“图像”间的认知隔阂，达成“重点”目标。
探究点2：两个一次函数与一元一次不等式的关系
1.想一想
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m。列出函
数关系式，画出函数图象.
解:设哥哥跑的时间为x秒（x≥0），则：
弟弟跑的路程 y ：弟弟先跑9 m，之后每秒跑3 m
1
故 y =3x+9；
1哥哥跑的路程 y ：哥哥每秒跑4 m
2
故 y =4x
2
则函数图像如图所示：
问题解决
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
解：方法一：转化为不等式： y > y ，即 3x+9>4x；
1 2
解不等式得 x<9。因此， 哥哥起跑后9 秒内，弟弟跑在哥哥前面.
方法二：找图像中 y 比 y 高的部分，先求出它们的交点为（9，36）
1 2
观察图像可知x<9时，弟弟跑在哥哥前面
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？
解：转化为不等式： y > y ，即 4x>3x+9；
2 1
解不等式得 x>9。因此，x>9 时，哥哥跑在弟弟前面.
方法二：找图像中 y 比 y 高的部分，它们的交点为（9，36）
2 1
观察图像可知x>9时，哥哥跑在弟弟前面
（3）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？
解：①跑过20 m的时间：
令y=20，则 y=20与两函数图像交点如图
两交点的横坐标分别为 x 、 x
1 2
由图可知 x < x ，因此弟弟先到20m
1 2
同理，可在图像上找到y=100对应交点的横坐标，最终观察发现哥哥先到100m
②也可分别求出两人跑过对应路程的时间，再比较
2.知识归纳
两个一次函数与一元一次不等式的关系
两个一次函数 y = k x+ b 和 y = k x+ b （k ≠k ），不等式 y > y （或 y < y ）的解集，
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
对应两个函数图像中 y 的图像在 y 的图像上方（或下方）时，所有 x 的取值范围.
1 2
体现了数形结合思想的灵活运用，因此在使用此关系时，需画函数图像观察寓意辅助.3.练一练
如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，则不等式2x
2 2
C．x<3 D．x>3
3
【分析】求出点A的坐标，再根据当x< 时， y=2x的图象在y=ax+4的图象的下方，得出答案
2
3
解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，代入求解得点A( ,3)，由图可知，不等式
2
3
2x1800 时，乙更合算；
结合预算2000元，学校应根据实际购书原价选择：原价低于1800元选甲，高于1800元选乙，等于
1800元均可
2.知识归纳
决策类问题
①明确问题，梳理条件
②建立数学模型
③求临界值（比较函数值大小，也可以根据函数解析式画出图像，并在图像上标注临界值，便于观察
比较）
④分类讨论，确定解集
⑤总结结论，优化决策
3.典例分析
例1 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行
社的服务质量相同，且报价都是每人200元。经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；
乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社
支付的旅游费用较少？
解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需的费用为y 元，选择乙旅行社时，
1
所需的费用为y 元。根据题意，得：
2
y =200×0.75x=150x,y =200×0.8(x-1)=160x-160
1 2
由y = y ，得150x=160x−160，解得x=16；
1 2
由y > y ，得150x>160x−160，解得x<16；
1 2
由y < y ，得150x<160x−160，解得x>16。
1 2
因为参加旅游的人数为10~25人，所以，
当x=16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；
当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少；
当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少。
4.练一练
某通讯公司推出两种流量套餐：
套餐一：月租50元，含1GB流量，超出部分按10元/GB收费；
套餐二：月租80元，含3GB流量，超出部分按8元/GB收费。 设每月使用流量xGB（x>3），分别
写出两种套餐的费用y 、y 与x的函数关系，并求出当x为何值时，选择套餐二更合算。
1 2
解：设每月使用流量为x GB（x>3），分别计算两种套餐的费用：套餐一：月租50元含1GB，超出部分10元/GB（x>3，必然超出1GB） 费用 = 月租 + 超出1GB的
费用 ，则y =50+10(x−1)=10x+40
1
套餐二：月租80元含3GB，超出部分8元/GB（x>3，超出3GB） 费用 = 月租 + 超出3GB的费用，
则y
=80+8(x−3)=8x+56
2
“套餐二更合算”即y
<
y
2 1
代入函数式： 8x+56<10x+40
移项化简： 56−40<10x−8x
解得x>8
结论：当每月使用流量x>8GB时，选择套餐二更合算.
【设计意图】让学生通过“决策类”应用问题，加深对不等式与函数图像结合的理解与运用，完成
“难点”目标。帮助学生感受数学在生活中的实用价值，增强学习动机。
1．如图，一次函数y=kx+b的图象经过坐标轴上A，B两点，则关于x的不等式kx+b<0的解集是（
）
A．x<1 B．x>1
C．x<−2 D．x>−2
解：C．
2.若一次函数y=kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，那么当x>2时，y的取值范围是（ ）
A．y<0 B．y>0
C．y<1 D．y>2
解：A．
3.如图，直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式kx+b<0的解集是_________．
解：x<−3.3 3
4.如图，已知函数y= x和y=ax+5的图像相交于点P(m,3)，则不等式 x0；②3(a−c)=d−b；
③x的值每增加1，y
2
− y
1
的值增加d−b；
④a+b4 时， 即当学生人数多于4时，甲旅行社更优惠.
当
【设计意图】借助多道分层练习题，强化基础与综合应用，帮助学生进一步熟练操作。主板书 副板书
2.3 一元一次不等式与一次函数 例题
探究点1 一元一次不等式与一次函数
探究点 2 两个一次函数与一元一次不等式的 学生练习板演
关系
探究点3 实际问题中的一次函数与不等式——
决策类问题
课堂小结
1.必做题：习题2.3第1、2、3题。
2.探究性作业：习题2.3第5题。
