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2021-2022学年河南省平顶山市舞钢市八年级（上）期中数学试
卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）已知，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，AC边的长为（ ）
A．3 B． C．3或 D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． ＝±4 B． ＝8 C． D． ＝3
3．（3分）点A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（ 2，3）
4．（3分）下列所描述的四个变化过程中，变量之间的关系不能看成函数关系的是（ ）
A．小车在下滑过程中下滑时间t和支撑物的高度h之间的关系
B．三角形一边上的高一定时，三角形的面积s与这边的长度x之间的关系
C．骆驼某日的体温T随着这天时间t的变化曲线所确定的温度T与时间t的关系
D．一个正数x的平方根是y，y随着这个数x的变化而变化，y与x之间的关系
5．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）在平面直角坐标系中，有点A（1，2）和点B（﹣1，﹣2），下列说法错误的是（ ）
A．直线AB经过原点
B．点A和点B到x轴的距离相等
C．点A和点B到原点的距离相等
D．线段AB平行x轴
7．（3分）利用估算判断大小正确的是（ ）
A． ＜3.8 B． ＞2 C． ﹣3＞0 D．
8．（3分）对于一次函数y＝ ，下列描述错误的是（ ）
A．它的图象经过第一、二、四象限
B．函数值y随x的增大而减小
第1页（共25页）C．点P（0，3）在这个函数图象上
D．这个函数的图象与x轴的交点坐标是（ ，0）
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝x+3﹣k的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，圆柱的底面周长是24cm，高是5cm，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下
底面上的点C镶嵌一圈金属线，则这圈金属线的最小长度是（ ）
A．26cm B． cm C． cm D．30cm
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）在实数： ， ， ，0， 中，无理数有 个．
π
12．（3分）经过点A（3，﹣2）有无数条直线，请写出一个经过点A的一条直线的函数关系式，
要求函数值y随自变量x的增大而减小，这个函数关系式可以是： ．
13．（3分）如图，若实验楼的坐标是（1，﹣2），图书馆的坐标是（1，3），则教学楼的坐标是
．
第2页（共25页）14．（3分）如图，点A（5，0），点B（4，3），点C（0，2），则四边形OABC的面积是 ．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，AC的垂直平分线交AC于点E，交
BC于点D．则BD的长为 ．
三、解答题（共75分）
16．（12分）计算：
（1） ；
（2） ．
17．（8分）已知，点A（﹣2，1）和点B（4，3）．
（1）在坐标平面内描出点A和点B的位置．
（2）连接AB并计算AB的长度．
（3）若点C（a﹣1，2b+3）与点B（4，3）关于x轴对称，求a﹣b的值．
第3页（共25页）18．（8分）某地特产采取线上销售，产品供不应求．销售额x（万元）与月份a（月）之间的函数
关系如题中的表格所示，销售成本y（万元）与销售额x（万元）之间的函数关系如题中图象
线段AB所示：
月份（a/月） 1 2 3 4 5 6
销售额 100 110 150 165 192 200
（x/万元）
（1）求线段AB所表达的函数关系式．
（2）若w表示销售利润，写出w与x之间的函数关系式，并且利用函数的性质判断这6个
月中第几个月利润最大，最大利润是多少？
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，求四边形
ABCD的面积．
第4页（共25页）20．（9分）观察下列规律：
∵ ，
∴ ．
∴ ．
…
（1） ＝ ；
（2） ＝ ；
（3）利用上面的规律计算：
（ ）（ ）．
21．（9分）已知，一次函数y＝ ．
（1）画出这个函数的图象．
（2）判断点P（10，﹣3）是否在这个函数的图象上．
（3）若点Q（a+1，2a﹣1）在这个函数的图象上，求a的值．
（4）这个函数的图象上有两个点A（ ，y ），B（ ，y ），请比较y 和y 的大小，并说明
1 2 1 2
理由．
第5页（共25页）22．（10分）如图，长方体的长BE＝30cm，宽AB＝20cm，高AD＝40cm，点M在CH上，且CM
＝10cm．一 只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多
少？
23．（11分）某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数y＝|x+1|﹣2的图象和性质进行
了探究，探究过程如下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 1 0 a ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
其中a＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系中已描出表中以各对对应值为坐标的部分点，请描出表中以
各对对应值为坐标的剩余点，并根据描出的点，按照自变量从小到大的顺序连线，画出该
函数的图象；
（3）观察函数图象，写出该函数的一条性质；
（4）进一步探究函数图象发现：
函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程|x+1|﹣2＝0有 个解；这个方
程的解是什么？
第6页（共25页）2021-2022学年河南省平顶山市舞钢市八年级（上）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）已知，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，AC边的长为（ ）
A．3 B． C．3或 D．
【分析】根据勾股定理直接计算即可．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，
∴AC边为直角边，
由勾股定理得AC＝ ＝ ＝3，
故选：A．
【点评】本题主要考查勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． ＝±4 B． ＝8 C． D． ＝3
【分析】A、C、D直接根据算术平方根的性质解答即可；B根据立方根的概念解答即可．
【解答】解： ＝4，故A选项不合题意；
＝4，故B选项不合题意；
＝ ，故C选项符合题意；
﹣ 无意义，故D选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题考查的是二次根式的性质与化简及立方根，掌握二次根式的性质是解决此题
关键．
3．（3分）点A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（ 2，3）
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
第7页（共25页）【解答】解：A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣2，﹣3）；
故选：B．
【点评】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标
规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵
坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4．（3分）下列所描述的四个变化过程中，变量之间的关系不能看成函数关系的是（ ）
A．小车在下滑过程中下滑时间t和支撑物的高度h之间的关系
B．三角形一边上的高一定时，三角形的面积s与这边的长度x之间的关系
C．骆驼某日的体温T随着这天时间t的变化曲线所确定的温度T与时间t的关系
D．一个正数x的平方根是y，y随着这个数x的变化而变化，y与x之间的关系
【分析】利用函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的
值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，进而得出答案．
【解答】解：A、小车下滑过程中下滑时间t与支撑物高度h之间的关系，两个变量之间的关
系被看成函数关系，故此选项不符合题意；
B、三角形一边上的高一定时，三角形面积S与该边的长度x之间的关系，两个变量之间的
关系被看成函数关系，故此选项不符合题意；
C、骆驼某日体温随时间的变化曲线所确定的温度与时间的关系，两个变量之间的关系被
看成函数关系，故此选项不符合题意；
D、y表示一个正数x的平方根，x对应两个y 的值，两个变量之间的关系不能看成函数关
系，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数的定义，正确把握函数定义是解题关键．
5．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故本选项符合题意；
C．被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
第8页（共25页）【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，
满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整
式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
6．（3分）在平面直角坐标系中，有点A（1，2）和点B（﹣1，﹣2），下列说法错误的是（ ）
A．直线AB经过原点
B．点A和点B到x轴的距离相等
C．点A和点B到原点的距离相等
D．线段AB平行x轴
【分析】根据 点A（1，2）和点B（﹣1，﹣2），于是得到点A和点B关于原点对称，即可得到
结论．
【解答】解：∵点A（1，2）和点B（﹣1，﹣2），
∴点A和点B关于原点对称，
∴直线AB经过原点，点A和点B到x轴的距离相等，点A和点B到原点的距离相等，故选
项A，B，C正确，D错误，
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称
时，它们的坐标符号相反．
7．（3分）利用估算判断大小正确的是（ ）
A． ＜3.8 B． ＞2 C． ﹣3＞0 D．
【分析】求出3.82＝14.44，再判断选项A即可；求出2 ＝ ，再判断选项B即可；估算
出2 ＜3，再判断选项C即可；先求出 ﹣ ，再比较大小即可．
【解答】解：A．∵3.82＝14.44＜15，
∴ ＞3.8，故本选项不符合题意；
B．∵2 ＝ ＝ ，
∴ ＜2 ，故本选项不符合题意；
C．∵2 ＜3，
∴ ﹣3＜0，故本选项不符合题意；
D．∵ ﹣
第9页（共25页）＝
＝ ，
∵ ＜9，
∴ ﹣ ＜0，
∴ ＜ ，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了实数的大小比较和估算无理数的范围，能选择适当的方法比较两个数
的大小是解此题的关键．
8．（3分）对于一次函数y＝ ，下列描述错误的是（ ）
A．它的图象经过第一、二、四象限
B．函数值y随x的增大而减小
C．点P（0，3）在这个函数图象上
D．这个函数的图象与x轴的交点坐标是（ ，0）
【分析】由题意得y＝﹣ x+ ，由系数k、b可判断A；根据k的系数可判断B；令x＝0即可
求得与y轴的交点坐标，可判断C；，令y＝0即可求得与x轴的交点坐标，可判断D．
【解答】解：一次函数y＝ ＝﹣ x+ ，
∵k＝﹣ ＜0，b＝ ＞0，
∴函数图象经过第一、二、四象限，故A正确，不符合题意；
∵k＝﹣ ＜0，
∴y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意；
令x＝0可得y＝ ，
∴点P（0， ）在这个函数图象上，点P（0，3）不在这个函数图象上，故C错误，符合题意；
第10页（共25页）令y＝0可得﹣ x+ ＝0，
解得：x＝ ，
∴这个函数的图象与x轴的交点坐标是（ ，0），故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，掌握一次函数
的增减性、与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝x+3﹣k的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质、正比例函数的性质，可以判断哪个
选项正确，本题得以解决．
【解答】解：当k＞3时，函数y＝kx的图象经过第一、三象限且过原点，y＝x+3﹣k的图象经
过第一、三、四象限，
当0＜k＜3时，函数y＝kx的图象经过第一、三象限且过原点，y＝x+3﹣k的图象经过第一、
二、三象限；
当k＜0时，函数y＝kx的图象经过第二、四象限且过原点，y＝x+3﹣k的图象经过第一、二、
三象限，
由上可得，选项C不可能；
故选：C．
【点评】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用
分类讨论的数学思想解答．
10．（3分）如图，圆柱的底面周长是24cm，高是5cm，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下
底面上的点C镶嵌一圈金属线，则这圈金属线的最小长度是（ ）
第11页（共25页）A．26cm B． cm C． cm D．30cm
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，
在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为24cm，圆柱高为5cm，
∴AB＝5cm，BC＝BC′＝12cm，
∴AC2＝52+122＝169，
∴AC＝13（cm），
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝26cm．
故选：A．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的
长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为
平面”，用勾股定理解决．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）在实数： ， ， ，0， 中，无理数有 3 个．
π
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，
有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解： 是分数，属于有理数；
0是整数，属于有理数；
第12页（共25页）无理数有 ， ， ，共3个．
π
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围
内学习的无理数有：，2 等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的
数． π π
12．（3分）经过点A（3，﹣2）有无数条直线，请写出一个经过点A的一条直线的函数关系式，
要求函数值y随自变量x的增大而减小，这个函数关系式可以是： y ＝﹣ x + 1（ 答案不唯
一） ．
【分析】设函数关系式为y＝﹣x+b，把A（3，﹣2）代入y＝﹣x+b得，﹣2＝﹣3+b，即可得到
结论．
【解答】解：∵函数的图象是一条直线，且函数值y随自变量x的增大而减小，
∴设函数关系式为y＝﹣x+b，
把A（3，﹣2）代入y＝﹣x+b得，﹣2＝﹣3+b，
∴b＝1，
∴这个函数关系式可以是y＝﹣x+1，
故答案为：y＝﹣x+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握一次函数的
性质是解题的关键．
13．（3分）如图，若实验楼的坐标是（1，﹣2），图书馆的坐标是（1，3），则教学楼的坐标是
（﹣ 2 ， 1 ） ．
【分析】根据题意找到坐标原点并建立直角坐标系，然后根据平面内特殊位置的点的坐标
特征写出教学楼的坐标即可．
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
第13页（共25页）教学楼的坐标是（﹣2，1）．
【点评】本题考查了坐标确定位置：平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，记住
平面内特殊位置的点的坐标特征．
14．（3分）如图，点A（5，0），点B（4，3），点C（0，2），则四边形OABC的面积是 11. 5 ．
【分析】连接OB，如图，根据三角形面积公式，利用四边形OABC的面积＝S△OBC +S△OAB 进
行计算．
【解答】解：连接OB，如图，
四边形OABC的面积＝S△OBC +S△OAB
＝ ×2×4+ ×5×3
＝11.5．
故答案为：11.5．
【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△ ＝
×底×高．也考查了坐标与图形性质．
第14页（共25页）15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，AC的垂直平分线交AC于点E，交
BC于点D．则BD的长为 ．
【分析】连接AD，根据垂直平分线得AD＝CD，设BD＝x，根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：连接AD，
∵AC的垂直平分线交AC于点E，
∴AD＝DC，
设BD＝x，
∵∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
由勾股定理得BC＝ ＝ ＝4，
∴AD＝DC＝BC﹣BD＝4﹣x，
由勾股定理得AB2+BD2＝AD2，
即32+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理的知识是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16．（12分）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答
第15页（共25页）案；
（2）直接利用乘法公式结合二次根式的混合运算化简，进而合并得出答案．
【解答】解：（1）原式＝ ﹣2 +1+2×
＝ ﹣2 +1+
＝﹣ +1；
（2）原式＝（2 ﹣ ）÷ +8+1﹣4
＝ ÷ +8+1﹣4
＝ ÷ +9﹣4
＝ +9﹣4
＝﹣ +9．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
17．（8分）已知，点A（﹣2，1）和点B（4，3）．
（1）在坐标平面内描出点A和点B的位置．
（2）连接AB并计算AB的长度．
（3）若点C（a﹣1，2b+3）与点B（4，3）关于x轴对称，求a﹣b的值．
第16页（共25页）【分析】（1）根据点的坐标在坐标平面内描出点A和点B即可；
（2）根据勾股定理即可得到结论；
（3）根据轴对称的性质求出a、b的值即可．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）AB＝ ＝2 ；
（3）∵点C（a﹣1，2b+3）与点B（4，3）关于x轴对称，
∴a﹣1＝4，2b+3＝﹣3，
∴a＝5，b＝﹣3，
∴a﹣b＝8．
第17页（共25页）【点评】本题考查勾股定理，关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题的关键是熟练掌握勾股
定理．
18．（8分）某地特产采取线上销售，产品供不应求．销售额x（万元）与月份a（月）之间的函数
关系如题中的表格所示，销售成本y（万元）与销售额x（万元）之间的函数关系如题中图象
线段AB所示：
月份（a/月） 1 2 3 4 5 6
销售额 100 110 150 165 192 200
（x/万元）
（1）求线段AB所表达的函数关系式．
（2）若w表示销售利润，写出w与x之间的函数关系式，并且利用函数的性质判断这6个
月中第几个月利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）设y＝kx+b，（100，60），（200，110）代入即可解决问题；
（2）首先根据利润＝销售额﹣经销成本求出关系式，再根据自变量的取值范围求出最值即
可解决问题．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
第18页（共25页）把（100，60），（200，110）代入得 ，
解得 ，
∴y＝ x+10（100≤x≤200）．
（2）w＝x﹣y＝x﹣（ x+10）＝ x﹣10，
∵ ＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝200时，w最大是90．
∴6月的销售利润最大，最大利润为90万元．
【点评】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式等知识，掌握待定系数
法求出解析式是解题关键．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，求四边形
ABCD的面积．
【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，
利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，最后根据四边形ABCD的面积＝
直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
第19页（共25页）∵AB＝4，BC＝3，
根据勾股定理得：AC＝ ＝ ＝5，
又∵AD＝13，CD＝12，
∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD ＝S△ABC +S△ACD ＝ AB•BC+ AC•CD＝ ×3×4+ ×12×5＝36，
答：四边形ABCD的面积36．
【点评】本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解
本题的关键．
20．（9分）观察下列规律：
∵ ，
∴ ．
∴ ．
…
（1） ＝ ﹣ ；
（2） ＝ ﹣ ；
（3）利用上面的规律计算：
（ ）（ ）．
【分析】（1）直接利用已知规律得出答案；
（2）直接利用已知规律得出答案；
（3）直接利用已知规律化简，再利用乘法公式计算得出答案．
【解答】解：（1） ＝ ﹣ ；
第20页（共25页）（2） ＝ ﹣ ；
（3）原式＝（ ﹣1+ ﹣ + ﹣ +...+ ﹣ ）（ +1）
＝（ ﹣1）（ +1）
＝2021﹣1
＝2020．
故答案为：（1） ﹣ ；（2） ﹣ ．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
21．（9分）已知，一次函数y＝ ．
（1）画出这个函数的图象．
（2）判断点P（10，﹣3）是否在这个函数的图象上．
（3）若点Q（a+1，2a﹣1）在这个函数的图象上，求a的值．
（4）这个函数的图象上有两个点A（ ，y ），B（ ，y ），请比较y 和y 的大小，并说明
1 2 1 2
理由．
【分析】（1）作出点（2，0）和（0，1），过两点作直线即可；
（2）把P点横坐标代入函数解析式，进一步验证即可；
（3）把Q点横坐标代入函数解析式，可得一元一次方程，解方程即可；
第21页（共25页）（4）根据一次函数的性质求解．
【解答】解：（1）如图，
（2）当x＝10时，y＝﹣ x+1＝﹣4，
所以点P（10，﹣3）不在这个一次函数的图象上；
（3）当x＝a+1时，y＝﹣ （a+1）+1＝2a﹣1，
解得：a＝ ；
（4）因为y＝﹣ x+1，k＝﹣ ＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵ ＜ ，
∴y ＞y ．
1 2
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数的性质，正
确的理解题意是解题的关键．
22．（10分）如图，长方体的长BE＝30cm，宽AB＝20cm，高AD＝40cm，点M在CH上，且CM
＝10cm．一 只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多
少？
第22页（共25页）【分析】分三种情况讨论：如图①，在Rt△ADM中，如图②，在Rt△ABM中，如图③中，
在Rt△AMC中，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图①，在 Rt△ADM 中， ＝ ＝
＝ ＝ ＝50（cm），
如图②，在Rt△ABM中， ＝ ＝ ＝ ＝
（cm），
如图③中，在 Rt△AMC 中， ＝ ＝ ＝
＝ ＝ （cm），
∵ ，
∴蚂蚁要沿长方体表面从点A爬到点M，需要进行的最短距离为50cm．
【点评】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平
面图形，利用勾股定理的知识求解．
23．（11分）某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数y＝|x+1|﹣2的图象和性质进行
了探究，探究过程如下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 1 0 a ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
其中a＝ ﹣ 1 ；
第23页（共25页）（2）如图，在平面直角坐标系中已描出表中以各对对应值为坐标的部分点，请描出表中以
各对对应值为坐标的剩余点，并根据描出的点，按照自变量从小到大的顺序连线，画出该
函数的图象；
（3）观察函数图象，写出该函数的一条性质；
（4）进一步探究函数图象发现：
函数图象与x轴有 2 个交点，所以对应的方程|x+1|﹣2＝0有 2 个解；这个方程的
解是什么？
【分析】（1）当x＝﹣2时，y＝|﹣2+1|﹣2＝﹣1，则a＝﹣1．
（2）描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线．
（3）根据函数图象解决．
（4）根据函数图象解决．
【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝|﹣2+1|﹣2＝﹣1，则a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
（2）函数图象如图所示．
第24页（共25页）（3）由图可知：函数图象关于直线x＝﹣1对称．
（4）由图可知：函数图象与x轴有2个交点，所以对应的方程|x+1|﹣2＝0有2个实数根；这
个方程的解是x＝﹣3或x＝1．
故答案为：2，2．
【点评】本题主要考查函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象，熟练
掌握函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象是解决本题关键．
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