专题14三次函数（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_专项复习资料_学霸养成2024高考数学压轴大题必杀技系列·导数

专题 14 三次函数 一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点, 我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,学生 对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力,由于三次函数的导数是二次 函数,使得我们可以利用二次函数研究三次函数的图象与性质,这使得三次函数成为高考数学的一个热点. 二、解题秘籍 (一) 三次函数的图象与性质 三次函数 的图象有六种,如图： 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】图(5) 图(6) 2.对函数 进行求导： 是二次函数,原函数的极值点 与单调性与导函数的正负有关,所以容易发现导函数中的参数 与 的符号起决定性作用.当 为正时,原函 数的图象应为上图中的（1）、（3）、（5）三种情况；而当 为负时,原函数的图象则为（2）、（4）、 （6）三种情况.当 时,二次方程 有两相异实根 ,且在 的两边 的符号相反,故 函数 存在两个极值点,图象为上图中的（3）、（4）两种；当 时,二次方程 有两相等实 根,且在根的两边 的符号相同,这时函数 只存在驻点（但不是极值点）,函数的图象为上图中 （1）、（2）两种,当 时；方程 无实根, 的值恒为正（或负）,函数的图象为上图中的 （5）、（6）两种. 仔细观察图象,我们还不难发现三次函数是中心对称曲线,这一点可以得到进一步的验证:设 f (m−x)+f (m+x)=2n ,得 [a(m−x) 3 +b(m−x) 2 +c(m−x)+d]+[a(m+x) 3 +b(m+x) 2 +c(m+x)+d]=2n 整 理 得 , b m=− (6ma+2b)x2 +(2am3 +2bm2 +2mc+2d)=2n 3a .据多项式恒等对应系数相等 ,可得 且 n=am3 +bm2 +mc+d ,从而三次函数是中心对称曲线,且由 n=f (m) 知其对称中心 (m,f(m)) 仍然在曲 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】b m=− 3a f (x) f'' (x)=6ax+2b 线上.而 是否具有特殊的意义？对函数 进行两次求导, 再令等于 0,得 b x=− 3a ,恰好是对称中心的横坐标,这可不是巧合,因为满足 f'' (m)=0 的m正是函数拐点的横坐标,这一 性质刚好与图象吻合.除此,三次函数的对称中心还有一个很少引起注意的性质---过三次曲线的对称中心且 与该三次曲线相切的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线 有二条.由于三次曲线都是中心对称曲线,因此,将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为 f (x)=ax3 +bx . f (x)=ax3 +bx 若M（x,y ）是三次曲线 上的任一点,设过M的切线与曲线y=f（x）相切于（x,y ）,则切 1 1 0 0 y−y =f' (x )(x−x ) y −y =f' (x )(x −x ) 线 方 程 为 0 0 0 , 因 点 M 上 此 切 线 上 , 故 1 0 0 1 0 , 又 y =ax +bx ,y =ax +bx ax +bx−(ax +bx )=(3ax +b)(x −x ) 0 0 3 0 1 1 3 1 , 所 以 1 3 1 0 3 0 0 2 1 0 , 整 理 得 ： x (x −x ) 2 (2x +x )=0 x =x x 0 =− 2 1 0 1 0 1 ,解得, 0 1或 . x =0 综上所述,当点M是对称中心即 1 时,过点M作曲线的切线切点是惟一的,且为M,故只有一条切线；当 x ≠0 点M不是对称中心即 1 时,过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点,故必有两条切线,其中一条就是 以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线. 由此可见,不仅切线与曲线的公共点可以多于一个,而且过曲线上点的切线也不一定惟一求以曲线上的点 (x,f(x))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x)；③写出切线方 0 0 0 程y－f(x)＝f′(x)(x－x),并化简． 0 0 0 【例1】（2023届黑龙江省哈尔滨市高三上学期12月月考）设函数 (1)若 ， ，求曲线 在点 处的切线方程； 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若 ，不等式 对任意 恒成立，求整数k的最大值． 【解析】（1）当 ， 时， ，所以 ，即切点为 因为 ，所以 ， 所以切线方程为 ，即 ， （2） ，由 ，所以 ， 所以函数 在R上单调递增 不等式 ，对 恒成立， 构造 ， ， 构造 ， ，对 有 ， 所以 在 递增， ， ， 所以 ， ， 所以 ， ，即 ， 在 递减， ， ，即 ， 在 递增， 所以 ，结合 ，故 ， 所以 对 恒成立 ，故 ， 所以整数k的最大值为3； (二)三次函数的零点 1.若三次函数 没有极值点,则 有1个零点； 2. 三次函数 有 2 个极值点 ,则 时 有 1 个零点； 时 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】有2个零点； 时 有3个零点. 【例2】（2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考）已知函数 ,其中 . (1)若 的极小值为－16,求 ； (2)讨论 的零点个数. 【解析】（1）由题得 ,其中 ,当 时, , 单调递 增, 无极值；当 时,令 ,解得 或 ；令 ,解得 ,所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , ,所以当 时, 取得极小值 ,所以 ,解得 . （2）由（1）知当 时, 的极小值为 , 的极大值为 , 当 ,即 时, 有三个零点,如图①曲线 ；当 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】,即 时, 有两个零点,如图②曲线；当 ,即 时, 有一个零点, 如图③曲线；当 时, ,易知 有一个零点. 综上,当 时, 有一个零点； 当 时, 有两个零点；当 时, 有三个零点. (三)过平面上一点P作三次函数图象的切线的条数 此类问题一般是先设出切点Q ,写出曲线 在 处的切线方程,把点P坐标代入,整理出一个 关于t的三次方程,该方程实根个数就是切线条数. 【例3】（2024届江苏省南通市高三上学期期初质量监测）已知函数 的极小值 为 ，其导函数 的图象经过 ， 两点. (1)求 的解析式； (2)若曲线 恰有三条过点 的切线，求实数 的取值范围. 【解析】（1） ， 因为 ，且 的图象经过 ， 两点. 所以当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增. 所以 在 处取得极小值，所以 ， 又因为 ， ，所以 ， ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解方程组 得 ， ， ， 所以 . （2）设切点为 ，则 ， 因为 ，所以 ， 所以切线方程为 ， 将 代入上式，得 . 因为曲线 恰有三条过点 的切线，所以方程 有三个不同实数解. 记 ，则导函数 ， 令 ，得 或1. 列表： 0 1 + 0 - 0 + 极 ↗ 极大 ↘ ↗ 小 所以 的极大值为 ， 的极小值为 ， 所以 ，解得 .故 的取值范围是 . (四)含参数的三次函数的单调性的讨论 求含参数的三次函数在闭区间上的最值,一般根据函数极值点与闭区间的位置关系进行讨论. 【例4】（2024届内蒙古包头市高三上学期调研）已知函数 ． (1)讨论 的单调性； 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若 有2个零点，求 的值． （注： ） 【解析】（1） ， ， 当 ，即 时， ，所以 在 上单调递增， 当 ，即 或 时， 令 ，解得 ， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 综上所述，当 时， 在 上单调递增， 当 或 时， 在 上单调递增，在 上单 调递减； （2）当 时， ，此时函数无零点， 当 时， 等价于 ， 设 ， ，则 ， 当 时， ，故 单调递增，且 ， 当 时， ，故 单调递减， 当 时， ，故 单调递增， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，当 且 时， ，当 时， ， 如图作出函数 的大致图象， 由图可知，要使 ， 两个函数有两个交点，则 ， 即当 时， 有且只有2个零点． (五)三次函数与韦达定理的交汇 由于三次函数的导数是二次函数,而二次函数常与韦达定理交汇,故有时可以用定理交汇处理三次函数问题 a b f (x)= x3 + x2 −a2x(a>0) x ,x 3 2 |x |+|x |=2 【例5】设 1 2是函数 的两个极值点,且 1 2 (1)求a的取值范围； 4√3 |b|≤ 9 (2)求证： . f' (x)=ax2 +bx−a2 【解析】(1) , 的两个实根,又a＞0 b √b2 x x =−a<0,x +x =− |x |+|x |=|x −x |= +4a 1 2 1 2 a 1 2 1 2 a2 , |x |+|x |=2 由 1 2 得 ∵b2 ≥0∴0 . 4 a 27 a 12 当 时,函数 单调递减,此时 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】F(a) 1 ( ) = . a min 12 综上, 12.已知函数 在 时有极小值. (1)当 时,求 在 处的切线方程； (2)求 在 上的最小值. 【解析】 (1)因为函数 在 时有极小值, 故 , ,解得： . 当 时, ,故 , , 则 , 则 在 处的切线方程为： ,整理得： . 故 在 处的切线方程为 . (2)由（1）得 ,且 , 故 , 令 ,解得 , 因为 ,所以 , , . 又函数 在 时有极小值,当 时, 或 , ,函数 单调递减, 当 时, ,函数 单调递增, 故函数 在 有极大值,与题意不符,故 ,即 ,即 ,所以,当 或 , ,函数 单调递减, 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时, ,函数 单调递增, 故函数 在 有极大值. 当 ,即 时,函数 在区间 单调递减,在区间 单调递增,故在区间 上得最小 值为 , 当 ,即 时,函数 在区间 和 单调递减,在区间 单调递增,且 , , . 故当 时, , , 当 时, , . 综上所述：当 时,函数 在 上的最小值为 , 当 时,函数 在 上的最小值为 . 13.已知函数 ,其中 ． (1)求函数 的单调区间； (2)设函数 在区间 上的最大值为 ,证明： ． 【解析】 (1)因为 , , 所以 ． 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①若 ,当 时, ；当 或 时, ． 即 在 上单调递减,在 和 上单调递增； ②若 ,恒有 ． 即 在定义域 上单调递增； ③若 ,当 时, ；当 或 时, ． 即 在 上单调递减,在 和 上单调递增； 综上,当 时,函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , ； f x , a0 当 时,函数 的单调递增区间为 ； f x a,2a ,a 2a, a0 当 时,函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , ． a0,2 a2 2a (2)由题意,有 ,∴ ． 由（1）知 1a2 f x   a2,2a  ①当 时, 在 上单调递增． ga f 2a4a3 32 ∴ ． ②当0a1时, f x 在   a2,a  上单调递减,在 a,2a 上单调递增． f 2a4a3 0 f 2a4 0a1 由 , ,∴ ； f  a2 2a63a512a4 a4 2a23a12  又 ． f  a2 0 ∵0a1,∴ 2a23a120．∴ ． ga f 2a4a3 432 ∴ ． 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】ga32 综上,有 ． f xx3ax2a2x1 a0 14.已知函数 ,其中 . y f x  a, f a （1）求曲线 在点 处的切线方程； f x0 ,t t a （2）若存在实数 ,使得不等式 的解集为 ,求 的取值范围. f xx3ax2a2x1 fx3x22axa2 【解析】由 得 . f�(a) =0 （1）所以 . f aa31 又因为 . ya31 故所求的切线方程为 . fx3x22axa2 3xaxa （2）因为 a 令 fx0,得 x 1  3 ,x 2 a, fx f x x 此时 , 随 的变化如下：  a a  a  x ,a a a,    ,  3 3  3  fx  0  0  f x  极大值  极小值  f x0 ,t t 由题意,要想存在实数 ,使得不等式 的解集为 f a0 f a0     a   a 只需  f  0或  f  0   3   3  a 5 f   a310 因为  3 27 , 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】f aa310 所以 1,0 a 所以 的取值范围为 . f xx33axaaR 15.已知函数 ． f x (1)讨论函数 的单调性； f x 0,3 ga ga (2)若函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ,求 的最小值． f xx33axaaR f 'x3x23a3  x2a  【解析】 (1)因为 ,所以 ． f 'x0 f x a0 R ①当 时, 恒成立, 在 上单调递增；       ②当a0时, x , a ∪ a, 时, f 'x0 ； x  a, a 时, f 'x0 ；       f x , a a,  a, a 故 在 和 上单调递增,在 上单调递减． (2)由（1）可知： f x 0,3 ga f 3 f 0279a a0 ①当 时, 在 上单调递增, ； a 3 a9 f x 0,3 ga f 0 f a9a27 ②当 ,即 时, 在 上单调递减, ；   ③当0 a 3,即0a9时, f x 在   0, a 上单调递减,在 a,3 上单调递增, f x  f  a  2a aa f 0a f 3278a 于是 min ,又 , ． ga279a2a a ga2a a 故当0