文档内容
2.3 一元一次不等式与一次函数 导学案
1. 理解一元一次不等式与一次函数图像的关系，能够通过函数图像直观判断不等式的解集。
2.能在实际问题中建立函数模型并利用图像解不等式，综合运用数形结合与数学建模思想。
学习重点：利用一次函数的图像判断不等式解集。
学习难点：结合实际情境建立模型，综合运用数形结合及建模思想解决不等式问题。
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
情景引入
经过上节课的学习，你还记得什么是一元一次不等式吗？
只含有一个未知数，且未知数的次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式.
本节课我们将结合一元一次不等式，学习它与一次函数的关系，你还记得一次函数的概念和相关性质吗？
①一次函数的一般形式是 y=kx+b （k≠0），其图像是 一条直线。
②增减性：已知一次函数y=kx+b（k≠0）
当k>0时，y随x的增大而增大；
当k<0时，y随x的增大而减小.
一元一次不等式与二次函数有什么关系？
新知自研：自研课本第67--69页的内容．
【学法指导】
自研课本P67-69页的内容，思考：
●探究一：一元一次不等式与一次函数
◆1.议一议
函数y=2x−5的图象如图所示，观察图象回答下列问题：（1）x取什么值时，2x−5=0？
解：由图可知交点为 A(2.5 ， 0 ) ，故 x=2.5
（2）x取哪些值时，2x−5>0？
解：即函数值 y>0 ，此时函数图象在 x 轴上方，对应 x 的取值范围为 x>2.5
（3）x取哪些值时，2x−5<0？
解：即函数值 y<0 ，此时函数图象在 x 轴下方，对应 x 的取值范围为 x<2.5
（4）x取哪些值时，2x−5>1？
解：即函数值 y>1 ，在图象上找到 y=1 对应的点，图象在 y=1 上方的部分对应 x>3 。
◆2.尝试思考
如果y=−2x−5，那么：当x取哪些值时，y<0？当x取哪些值时，y<1？你是如何求解的？
解：方法一：利用解不等式的方法
5
①解不等式−2x−5<0，得−2x<5，即x>− ；
2
②解不等式−2x−5<1，得−2x<6，即x>−3；
方法二：结合并观察函数图像
5
①观察函数y=−2x−5的图象，图象在x轴下方（y<0）时x>− ；
2
②观察函数图象y=1对应的x值，因函数递减，y<1时x>−3.
◆3.知识归纳
一元一次不等式与一次函数的关系
①一元一次方程kx+b=0的解，对应一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标.
②一元一次不等式 kx+b>0（或kx+b<0）的解集，对应一次函数 y=kx+b的图像在x轴上 方（或 下
方）时，所有 x的 取值范围 .
这种通过函数图像解决代数问题的方法，体现了数形结合数学思想.
◆4.练一练
一次函数y=kx+b的图象如图所示，当kx+b>3时，x的取值范围是（ ）A．x>0 B．x<0
C．x<2 D．x>2
【分析】利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当y>3时，函数的图象在x轴的左侧，写出
对应x的取值范围即可
解：由一次函数y=kx+b的图象可知，
当y>3时，x<0
故选：B．
●探究二：两个一次函数与一元一次不等式的关系
◆1.想一想
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m。列出函数
关系式，画出函数图象.
【解答】解:设哥哥跑的时间为x秒（x≥0），则：
弟弟跑的路程 y ：弟弟先跑9 m，之后每秒跑3 m
1
故 y =3x+9；
1
哥哥跑的路程 y ：哥哥每秒跑4 m
2
故 y =4x
2
则函数图像如图所示：
问题解决
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
解：方法一：转化为不等式： y > y ，即 3x+9>4x；
1 2
解不等式得 x<9。因此， 哥哥起跑后9 秒内，弟弟跑在哥哥前面.
方法二：找图像中 y 比 y 高的部分，先求出它们的交点为（9，36）
1 2
观察图像可知x<9时，弟弟跑在哥哥前面
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？
解：转化为不等式： y > y ，即 4x>3x+9；
2 1解不等式得 x>9。因此，x>9 时，哥哥跑在弟弟前面.
方法二：找图像中 y 比 y 高的部分，它们的交点为（9，36）
2 1
观察图像可知x>9时，哥哥跑在弟弟前面
（3）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？
解：①跑过20 m的时间：
令y=20，则 y=20与两函数图像交点如图
两交点的横坐标分别为 x 、 x
1 2
由图可知 x < x ，因此弟弟先到20m
1 2
同理，可在图像上找到y=100对应交点的横坐标，最终观察发现哥哥先到100m
②也可分别求出两人跑过对应路程的时间，再比较
◆2.知识归纳
两个一次函数与一元一次不等式的关系
两个一次函数 y =k x+b 和 y =k x+b （k ≠k ），不等式 y > y （或 y < y ）的解集，对
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
应两个函数图像中 y 的图像在 y 的图像上方（或下方）时，所有 x 的 取值范围 .
1 2
体现了数形结合思想的灵活运用，因此在使用此关系时，需画函数图像观察寓意辅助.
◆3.练一练
如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，则不等式2x
2 2
C．x<3 D．x>3
3
【分析】求出点A的坐标，再根据当x< 时， y=2x的图象在y=ax+4的图象的下方，得出答案
2
3
解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，代入求解得点A( ,3)，由图可知，不等式2x1800 时，乙更合算；
结合预算2000元，学校应根据实际购书原价选择：原价低于1800 元选甲，高于1800 元选乙，等于1800
元均可
◆2.知识归纳
决策类问题
①明确问题，梳理条件
②建立数学模型
③求临界值（比较函数值大小，也可以根据函数解析式画出图像，并在图像上标注临界值，便于观察比
较）
④分类讨论，确定解集⑤总结结论，优化决策
3.典例分析
例1 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的
服务质量相同，且报价都是每人200元。经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社
表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费
用较少？
【分析】分别设甲旅行社的费用为y ,乙旅行社的费用为y ,利用若y =y ,若y >y ,若y y ，得150x>160x−160，解得x<16；
1 2
由y 16。
1 2
因为参加旅游的人数为10~25人，所以，
当x=16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；
当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少；
当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少。
◆4.练一练
某通讯公司推出两种流量套餐：
套餐一：月租50元，含1GB流量，超出部分按10元/GB收费；
套餐二：月租80元，含3GB流量，超出部分按8元/GB收费。 设每月使用流量xGB（x>3），分别写出
两种套餐的费用y 、y 与x的函数关系，并求出当x为何值时，选择套餐二更合算。
1 2
【解答】解：设每月使用流量为x GB（x>3），分别计算两种套餐的费用：
套餐一：月租50元含1GB，超出部分10元/GB（x>3，必然超出1GB） 费用 = 月租 + 超出1GB的费用
则y =50+10(x−1)=10x+40
1
套餐二：月租80元含3GB，超出部分8元/GB（x>3，超出3GB） 费用 = 月租 + 超出3GB的费用，则
y =80+8(x−3)=8x+56
2
“套餐二更合算”即y 8
结论：当每月使用流量x>8GB时，选择套餐二更合算.第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨如何利用一次函数解一元一次不等式（从数和形两个角度）；
B.探讨如何从一次函数角度解决决策类问题的方法.
C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，总结方法.
D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1．如图，一次函数y=kx+b的图象经过坐标轴上A，B两点，则关于x的不等式kx+b<0的解集是（
）
A．x<1 B．x>1
C．x<−2 D．x>−2
解：C．
2.若一次函数y=kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，那么当x>2时，y的取值范围是（ ）
A．y<0 B．y>0
C．y<1 D．y>2
解：A．
3.如图，直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式kx+b<0的解集是_________．
解：x<−3.
3 3
4.如图，已知函数y= x和y=ax+5的图像相交于点P(m,3)，则不等式 x0；②3(a−c)=d−b；
③x的值每增加1，y −y 的值增加d−b；
2 1
④a+b4 时， 即当学生人数多于4时，甲旅行社更优惠.
当题型一：用一次函数的图象解一元一次不等式
1．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则关于x的不等式kx+b≥3的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1
【分析】由图象即可知不等式kx+b≥3的解集．
【解答】解：由图象可知：当x≥﹣1时，直线y＝kx+b（k≠0）的图象在直线y＝3的上方，
∴关于x的不等式kx+b≥3的解集为x≥﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象与一元一次不等式的关系．
2．若函数y＝ax和y＝bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式ax﹣bx＜c的解集是（ ）
A．x＜1 B．x＜2 C．x＞1 D．x＞2
【分析】利用函数图象的交点坐标，写出直线y＝ax在直线y＝bx+c下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：观察函数图象得直线y＝ax与直线y＝bx+c的交点坐标为（1，2），
∴x＜1时，ax＜bx+c，
所以关于x的不等式ax﹣bx＜c的解集为x＜1．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之
间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
3．（2024春•海州区校级期中）如图，一次函数y＝kx﹣2k（k＜0）的图象经过点P（1，1），当0＜kx
﹣2k≤x时，x的取值范围是（ ）A．x＜1 B．x＞1 C．0＜x≤1 D．1≤x＜2
【分析】根据待定系数法求得解析式，即可求得直线与x轴的交点，然后根据图象即可求得．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2k（k＜0）的图象经过点P（1，1），
∴1＝k﹣2k，解得k＝﹣1，
∴一次函数为y＝﹣x+2，
令y＝0，则﹣x+2＝0，解得x＝2，
由图象可知，当0＜kx﹣2k≤x时，x的取值范围是1≤x＜2，
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的
关键．
4．一次函数y ＝kx+b与y ＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0，②ab＜0；③y 随x的增大而
1 2 1
增大；④当x＜3时，y ＞y ；⑤3k+b＝3+a．其中正确的个数是（ ）
1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一次函数y ＝kx+b，y ＝x+a的图象及性质逐一分析可得答案．
1 2
【解答】解：根据图象y ＝kx+b经过第一、二、四象限，
1
∴k＜0，b＞0，
y ＝x+a经过第一、三、四象限，
2
∴a＜0，∴ab＜0，y 随x的增大而减小，故①②正确，③错误；
1
当x＜3时，图象y 在y 的上方，
1 2
所以：当x＜3．y ＞y ，故④正确．
1 2
当x＝3时，y ＝y ，
1 2
∴3k+b＝3+a，故⑤正确；
所以正确的有①②④⑤共4个．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数与不等式的关系．
1
5．直线 y ＝ax 与直线 y = x+b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于 x 的不等式
1 2 2
1
ax＜ x+b的解集为 ．
2
【分析】根据图象，找直线y 在y 下方部分的x的取值范围即可．
1 2
【解答】解：由图可知：两条直线的交点横坐标为﹣2，
1
由ax＜ x+b知，直线y 在直线y 的下方，
1 2
2
∵当x＞﹣2时，直线l 在直线l 的下方，
1 2
1
∴关于x的不等式ax＜ x+b的解集为x＞﹣2．
2
故答案为：x＞﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值大小的问
题是解答本题的关键．
题型二：两个一次函数与一元一次不等式的关系
6．如图，已知一次函数 y ＝kx﹣b与y ＝nx函数图象相交于点 M，当kx﹣b＝nx时，x的值是
1 2
，当y ＞y 时，x的取值范围是 ，当y ＜y 时，x的取值范围是 ．
1 2 1 2【分析】根据两条直线的交点、结合图象解答即可．
【解答】解：由图象可知，当kx﹣b＝nx时，x的值是1，当y ＞y 时，x的取值范围是x＜1，当y ＜y
1 2 1 2
时，x的取值范围是x＞1．
故答案为：1，x＜1，x＞1．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方程、与一元一次不等式的关系，灵活运用数形结合思想是
解题的关键．
7．函数y ＝2x+4，y ＝5x﹣10，使y ＜y 的x的范围是 ．
1 2 1 2
【分析】先根据题意得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：y ＝2x+4，y ＝5x﹣10，
1 2
当y ＜y 时，2x+4＜5x﹣10，
1 2
14
解得x＞ ，
3
14
所以使y ＜y 的x的范围是x＞ ．
1 2
3
14
故答案为：x＞ ．
3
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式的知识，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此
题的关键．
8．已知函数，y ＝﹣2x+3，y ＝3x+4，则当y ＞y 时，则x的取值范围是 ．
1 2 1 2
【分析】由已知可得不等式﹣2x+3＞3x+4，解不等式即可求解．
【解答】解：∵y ＝﹣2x+3，y ＝3x+4，y ＞y ，
1 2 1 2
∴﹣2x+3＞3x+4，
1
∴x＜− ，
5
1
故答案为x＜− ．
5
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，理解一次函数与一元一次不等式之间的联系是解
题的关键．题型二：一次函数与一元一次不等式的综合运用
9．作出函数y＝2x﹣4的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）当﹣2≤x≤4时，求函数y的取值范围；
（2）当x取什么值时，y＜0，y＝0，y＞0；
（3）当x取何值时，﹣4＜y＜2．
【分析】本题要求利用图象求解各问题，先求得函数与坐标轴的交点后，画函数图象，根据图象观察，
得出函数的增减性后，求得结论．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣4，
当y＝0时，x＝2，即y＝2x﹣4过点（0，﹣4）和点（2，0），过这两点作直线即为y＝2x﹣4的图象，从
图象得出函数值随x的增大而增大；
（1）当x＝﹣2时，y＝﹣8，
当x＝4，y＝4，
∴当﹣2≤x≤4时，函数y的取值范围为：﹣8≤y≤4；
（2）由于当y＝0时，x＝2，
∴当x＜2时，y＜0，
当x＝2时，y＝0，
当x＞2时，y＞0；
（3）∵当y＝﹣4时，x＝0；当y＝2时，x＝3，
∴当x的取值范围为：0＜x＜3时，有﹣4＜y＜2．
【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
1
10．如图，函数y＝﹣2x+3与y=− x+m的图象交于P（n，﹣3）．
2
（1）求出m、n的值；
1
（2）结合函数图象，直接写出不等式− x+m＞﹣2x+3的解集；
2
1
（3）将函数y＝﹣2x+3的图象向左平移a个单位后得到直线l，若直线l与直线y=− x+m的交点在y轴
2
上，求a的值．
1
【分析】（1）先把P（n，﹣3）代入y＝﹣2x+3求出n得到P（3，﹣3），然后把P点坐标代入y=−
2
x+m求出m；
1
（2）写出直线y=− x+m在直线y＝﹣2x+3的上方所对应的自变量的范围即可；
2
1
（3）根据便宜点规律表示出直线l的解析式，然后求得直线y=− x+m的与y轴的交点，代入直线l的解
2
析式即可求得a．
【解答】解：（1）把P（n，﹣3）代入y＝﹣2x+3得﹣2n+3＝﹣3，解得n＝3；
∴P（3，﹣3），
1 1 3
把P（3，﹣3）代入y=− x+m得﹣3=− ×3+m，解得m=− ；
2 2 2
1
（2）不等式− x+m＞﹣2x+3的解集为x＞3；
2
1 3 3
（3）在y=− x− 中，令x＝0，则y=− ，
2 2 2
1 3
∴直线y=− x+m与y轴的交点为（0，− ），
2 2
将函数y＝﹣2x+3的图象向左平移a个单位后得到直线l，则直线l为y＝﹣2（x+a）+3，1
∵直线l与直线y=− x+m的交点在y轴上，
2
3
∴− =−2（0+a）+3，
2
9
解得a= ．
4
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y＝kx+b的值大
于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）
方部分所有的点的横坐标所构成的集合；也考查了一次函数图象与几何变换．
11．如图，一次函数y ＝kx+b（k≠0）的图象交x轴于A点，交y轴于C点，且OA＝5，并于一次函数
1
3
y =− x−1的图象交于点B，已知点B的横坐标为﹣4．
2 4
（1）求一次函数y ＝kx+b的解析式；
1
（2）求△AOC的面积；
3
（3）请直接写出当kx+b＜− x−1时，自变量x的取值范围．
4
【分析】（1）根据题意得出A（﹣5，0）、B（﹣4，2），然后利用待定系数法代入即可确定函数解析
式；
（2）根据题意得出OA＝5，OC＝10，结合图形求面积即可；
（3）结合图象及交点求不等式解集即可．
【解答】解：（1）∵OA＝5，
∴A（﹣5，0），
3
∵点B的横坐标为﹣4，且在一次函数y =− x−1的图象上，
2 4
3
∴y =− ×(−4)−1=2，
2 4
∴B（﹣4，2），{−5k+b=0)
将A（﹣5，0），B（﹣4，2）代入y ＝kx+b得 ，
1 −4k+b=2
{k=2
)
解得 ，
b=10
∴一次函数解析式y ＝2x+10；
1
（2）由（1）可知OA＝5，y ＝2x+10，
1
当x＝0时，y ＝10，
1
∴OC＝10，
1
∴S = OA⋅OC=25；
△AOC 2
3
（3）由图象可知，当 x＜﹣4 时，直线 y ＝kx+b 的图象在 y =− x−1的图象的下方，所以
1 2 4
3
kx+b＜− x−1时，自变量x的取值范围为x＜﹣4．
4
【点评】本题主要考查的是一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析
式，利用函数图象求解不等式解集等知识，熟练掌握数形结合思想是解题关键．
题型三：一次函数解决方案选择问题
12．某单位需要用车，准备和一个体车主或一国有出租车公司其中的一家签订合同．设汽车每月行驶
xkm，应付给个体车主的月租费是y 元，付给出租车公司的月租费是y 元，y ，y 分别与x之间的函数关
1 2 1 2
系图象是如图的两条直线，观察图象，回答下列问题：
（1）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
（2）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的车合算？
【分析】根据图象可知（1）两直线的交点即为每月行驶的路程等于1500km时，租两家车的费用相同；
（2）根据图象得到表示个体户的直线在出租公司的直线上时，即y ＜y 时对应的x的范围即可；
2 1
（3）先判断2300km＞1500km，再结合图象判断哪条直线在下方，代表哪方合算．
【解答】解：（1）两条直线在1500km处相交，故每月行驶的路程等于 1500km时，租两家车的费用相
同；
（2）由图可知当y ＜y 时，对应的x的范围是x＜1500km；
2 1
（3）由图象可知，当x＝2300km＞1500km，y ＜y ，即租用个体户的车合算．
1 2
【点评】主要考查了一次函数的实际运用和读图能力．从图象中获得所需的信息是需要掌握的基本能
力，要理解交点坐标和直线的上下关系在实际问题中的具体含义．
13．尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班
准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多
于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为 15元，每本
笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和（x+10）本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为
y 元，选择第二种方案购买所需费用为y 元．
1 2
（1）请分别写出y ，y 与x之间的关系式；
1 2
（2）若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更
为优惠．
【分析】（1）根据题意直接写出y ，y 与x之间的关系式；
1 2
（2）把x＝10代入（1）中解析式求出y的值进行比较即可．
【解答】解：（1）根据题意得：方案①：y₁＝15x+4×（x+10﹣x）＝15x+40；
方案②：y₂＝{15x+4（x+10）]×80%＝15.2x+32．
∴y₁与x之间的关系式为y
1
＝15x+40，y
2
与x之间的关系式为y
2
＝15.2x+32；
（2）当x＝10时，y ＝15×10+40＝190；
1
y ＝15.2×10+32＝184，
2
∵190＞184，
∴选择方案②更为优惠．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出y ，y 与x之间的关系式．
1 2
14．某通讯公司新开发甲、乙两种手机话费套餐，每月通话费用（元）与通话时间（分钟）之间的关系如
图所示．
（1）写出点A表示的实际意义；
（2）观察图象可知，若每月通话费用不足100分钟，则选择 种套餐划算；（3）李明预计每月的通话时间为300分钟，分别求出两种套餐所需的通话费用．
【分析】（1）结合图象，即可得到答案．
（2）结合图象，当时间＜100时，甲种话费套餐在乙种手机话费的下方，即可得到答案．
（3）分别求出两种套餐的费用，即可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意，
点A表示的实际意义是：通话时间为100分钟，甲、乙两种套餐的通话费用都是40元．
（2）根据图象可知，
当时间t＜100时，甲种话费套餐在乙种手机话费的下方，若每月通话费用不足100分钟，则选择甲种套
餐划算．
故答案为：甲；
（3）根据题意，
40
甲种套餐的费用：300× =120元，
100
40−20
乙种套餐的费用：300× +20＝80元．
100
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用函数的
性质和数形结合的思想解答．
15．为迎接中招体育考试，某校决定采购一批足球以供学生业余训练使用．某体育用品超市推出以下两
种优惠方案：方案一，一律打八折；方案二，当购买量不超过80个时，按原价销售，当购买量超过80个
时，超过的部分打六折．已知一个足球的原价为50元，设学校计划购买x个足球．
（1）设方案一的总费用为y ，方案二的总费用为y ，请分别写出y ，y （元）与x（个）之间的函数关系
1 2 1 2
式；
（2）若派学生代表去采购足球，他们应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
【分析】（1）利用两种优惠方案的优惠方式分别列式计算即可；
（2）利用分类讨论的方法和（1）中的结论分三种情形讨论解答即可．
【解答】解：（1）方案一的总费用为y ＝0.8×50x＝40x；
1当x≤80时，方案二的总费用为y ＝50x，
2
当x＞80时，方案二的总费用为y ＝50×80+50（x﹣80）×0.6＝30x+1600，
2
∴方案二的总费用为y { 50x(x≤80) )；
2=
30x+1600(x＞80)
（2）当x＜160时，选择方案一更省钱，当x＝160时，选择两种购买方式花费相同，当x＞160时，选择
方案二更省钱．理由：
①当x≤80时，
∵40x＜50x，
∴y ＜y ，
1 2
∴选择方案一更省钱；
当80＜x＜160时，
∵40x＜30x+1600，
∴y ＜y ，
1 2
∴选择方案一更省钱；
②当x＝160时，
∵40x＝30x+1600，
∴y ＝y ，
1 2
∴两种购买方式花费相同；
③当x＞160时，
∵40x＞30x+1600，
∴y ＞y ，
1 2
∴选择方案二更省钱．
综上，当x＜160时，选择方案一更省钱，当x＝160时，选择两种购买方式花费相同，当x＞160时，选
择方案二更省钱．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，利用分类讨论的方法解答是解题的
关键．
▲1、一元一次不等式与一次函数的关系
①一元一次方程kx+b=0的解，对应一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标.②一元一次不等式 kx+b>0（或kx+b<0）的解集，对应一次函数 y=kx+b的图像在x轴上 方（或 下
方）时，所有 x的 取值范围 .
▲２、两个一次函数与一元一次不等式的关系
两个一次函数 y =k x+b 和 y =k x+b （k ≠k ），不等式 y > y （或 y < y ）的解集，对
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
应两个函数图像中 y 的图像在 y 的图像上方（或下方）时，所有 x 的 取值范围 .
1 2
▲决策类问题
①明确问题，梳理条件
②建立数学模型
③求临界值（比较函数值大小，也可以根据函数解析式画出图像，并在图像上标注临界值，便于观察比
较）
④分类讨论，确定解集
⑤总结结论，优化决策
