专题14三次函数（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_专项复习资料_学霸养成2024高考数学压轴大题必杀技系列·导数

专题 14 三次函数
一、考情分析
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,学生
对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力,由于三次函数的导数是二次
函数,使得我们可以利用二次函数研究三次函数的图象与性质,这使得三次函数成为高考数学的一个热点.
二、解题秘籍
(一) 三次函数的图象与性质
三次函数 的图象有六种,如图：
图(1) 图(2)
图(3)
图(4)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】图(5) 图(6)
2.对函数 进行求导： 是二次函数,原函数的极值点
与单调性与导函数的正负有关,所以容易发现导函数中的参数 与 的符号起决定性作用.当 为正时,原函
数的图象应为上图中的（1）、（3）、（5）三种情况；而当 为负时,原函数的图象则为（2）、（4）、
（6）三种情况.当 时,二次方程 有两相异实根 ,且在 的两边 的符号相反,故
函数 存在两个极值点,图象为上图中的（3）、（4）两种；当 时,二次方程 有两相等实
根,且在根的两边 的符号相同,这时函数 只存在驻点（但不是极值点）,函数的图象为上图中
（1）、（2）两种,当 时；方程 无实根, 的值恒为正（或负）,函数的图象为上图中的
（5）、（6）两种.
仔细观察图象,我们还不难发现三次函数是中心对称曲线,这一点可以得到进一步的验证:设
f (m−x)+f (m+x)=2n
,得
[a(m−x) 3 +b(m−x) 2 +c(m−x)+d]+[a(m+x) 3 +b(m+x) 2 +c(m+x)+d]=2n
整 理 得 ,
b
m=−
(6ma+2b)x2 +(2am3 +2bm2 +2mc+2d)=2n 3a
.据多项式恒等对应系数相等 ,可得 且
n=am3 +bm2 +mc+d
,从而三次函数是中心对称曲线,且由
n=f (m)
知其对称中心
(m,f(m))
仍然在曲
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】b
m=−
3a f (x) f'' (x)=6ax+2b
线上.而 是否具有特殊的意义？对函数 进行两次求导, 再令等于 0,得
b
x=−
3a
,恰好是对称中心的横坐标,这可不是巧合,因为满足
f'' (m)=0
的m正是函数拐点的横坐标,这一
性质刚好与图象吻合.除此,三次函数的对称中心还有一个很少引起注意的性质---过三次曲线的对称中心且
与该三次曲线相切的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线
有二条.由于三次曲线都是中心对称曲线,因此,将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为
f (x)=ax3 +bx
.
f (x)=ax3 +bx
若M（x,y ）是三次曲线 上的任一点,设过M的切线与曲线y=f（x）相切于（x,y ）,则切
1 1 0 0
y−y =f' (x )(x−x ) y −y =f' (x )(x −x )
线 方 程 为 0 0 0 , 因 点 M 上 此 切 线 上 , 故 1 0 0 1 0 , 又
y =ax +bx ,y =ax +bx ax +bx−(ax +bx )=(3ax +b)(x −x )
0 0 3 0 1 1 3 1 , 所 以 1 3 1 0 3 0 0 2 1 0 , 整 理 得 ：
x
(x −x ) 2 (2x +x )=0 x =x x 0 =− 2 1
0 1 0 1 ,解得, 0 1或 .
x =0
综上所述,当点M是对称中心即 1 时,过点M作曲线的切线切点是惟一的,且为M,故只有一条切线；当
x ≠0
点M不是对称中心即 1 时,过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点,故必有两条切线,其中一条就是
以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线.
由此可见,不仅切线与曲线的公共点可以多于一个,而且过曲线上点的切线也不一定惟一求以曲线上的点
(x,f(x))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x)；③写出切线方
0 0 0
程y－f(x)＝f′(x)(x－x),并化简．
0 0 0
【例1】（2023届黑龙江省哈尔滨市高三上学期12月月考）设函数
(1)若 ， ，求曲线 在点 处的切线方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若 ，不等式 对任意 恒成立，求整数k的最大值．
【解析】（1）当 ， 时， ，所以 ，即切点为
因为 ，所以 ，
所以切线方程为 ，即 ，
（2） ，由 ，所以 ，
所以函数 在R上单调递增
不等式 ，对 恒成立，
构造 ， ，
构造 ， ，对 有 ，
所以 在 递增， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，即 ， 在 递减，
， ，即 ， 在 递增，
所以 ，结合 ，故 ，
所以 对 恒成立 ，故 ，
所以整数k的最大值为3；
(二)三次函数的零点
1.若三次函数 没有极值点,则 有1个零点；
2. 三次函数 有 2 个极值点 ,则 时 有 1 个零点； 时
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】有2个零点； 时 有3个零点.
【例2】（2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考）已知函数 ,其中 .
(1)若 的极小值为－16,求 ；
(2)讨论 的零点个数.
【解析】（1）由题得 ,其中 ,当 时, , 单调递
增, 无极值；当 时,令 ,解得 或 ；令 ,解得 ,所以
的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , ,所以当 时, 取得极小值
,所以 ,解得 .
（2）由（1）知当 时, 的极小值为 , 的极大值为 ,
当 ,即 时, 有三个零点,如图①曲线 ；当
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】,即 时, 有两个零点,如图②曲线；当 ,即 时, 有一个零点,
如图③曲线；当 时, ,易知 有一个零点. 综上,当 时, 有一个零点；
当 时, 有两个零点；当 时, 有三个零点.
(三)过平面上一点P作三次函数图象的切线的条数
此类问题一般是先设出切点Q ,写出曲线 在 处的切线方程,把点P坐标代入,整理出一个
关于t的三次方程,该方程实根个数就是切线条数.
【例3】（2024届江苏省南通市高三上学期期初质量监测）已知函数 的极小值
为 ，其导函数 的图象经过 ， 两点.
(1)求 的解析式；
(2)若曲线 恰有三条过点 的切线，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ，
因为 ，且 的图象经过 ， 两点.
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以 在 处取得极小值，所以 ，
又因为 ， ，所以 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解方程组 得 ， ， ，
所以 .
（2）设切点为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以切线方程为 ，
将 代入上式，得 .
因为曲线 恰有三条过点 的切线，所以方程 有三个不同实数解.
记 ，则导函数 ，
令 ，得 或1.
列表：
0 1
+ 0 - 0 +
极
↗ 极大 ↘ ↗
小
所以 的极大值为 ， 的极小值为 ，
所以 ，解得 .故 的取值范围是 .
(四)含参数的三次函数的单调性的讨论
求含参数的三次函数在闭区间上的最值,一般根据函数极值点与闭区间的位置关系进行讨论.
【例4】（2024届内蒙古包头市高三上学期调研）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若 有2个零点，求 的值．
（注： ）
【解析】（1） ， ，
当 ，即 时， ，所以 在 上单调递增，
当 ，即 或 时，
令 ，解得 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上所述，当 时， 在 上单调递增，
当 或 时， 在 上单调递增，在 上单
调递减；
（2）当 时， ，此时函数无零点，
当 时， 等价于 ，
设 ， ，则 ，
当 时， ，故 单调递增，且 ，
当 时， ，故 单调递减，
当 时， ，故 单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，当 且 时， ，当 时， ，
如图作出函数 的大致图象，
由图可知，要使 ， 两个函数有两个交点，则 ，
即当 时， 有且只有2个零点．
(五)三次函数与韦达定理的交汇
由于三次函数的导数是二次函数,而二次函数常与韦达定理交汇,故有时可以用定理交汇处理三次函数问题
a b
f (x)= x3 + x2 −a2x(a>0)
x ,x 3 2 |x |+|x |=2
【例5】设 1 2是函数 的两个极值点,且 1 2
(1)求a的取值范围；
4√3
|b|≤
9
(2)求证： .
f' (x)=ax2 +bx−a2
【解析】(1) , 的两个实根,又a＞0
b √b2
x x =−a<0,x +x =− |x |+|x |=|x −x |= +4a
1 2 1 2 a 1 2 1 2 a2
,
|x |+|x |=2
由 1 2 得
∵b2 ≥0∴0<a≤1
b2 =g(a)=4a2 −4a3, g' (a)=8a−12a2 =4a(2−3a)
(2)设 则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】上单调递增
4√3
∴b≤
9
,
三、典例展示
【例1】（2024届海南省琼中县高三上学期9月全真模拟）已知函数 ， ．
(1)当 时，求 在 上的值域；
(2)若 的极小值为 ，求m的值．
【解析】（1）当 时， ，则 ，
令 ，得 或 ，
当x变化时， ， 的变化情况如表所示：
x 0 1
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 极大值0 单调递减 极小值 单调递增 0
所以 在 上的值域为 ．
（2）由 ，得 ，
令 ，得 或 ，
因为 ，
令 ，得 ；
令 ，得 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
在 处取得极小值，
令 ，
解得 ，故m的值为6．
【例2】（2024届贵州省贵阳第一中学高三上学期适应性月考）已知函数 .
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若过点 存在3条直线与曲线 相切，求 的取值范围；
(3)请问过点 ， ， ， ， 分别存在几条直线与曲线 相切？
（请直接写出结论，不需要证明）
【解析】（1）因为 ，所以 .
又 ，
根据导数的几何意义可知，函数 在 处的切线的斜率为 ，
所以，切线方程为 .
（2）设切点为 ，则 ，
切线方程为 ，
整理可得， .
又点 在切线上，则 .
要使过点 存在3条直线与曲线 相切，则该方程有 个解.
令 ，则 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解 ，可得 ，所以 在 上单调递增；
解 ，可得 或 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递减.
所以， 在 处取得极小值，在 处取得极大值.
又 ， ，由题意可知， .
（3）设切点为 ，则 ，
切线方程为 .
①当点 在切线上时，有 ，此时 ，即点 为切点.
由（1）知，切线为1条；
②当点 在切线上时，
由（2）知， 在 处取得极小值，且 ，
所以，此时 ，只有1个解，即只存在1条切线；
③当 在切线上时，
由（2）知， ，解得 或 .
所以此时存在2条切线；
④设切线过
此时有 .
令 ，则 .
解 ，可得 ，所以 在 上单调递增；
解 ，可得 或 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递减.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以， 在 处取得极小值，在 处取得极大值.
又 ， ，
所以，当 时，有3条切线.
所以，过点 的切线有3条.
又方程 ，可化为 ，
解得 或 ，
所以，过点 的切线有2条.
【例3】（2023届江苏省徐州市睢宁县高三下学期5月模拟）已知函数 ， ，且
在 上的极大值为1．
(1)求实数 的值；
(2)若 ， ， ，求 的值．
【解析】（1） ， ，
① 时， ，∴ ，无极值．
② 时， ，∴ ，
当 ，即 时， ，无极大值；
当 时， 时， ； 时， ，
∴ 在 处取极大值，即 ，∴ ，舍去．
③ 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
时， ； 时， ； 时， ．
∴ 在 处取极大值 ，∴ 符合题意．
综上， ．
（2）由（1）可知， ， ，
令 可得 ，令 可得 或 ，
如图所示．
① 当 时， ，
当 时， ，则 ，矛盾；
当 时， ，∴ ，矛盾．
② 当 时，符合题意．
③ 当 时， 时， ，∴ ，
则 ， ，∴ ，矛盾．
④ 当 时，符合题意．
⑤ 当 时， 时， ，∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ，∴ ，矛盾．
⑥ 当 时，符合题意．
⑦ 当 时， ，则 ，∴ ，与 矛盾．
⑧ 当 时， ， ，∴ ，与 矛盾．
综上， ，或 ，或 ．
【例4】（2023届重庆市第十一中学校高三上学期11月质量检测）已知函数 ，
在 处取极大值，在 处取极小值.
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)在方程 的解中，较大的一个记为 ，在方程 的解中，较小的一个记为 ，证
明： 为定值.
【解析】（1）当 时， ，定义域为R， ，
当 时， 或 ；当 时， ；
即函数 的单调增区间为 ， ；单调减区间为 .
（2）由 ，
根据题意，得 的两根为 ，且 ，
即 ，得 ，
，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，则 ，
可知 ，
因为 ，即 ，
即 ，
可知 ，同理，由 ，
可知 ；
得到 ，
所以 .
【例5】（2023届上海市嘉定区高三三模）已知函数 ，其导函数为 ，
(1)若函数 有三个零点 ，且 ，试比较 与 的大小.
(2)若 ，试判断 在区间 上是否存在极值点，并说明理由.
(3)在（1）的条件下，对任意的 ，总存在 使得 成立，求实数 的最大值.
【解析】（1）因为 ，故 一正一负，
，所以 ，所以 是方程 的两根，
由韦达定理得 ，
因为
所以 ，故 ， ， ，
因为 ， ，所以 ；
（2） ，开口向上，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， ，
①当 时， ，
根据零点存在定理可知，存在 使得 ，
且 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减，
所以 在区间 上存在极大值点，
②当 时， ， ，
根据零点存在定理可知，存在 使得 ，且 时， ，
时， ，所以 在区间 上存在极小值点；
（3）对任意的 ，总存在 使得 成立，
设 ， 的最大值为 ，则 ，
即 ①， ②， ③，
由①+③ 得 ④，
由② 得 ⑤，
④+⑤得 ，即 ，
当且仅当 ，即 时取等，所以 的最大值为2.
【例6】设函数 ,其中 , 为常数．
(1)讨论 的单调性；
(2)若函数 有且仅有3个零点,求 的取值范围．
【解析】 (1) ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时, , 或 , , ,
当 时, , 或 , , ,
当 时, ,
综上,当 时, 在 , 上单调递增, 上单调递减；
当 时, 在 和 上单调递增, 上单调递减；
当 时, 在 上单调递增．
(2)由（1）可知, 有3个零点,
则 且 ,
∴ ,
∴ ．
四、跟踪检测
1.（2024届江苏省镇江市丹阳市高三上学期期初检测）已知函数 在 处
有极小值.
(1)求m的值；
(2)求函数 在 上的最大值.
【解析】（1）因为 ，则 ，
又因为 在 处有极小值，则 ，解得 或 ，
（i）当 时，则 ，
当 时， ， 单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 取得极小值，符合题意；
（ii）当 时， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 取得极大值，不符合题意，舍去
综上所述： .
（2）由（1）可知： ，且 在 上单调递增，在 上单调递减，
，如图所示：
又因为 ，则有：
（i）当 时，则 在 上单调递增，
所以函数 在 上的最大值为 ；
（ii）当 时，结合图象可知：函数 在 上的最大值为 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（iii）当 时，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ，所以函数 在 上的最大值为 ；
综上所述： .
2.（2023河南省新未来3月联考）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)当 时，若对 ， 恒成立，求 的最小值．
【解析】（1）若 ，可得 ，
有 ，
令 ，可得 ，令 ，则 或 ，
故函数 的增区间为 ， ，减区间为 ，
函数 的极小值为 ，极大值为 ；
（2）令 ，
有 ，
由函数 单调递增及 ， ，
可知存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 的减区间为 ，增区间为 ，
可得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
由 ， 恒成立，
有 ，可得 ，
有 ，
可得 ，
令 ，
有
，
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以函数 的减区间为 ，增区间为 ，
所以 ，
故 的最小值为 ．
3．（2023届安徽省卓越县中联盟高三上学期第一次联考）已知函数 ， ．
(1)若 在 上的值域为 ，求 在 上的单调区间；
(2)若函数 ，则当 时，求 的零点个数．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
令 ，解得 或 ，
当 ，即 时，令 ，得 ；令 ，得 或 ；
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，此时 是 的极大值点；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 ，即 时，令 ，得 ；令 ，得 或 ；
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，此时 是 的极小值点；
当 时， 恒成立，则 在 上单调递增，
此时 ，易得 ， ，不满足题意；
又 ， 在 上的值域为 ，
所以 在 上的最值为 ，故 是 的极大值点，
所以 ，
此时，有 或 两种情况，都有 ，故 满足题意，
所以由上述分析可知， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．
（2）令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ，即 ，当 时， ，即 ；
因为 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，解得 或 ．
①若 ，则 ，此时 在 上单调递增．
又 ，所以 有且仅有1个零点，即 有且仅有1个零点．
②若 ， ，则当 时， ，当 时， ，当 时，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，故 在 上没有零点，
下证 ．
当 时， ．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
从而 在 上有唯一零点，
所以 在 上有唯一零点，在 上没有零点，
综上所述，当 时， 有且仅有1个零点，故 有且仅有1个零点．
4．（2023届湖南省湘潭市部分学校高三上学期期末联考）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)已知函数 ( 是自然对数的底数)，若 ，曲线 与曲线 都有唯一的
公共点，求实数m的取值范围．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，令 ，得 或 ；令 ，得 ；
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增；
综上：当 时， 的单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 .
（2）因为 ，所以 ，
因为 ，曲线 与曲线 都有唯一的公共点，
所以 ，方程 有唯一解，即方程 有唯一解，
令 ，则 ，
对于 ，
当 ，即 时， ，故函数 在 上单调递增，
易知，当 趋向于0时， 趋向于无穷小， 趋向于0，故 趋向于无穷小；
当 趋向于无穷大时， 趋向于无穷大， 趋向于无穷大，故 趋向于无穷
大；
所以 的值域为 ，
所以 ， 与 有且只有一个交点，满足题意；
当 ，即 时， 有两个实根 ，且 ， ，
若 ，则当 或 时， ，当 时， ，
所以 先增后减再增，存在一个极大值和一个极小值，
要使 有唯一实数根，则 大于 的极大值或小于 的极小值，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】记 为极大值点，则 ， 恒成立，
又 ，即 ，则 的极大值为
，
令 ，则 ，故 在 上单调递增，
故 ，则 ，故 ，
记 为极小值点，则 ， 恒成立，
又 ，即 ，则 的极小值为 ，
令 ，则 ，
故 在 上单调递减，
因为 ，即 ，取 ，
则 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，故 ，
所以 ，即 ，
所以 趋向于无穷小，则 趋向于无穷小，
所以不存在 ，使得 恒成立；
若 ，记 为极大值点，则 ，同理可得 恒成立，
因为 在 上单调递减，所以 ，则 ，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】记 为极小值点，则 ，同理可得不存在 ，使得 恒成立；
综上：要使 ，曲线 与曲线 都有唯一的公共点， ，即 的取值范围为
.
5．（2023届北京市第五中学高三下学期3月检测）设函数 ，
(1)当 时，求函数 的单调增区间；
(2)若函数 在区间 上为减函数，求 的取值范围；
(3)若函数在区间 内存在两个极值点 ， ，且 ，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，则 ，由 解得：
或 ，
所以函数 的单调增区间是 ， .
（2）函数 ，则 ，因函数 在区间 上为减函数，则 ，
成立，
即 ， ，显然 在 上单调递减，即 ，
，则 ，
所以a的取值范围是 .
（3）由(2)知， ，因函数 在区间 内存在两个极值点 ， ，则 在区
间 内有两个不等根 ， ，
即有 ，解得 ，且有 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】不妨令 ，则 ，当 或 时， ，当 时，
，
则 在 处取得极大值 ，在 取得极小值 ，显然， ，
由 两边平方得 ，
而 ，即 ，
整理得： ，
把 代入上述不等式并整理得： ，解得 ，
综上得 ，
所以实数a的取值范围是 .
6．已知函数 （ ）有极值，且导函数 的极值点是 的零点．
(1)求 关于 的函数关系式，并写出定义域；
(2)求证： ；
(3)若 这两个函数的所有极值之和不小于 ，求 的取值范围．
【解析】（1）因为
所以 ，令 ，所以
令 ，解得
由于当 时， ，所以 在 时为单调递增；
当 时， ，所以 在 时为单调递减；
所以 的极小值点为 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由于导函数 的极值点是原函数 的零点，
所以 ，即 ，
所以 ；
因为 有极值，所以 有两个不等的实根，
所以 ，即 ，解得 ，
所以
（2）证明：由（1）知，
设函数 ，则 ；
当 时， ，所以 在 上单调递增；
又因为 ，所以 ，故 ；
即 ，
因此 .
（3）设 的极值点是 ，
由（1）知， ，所以
所以
即
整理得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以函数 的两个极值之和为 ， 的极值为 ，
设 这两个函数的所有极值之和为 ，
所以 ，而 ；
即 在 上单调递减，而 ，
所以由 ，即得 ；
因此 的取值范围为 .
7．已知 .
(1)当 时，求函数 的单调减区间；
(2)当 时，曲线 在相异的两点 点处的切线分别为 和 和 的交点位于直线 上，证
明： 两点的横坐标之和小于4.
【解析】（1） 的定义域为R，
，
， 的解集为 ，
故函数 的单调减区间为 .
（2）证明：当 时， ， ，
设 ， ，
点 处切线方程为 ，
点 处切线方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，解得 ，
故两切线交点的横坐标为 ，由题意
，结合 ，
，
解得 .
故A，B两点的横坐标之和小于4.
8．（2024届江西省稳派上进教育高三上学期摸底考试）已知函数 ，
， ， 分别为 ， 的导函数，且对任意的 ，存在 ，
使 ．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明： ，有 ．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
所以 在区间 上单调递增，
故 ．
因为 ，
所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 ，
又 ，所以 ，
故 在区间 上单调递增，
所以 ．
又对任意的 ，存在 ，使 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
故实数a的取值范围为 ．
（2）令 ， ，则 ．
令 ，解得 ，则当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 （当且仅当 时，等号成立）．
令 ，则 ．
令 ，解得 ，则当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 （当且仅当 时，等号成立），
故 （当且仅当 时，等号成立）．
又 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，即 ．
9.已知函数 , , ,
（1）若函数 在区间 上不单调,求 的取值范围；
（2）求 的最大值；
（3）若 对任意 恒成立,求 的取值范围．
【解析】（1）由题意可知,函数 在 上有极值点,
,则 ,
所以,函数 在 上递减,在 上递增,
所以, ,可得 ；
（2）若 时,对任意的 , , 在 上递减, , ,
,
所以, ,则 ；
若 ,对任意的 , , 在 上递增,
, , ,
所以, ,则 ；
若 ,由 ,可得 或 ；由 ,可得 .
则 在 上递增,在 上递减,在 上递增；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】, , , ．
因为 ,所以,函数 关于 对称,
,
则 ,
若 , , ,
则 ；
若 , , ,
则 ,则 ；
若 , , ,
则 ,则 .
综上 ；
（3）先考虑必要性,若 对任意 恒成立,
首先必须满足 .
①若 , ,可得 ,不合乎题意；
②若 , ,解得 ,此时 ；
③若 时, ,解得 ,此时 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上 ,此时函数 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调
递增.
若 ,由（2）可知, ,则 ,
由 ,则 ,所以
若 ,则 , ,
由 ,则 ,
则 ,
令 ,则 ,
对于函数 , 对任意的 恒成立,
所以,函数 在 上单调递增,所以, ,
对于函数 , 对任意的 恒成立,
所以,函数 在区间 上单调递减,则 ,
因此, .
综上： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10.已知函数 在 处的切线与 轴平行．
（1）求 的值和函数 的单调区间；
（2）若函数 的图象与抛物线 恰有三个不同交点,求 的取值范围．
【解析】（1）由已知得 ,
∵在 处的切线与 轴平行
∴ ,解得 ．
这时
由 ,解得 或 ；
由 ,解 ．
∴ 的单调增区间为 和 ；单调减区间为 ．
（2）令 ,
则原题意等价于 图象与 轴有三个交点．
∵ ,
∴由 ,解得 或 ；
由 ,解得 ．
∴ 在 时取得极大值 ； 在 时取得极小值 ．
依题意得 ,解得 ．
故 的取值范围为 ．
a
f(x)=x(x−a) 2,g(x)= x2,x∈(−∞,0)且a<0.
2
11.已知函数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】y=f(x)与y=g(x)
（1）（i）求函数 的图象的交点A的坐标；
（ii）设函数 的图象在交点A处的切线分别为 是否存在这样的实数a,
l ⊥l
使得 1 2？若存在,请求出a的值和相应的点A坐标；若不存在,请说明理由.
F(a)
y=f(x)在[−1,0) a
（2）记 上最小值为F（a）,求 的最小值.
a a
(x,y),由x(x−a) 2 = x2,得x2 −(2a+ )x+a2 =0
2 2
【解析】（I）（i）设点A的坐标为
a a a3
x = ,x =2a,且当x = 时,y = ;当x =2a时,y =2a3.
1 2 2 1 2 1 8 2 2
得
a a3
( , ),(2a,2a3 )
y=f (x) y=g(x) 2 8
故函数 与 图象的交点A坐标为
g'(x)=ax,f '(x)=3x2 −4ax+a2, l ⊥l .
（ii） 若存在a,使得 1 2
a a3 a a
( , )时,g'( )⋅f '( )=−1,
2 8 2 2
则当点A坐标为
a a a a2 a4
g'( )⋅f '( )=a⋅ ⋅(3× −2a2 +a2 )=−
2 2 2 4 8
又 ,
a4 4√8 4√2
=1,又a<0,故a=− 4√8 (− ,− )
8 2 2
则 ,此时点A坐标为
(2a,2a3 )时,g'(2a)⋅f'(2a)=−1,
当点A坐标为
g'(2a)⋅f '(2a)=a⋅(2a)⋅(3×4a2 −8a2 +a2 )=10a4
又 ,
则
10a4 =−1
,无解.
4√8 4√2
a=− 4√8,使得l ⊥l ,此时A(− ,− )
1 2 2 2
综上,存在
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】a a 4
f '(x)=0得x = ,x =a.当x= 时,x3 −2ax2 +a2x= a3,
1 3 2 3 27
（2）令 整理得
4 a 4 4
(x− a)(x− ) 2 =0,即直线y= a3 与y=f(x) x= a.
3 3 27 3
图象另一交点横坐标
a
<−1,即a<−3时,F(a)=f(x) =f(−1)=−(a+1) 2;
3 min
结合图象可得：（1）若
4 a 3 a 4
<−1≤ ,即−3≤a<− 时,F(a)=f(x) =f( )= a3;
3 3 4 min 3 27
（2）若
4 3
a≥−1,即− ≤a<0时,F(a)=f(x) =f(−1)=−(a+1) 2.
3 4 min
（3）若
3
{
2
F(a)=¿ −(a+1) ,a∈(−∞,−3)∪[− ,0)¿¿¿¿
4
综上
F(a)
{
1 3
=¿ −a− −2,a∈(−∞,−3)∪[− ,0)¿¿¿¿
a a 4
所以
3 F(a) 1 1 1
a∈(−∞,−3)∪[− ,0)时, =−a− −2=(−a)+(− )−2≥ ,
4 a a a 12
当
3
a=−
4
且当 时取到“=”；
3
F(a) 4 F(a) 1
a∈[−3,− ) = a2 > .
4 a 27 a 12
当 时,函数 单调递减,此时
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】F(a) 1
( ) = .
a min 12
综上,
12.已知函数 在 时有极小值.
(1)当 时,求 在 处的切线方程；
(2)求 在 上的最小值.
【解析】 (1)因为函数 在 时有极小值,
故 , ,解得： .
当 时, ,故 , ,
则 ,
则 在 处的切线方程为： ,整理得： .
故 在 处的切线方程为 .
(2)由（1）得 ,且 ,
故 ,
令 ,解得 ,
因为 ,所以 , , .
又函数 在 时有极小值,当 时, 或 , ,函数 单调递减,
当 时, ,函数 单调递增,
故函数 在 有极大值,与题意不符,故 ,即 ,即 ,所以,当 或 ,
,函数 单调递减,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时, ,函数 单调递增,
故函数 在 有极大值.
当 ,即 时,函数 在区间 单调递减,在区间 单调递增,故在区间 上得最小
值为 ,
当 ,即 时,函数 在区间 和 单调递减,在区间 单调递增,且
, ,
.
故当 时, , ,
当 时, , .
综上所述：当 时,函数 在 上的最小值为 ,
当 时,函数 在 上的最小值为 .
13.已知函数 ,其中 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)设函数 在区间 上的最大值为 ,证明： ．
【解析】 (1)因为 , ,
所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①若 ,当 时, ；当 或 时, ．
即 在 上单调递减,在 和 上单调递增；
②若 ,恒有 ．
即 在定义域 上单调递增；
③若 ,当 时, ；当 或 时, ．
即 在 上单调递减,在 和 上单调递增；
综上,当 时,函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , ；
f x ,
a0
当 时,函数 的单调递增区间为 ；
f x a,2a ,a 2a,
a0
当 时,函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , ．
a0,2
a2 2a
(2)由题意,有 ,∴ ．
由（1）知
1a2 f x   a2,2a 
①当 时, 在 上单调递增．
ga f 2a4a3 32
∴ ．
②当0a1时, f x 在   a2,a  上单调递减,在 a,2a 上单调递增．
f 2a4a3 0 f 2a4
0a1
由 , ,∴ ；
f  a2 2a63a512a4 a4 2a23a12 
又 ．
f
 a2
0
∵0a1,∴ 2a23a120．∴ ．
ga f 2a4a3 432
∴ ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】ga32
综上,有 ．
f xx3ax2a2x1
a0
14.已知函数 ,其中 .
y f x  a, f a
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
f x0 ,t
t a
（2）若存在实数 ,使得不等式 的解集为 ,求 的取值范围.
f xx3ax2a2x1 fx3x22axa2
【解析】由 得 .
f�(a) =0
（1）所以 .
f aa31
又因为 .
ya31
故所求的切线方程为 .
fx3x22axa2 3xaxa
（2）因为
a
令 fx0,得 x 1  3 ,x 2 a,
fx f x x
此时 , 随 的变化如下：
 a a  a 
x ,a a a,    ,
 3 3  3 
fx  0  0 
f x  极大值  极小值 
f x0 ,t
t
由题意,要想存在实数 ,使得不等式 的解集为
f a0 f a0
 
  a   a
只需

f  0或

f  0
  3   3
 a 5
f   a310
因为  3 27 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】f aa310
所以
1,0
a
所以 的取值范围为 .
f xx33axaaR
15.已知函数 ．
f x
(1)讨论函数 的单调性；
f x 0,3 ga ga
(2)若函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ,求 的最小值．
f xx33axaaR f 'x3x23a3  x2a 
【解析】 (1)因为 ,所以 ．
f 'x0 f x
a0 R
①当 时, 恒成立, 在 上单调递增；
     
②当a0时, x , a ∪ a, 时, f 'x0 ； x  a, a 时, f 'x0 ；
     
f x , a a,  a, a
故 在 和 上单调递增,在 上单调递减．
(2)由（1）可知：
f x 0,3 ga f 3 f 0279a
a0
①当 时, 在 上单调递增, ；
a 3 a9 f x 0,3 ga f 0 f a9a27
②当 ,即 时, 在 上单调递减, ；
 
③当0 a 3,即0a9时, f x 在   0, a 上单调递减,在 a,3 上单调递增,
f x  f  a  2a aa f 0a f 3278a
于是 min ,又 , ．
ga279a2a a ga2a a
故当0<a<3时, ；当 3a9 时, ；
279a,a0

279a2a a,0a3
g(a)
综上可得： ,
2a a,3a9

9a27,a9
当0<a<3时, ga279a2a a ；令 x a ,则 0x 3 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】h(x)279x22x3 h(x)6x218x6x(x3)0
设 , ,
h(x) (0, 3) x a g(a) (0,3)
所以 在 上递减,又 递增,所以 在 上递增,
g(a) (,3) (3,)
所以 在 上递减,在 上递增,
g(a) g36 3
所以故 的最小值为 ．
1 1 1
16.已知函数 f(x) x3 ax2(aR)在0,1上的最小值为 ．
3 2 6
（1）求a的值；
g(x) f(x)2xb(bR)
（2）讨论函数 的零点个数．
1 1
【解析】（1）由 f(x) 3 x3 2 ax2 , f(x) x2ax x(xa) ,
a�0 f(x) [0,) f(x) [0,1]
当 时, 在 上恒大于等于0,所以 在 上单调递增,
f(x)  f(0)0
min
,不合题意；
当0a1时,则x[0,a]时, f(x)0, f(x)单调递减；x[a,1]时, f(x)0, f(x)单调递增,
1 1 1 1 1
所以 f(x)  f(a) a3 a3  a3 , a3  ,
min 3 2 6 6 6
所以a1,不满足0a1；
当a1时,在[0,1]上, f(x)�0且不恒为0,所以 f(x)在[0,1]上单调递减,
1 1 1
f(x)  f(1)   ,适合题意；
min 3 2 6
当a1时,在[0,1]上, f(x)0,所以 f(x)在[0,1]上单调递减,
1 1 1
f(x)  f(1)  a ,所以 ,不满足 ；
min 3 2 6 a1 a1
综上,a1．
1 1 1 1
（2）由（1）g(x) x3 x22xb,所以b x3 x22x,
3 2 3 2
1 1
令h(x)
3
x3
2
x22x,则 h(x)x2x2(x2)(x1) ,
h(2)0,h(1)0 x1 h(x)0
所以 ,且当 时, ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当1 x2时,h(x)0；当x2时,h(x)0,
1 1 7 1 1 10
所以hx h1  2 ,hx h2 8 44 ,
极小 3 2 6 极大 3 2 3
如图：
7 10
当b 或b 时,函数 有1个零点；
6 3 g(x)
7 10
当
b=-
6
或
b
3
时,函数g(x)有2个零点；
7 10
当 b 时,函数 有3个零点．
6 3 g(x)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】