文档内容
2021-2022学年河南省平顶山市叶县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）已知 是锐角，cos ＝ ，则 等于（ ）
α α α
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．（3分）如果一个一元二次方程的根是x ＝x ＝1，那么这个方程是（ ）
1 2
A．x2＝1 B．x2+1＝0 C．（x﹣1）2＝0 D．（x+1）2＝0
3．（3分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概
率是0.616；
②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，
可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是
0.620．
其中合理的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①③
4．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左视图、俯视图都相同
的是（ ）
A． B．
第1页（共32页）C． D．
5．（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯
曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这
种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移 B．图形的旋转
C．图形的轴对称 D．图形的相似
6．（3分）在反比例函数y＝ （k为常数）的图象上有三点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，
1 1 2 2 3
y ），若x ＜0＜x ＜x ，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
3 1 2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1
7．（3分）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等
b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等
d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（ ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
8．（3分）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向
左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3
C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1
第2页（共32页）9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的
正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝ （x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的
值为（ ）
A．1 B． C． D．2
10．（3分）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结
论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③9a﹣3b+c＝﹣6；④关于x的一元二次方程
ax2+bx+c＝﹣4的根为﹣5和﹣1；⑤若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n，其中
正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则tanB的值是 ．
12．（3分）在△ABC中，AB＝9，AC＝6．点M在边AB上，且AM＝3，点N在AC边上．当AN
＝ 时，△AMN与原三角形相似．
第3页（共32页）13．（3分）有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20m，拱顶距水面4m，在如图的直
角坐标系中，该抛物线的解析式为 ．
14．（3分）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标
轴平行，反比例函数y＝ 的图象与大正方形的一边交于点A（2，4），且经过小正方形的
顶点B．则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），
对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（14分）计算或解方程：
（1） （2cos45°﹣sin60°）+ ；
第4页（共32页）（2）sin60°•cos60°﹣tan30°•tan60°+sin245°+cos245°；
（3）（2x﹣5）2＝9（x+4）2；
（4）2x2﹣5x﹣1＝0（用配方法解，并写上必要的文字说明）．
17．（8分）近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以
“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗
词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为A，B，C，
D）．为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机
抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结
果绘制成统计图和统计表（均不完整）．
“中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷
请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后“[ㅤㅤ]”内打
“√”，非常感谢您的合作．
A．“诵读中国”经典诵读[ㅤㅤ]
B．“诗教中国”诗词讲解[ㅤㅤ]
C．“笔墨中国”汉字书写[ㅤㅤ]
D．“印记中国”印章篆刻[ㅤㅤ]
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的总人数为 人，统计表中C的百分比m为 ；
（2）请补全统计图；
（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否
可行？若可行，求出表示C类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由．
（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”
“冬”四组题目（依次记为C，X，Q，D），由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据
题目要求进行诗词讲解，请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一
组的概率．
18．（7分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交
第5页（共32页）AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
19．（9分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对
岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2
米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝
1：3（点E、C、B在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．
20．（9分）某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又
不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一
次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利
润最大？最大利润是多少？
第6页（共32页）21．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，
EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
22．（10分）如图，已知一次函数y＝k x+b与反比例函数y＝ 的图象交于第一象限内的点
1
A（1，6）和B（6，m），与x轴交于点C．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）①观察图象，直接写出不等式k x+b≥ 的解集；②请连接OA、OB，并计算△AOB
1
的面积；
（3）是否存在坐标平面内的点P，使得由点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形？若存
在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ x2+bx+c经过点A（0，2）和B（1，
第7页（共32页））．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）为图象
G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．
第8页（共32页）2021-2022学年河南省平顶山市叶县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）已知 是锐角，cos ＝ ，则 等于（ ）
α α α
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据特殊角的三角函数值直接求解即可．
【解答】解：∵cos30°＝ ，
∴ ＝30°．
故α选：A．
【点评】解答此题要熟记以下三角函数值：
sin30°＝ ，sin45°＝ ，sin60°＝ ；
cos30°＝ ，cos45°＝ ，cos60°＝ ；
tan30°＝ ，tan45°＝1，tan60°＝ ；
cot30°＝ ，cot45°＝1，cot60°＝ ．
2．（3分）如果一个一元二次方程的根是x ＝x ＝1，那么这个方程是（ ）
1 2
A．x2＝1 B．x2+1＝0 C．（x﹣1）2＝0 D．（x+1）2＝0
【分析】分别求出每个方程的根即可得出答案．
【解答】解：A．x2＝1的根为x ＝1，x ＝﹣1；
1 2
B．x2+1＝0无实数根；
C．（x﹣1）2＝0的根为x ＝x ＝1；
1 2
D．x+1）2＝0的根为x ＝x ＝﹣1；
1 2
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解
题的关键．
第9页（共32页）3．（3分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概
率是0.616；
②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，
可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是
0.620．
其中合理的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①③
【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉
尖向上”的频率是：308÷500＝0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误，
随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，
可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确，
若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率可能是0.620，
但不一定是0.620，故③错误，
故选：B．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合
的思想解答．
4．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左视图、俯视图都相同
的是（ ）
A． B．
第10页（共32页）C． D．
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视
图是左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：A．主视图、左视图、俯视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正
方形，故本选项符合题意；
B主视图与左视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；而俯视图的底
层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意；
C．主视图是“L”型，俯视图是一行三个小正方形，而左视图是一列两个小正方形，故本
选项不合题意．
D．主视图为底层两个小正方形，上层的右边是一个小正方形；左视图为底层是两个小正
方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正
方形，故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．
5．（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯
曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这
种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移 B．图形的旋转
C．图形的轴对称 D．图形的相似
【分析】根据图形的变换和相似三角形的应用等知识直接回答即可．
【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出
金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似，
故选：D．
【点评】考查了相似三角形的应用、图形的变换等知识，解题的关键是了解物高与影长成
正比，难度不大．
第11页（共32页）6．（3分）在反比例函数y＝ （k为常数）的图象上有三点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，
1 1 2 2 3
y ），若x ＜0＜x ＜x ，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
3 1 2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1
【分析】根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，然后利用x ＜0
1
＜x ＜x 得到y ＜0，0＜y ＜y ．
2 3 1 3 2
【解答】解：∵k2+1＞0，
∴反比例函数图象在第一、三象限，
∵x ＜0＜x ＜x ，
1 2 3
∴y ＜0，0＜y ＜y ，
1 3 2
∴y ＜y ＜y ．
1 3 2
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题
的关键．
7．（3分）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等
b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等
d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（ ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
【分析】①由条件a可得到四边形是平行四边形，添加c得到平行四边形是菱形，再添加d
得到菱形是正方形，①正确；
②由条件b得到四边形是平行四边形，添加d平行四边形是矩形，再添加c矩形是正方形，
②正确；
③由a和b都可得到四边形是平行四边形，再添加c得到平行四边形是菱形，不能得到四
边形是正方形，③不正确．
第12页（共32页）【解答】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相
等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；
②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平
行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；
③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等
的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到
四边形是正方形，故③不正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键．
8．（3分）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向
左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3
C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1
【分析】此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度，再向右移3个单位长度”
后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进
而得出答案．
【解答】解：根据题意知，将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向下平移2个单位长度，再向右平移3
个单位长度后所得抛物线解析式为：y＝3（x﹣5）2﹣1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的
正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝ （x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的
值为（ ）
第13页（共32页）A．1 B． C． D．2
【分析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本
题得以解决．
【解答】解：∵等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝
90°，CA⊥x轴，AB＝1，
∴∠BAC＝∠BAO＝45°，
∴OA＝OB＝ ，AC＝ ，
∴点C的坐标为（ ， ），
∵点C在函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴k＝ ＝1，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是
明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（3分）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结
论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③9a﹣3b+c＝﹣6；④关于x的一元二次方程
ax2+bx+c＝﹣4的根为﹣5和﹣1；⑤若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n，其中
正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的顶点坐标可对
②③进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线y＝ax2+bx+c上的点（﹣1，﹣4）的对称
点为（﹣5，﹣4），则可对④进行判断；由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，则
根据二次函数的性质可对⑤进行判断．
第14页（共32页）【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，所以①正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），开口向上，
∴当x＝﹣3时，函数有最小值，
∴ax2+bx+c≥﹣6，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），
∴9a﹣3b+c＝﹣6，所以③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∴点（﹣1，﹣4）关于直线x＝﹣3的对称点（﹣5，﹣4）在抛物线上，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，所以④正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣3，
而点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，
∵﹣3﹣（﹣5）＞﹣2﹣（﹣3），
∴m＜n，所以⑤错误．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次
项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线
向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab
＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物
线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣
4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2
﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则tanB的值是 ．
【分析】首先利用勾股定理计算出BC，再根据正切定义进行计算．
第15页（共32页）【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝1，AB＝2，
∴BC＝ ＝ ，
∴tanB＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了勾股定理，以及锐角三角函数定义，关键是掌握正切：角A的对边
a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
12．（3分）在△ABC中，AB＝9，AC＝6．点M在边AB上，且AM＝3，点N在AC边上．当AN
＝ 2 或 4. 5 时，△AMN与原三角形相似．
【分析】分别从△AMN∽△ABC或△AMN∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比
例，即可求得答案．
【解答】解：由题意可知，AB＝9，AC＝6，AM＝3，
①若△AMN∽△ABC，
则 ＝ ，
即 ＝ ，
解得：AN＝2；
②若△AMN∽△ACB，
则 ＝ ，
即 ＝ ，
解得：AN＝4.5；
故AN＝2或4.5．
故答案为：2或4.5．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是
第16页（共32页）解此题的关键．
13．（3分）有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20m，拱顶距水面4m，在如图的直
角坐标系中，该抛物线的解析式为 y ＝﹣ 0.0 4 （ x ﹣ 1 0 ） 2 + 4 ．
【分析】设所求抛物线的解析式为：y＝a（x﹣h）2+k，由已知条件易知h和k的值，再把点C
的坐标代入求出a的值即可．
【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝a（x﹣h）2+k，
∵由AB＝20，AB到拱桥顶C的距离为4m，
则C（10，4），A（0，0），B（20，0）
把A，B，C的坐标分别代入得a＝﹣0.04，h＝10，k＝4
抛物线的解析式为y＝﹣0.04（x﹣10）2+4．
故答案为：y＝﹣0.04（x﹣10）2+4．
【点评】本题考查了二次函数的应用，同时也考查了利用图象上的点解决实际问题，正确
理解题意是解决问题的关键．
14．（3分）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标
轴平行，反比例函数y＝ 的图象与大正方形的一边交于点A（2，4），且经过小正方形的
顶点B．则图中阴影部分的面积为 3 2 ．
【分析】根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式，根据反比例函数系数k的
几何意义求出小正方形的面积为4m2＝24，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到
大正方形的面积为4×42＝64，根据图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的
第17页（共32页）面积即可求出结果．
【解答】解：∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点A（2，4），
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝ ，
∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，
∴设B点的坐标为（m，m），
∵反比例函数y＝ 的图象经过B点，
∴m＝ ，
∴m2＝8，
∴小正方形的面积为4m2＝32，
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A（2，4），
∴大正方形在第一象限的顶点坐标为（4，4），
∴大正方形的面积为4×42＝64，
∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝64﹣32＝32．
故答案为：32．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意
义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．
15．（3分）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），
对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 ①②③ ．
第18页（共32页）【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可
得到结论．
【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，
则四边形MNPQ是平行四边形，
故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；
②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故
正确；
③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；
④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，
则△AMQ≌△DQP，
∴AM＝QD，AQ＝PD，
∵PD＝BM，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定
理，熟记各定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（14分）计算或解方程：
（1） （2cos45°﹣sin60°）+ ；
（2）sin60°•cos60°﹣tan30°•tan60°+sin245°+cos245°；
（3）（2x﹣5）2＝9（x+4）2；
第19页（共32页）（4）2x2﹣5x﹣1＝0（用配方法解，并写上必要的文字说明）．
【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算即可；
（2）根据sin2 +cos2 ＝1，再把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答；
（3）利用直接α开平方α法进行计算即可解答；
（4）利用配方法进行计算即可解答．
【解答】解：（1） （2cos45°﹣sin60°）+
＝ ×（2× ﹣ ）+
＝2﹣ +
＝2；
（2）sin60°•cos60°﹣tan30°•tan60°+sin245°+cos245°
＝ × ﹣ × +1
＝ ﹣1+1
＝ ；
（3）（2x﹣5）2＝9（x+4）2，
2x﹣5＝±3（x+4），
2x﹣5＝3x+12或2x﹣5＝﹣3x﹣12，
∴x ＝﹣17，x ＝﹣ ，
1 2
（4）2x2﹣5x﹣1＝0，
x2﹣ x﹣ ＝0（二次项系数化为1），
x2﹣ x＝ ，
x2﹣ x+（ ）2＝ +（ ）2（同时加上一次项系数一半的平方），
（x﹣ ）2＝ ，
第20页（共32页）x﹣ ＝± ，
∴x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【点评】本题考查了同角三角函数的关系，实数的运算，解一元二次方程﹣配方法，公式法，
因式分解法，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值，以及解一元二次方程
的方法是解题的关键．
17．（8分）近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以
“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗
词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为A，B，C，
D）．为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机
抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结
果绘制成统计图和统计表（均不完整）．
“中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷
请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后“[ㅤㅤ]”内打
“√”，非常感谢您的合作．
A．“诵读中国”经典诵读[ㅤㅤ]
B．“诗教中国”诗词讲解[ㅤㅤ]
C．“笔墨中国”汉字书写[ㅤㅤ]
D．“印记中国”印章篆刻[ㅤㅤ]
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的总人数为 12 0 人，统计表中C的百分比m为 50% ；
（2）请补全统计图；
（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否
可行？若可行，求出表示C类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由．
（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”
第21页（共32页）“冬”四组题目（依次记为C，X，Q，D），由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据
题目要求进行诗词讲解，请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一
组的概率．
【分析】（1）由D类的人数除以所占百分比得出参与本次问卷调查的总人数，即可解决问
题；
（2）求出B类的人数，补全统计图即可；
（3）由表中数据即可得出结论；
（4）画树状图，共有16种等可能的结果，甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的结果有4
种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）参与本次问卷调查的总人数为：24÷20%＝120（人），
则m＝60÷120×100%＝50%，
故答案为：120，50%；
（2）B类的人数为：120×30%＝36（人），
补全统计图如下：
（3）不可行，理由如下：
由统计表可知，70%+30%+50%+20%＞1，
即有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比之和大于1，
所以不可行；
（4）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的结果有4种，
∴甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率为 ＝ ．
第22页（共32页）【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解
题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情
况数之比．也考查了条形统计图和统计表．
18．（7分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交
AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，再
由∠B＝∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE
的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM＝ ＝13，AD＝12，
∵F是AM的中点，
∴AF＝ AM＝6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴ ，
第23页（共32页）即 ，
∴AE＝16.9，
∴DE＝AE﹣AD＝4.9．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形
的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
19．（9分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对
岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2
米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝
1：3（点E、C、B在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．
【分析】（1）作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH；
（2）过点D作DG⊥AB于点G，设BC＝a米，用a表示出AG、DG，根据tan∠ADG＝ 列
出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥CE于点H，
由题意知CD＝2 米，
∵斜坡CF的坡比为i＝1：3，
第24页（共32页）∴ ，
设DH＝x米，CH＝3x米，
∵DH2+CH2＝DC2，
∴ ，
∴x＝2，
∴DH＝2（米），CH＝6（米），
答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；
（2）过点D作DG⊥AB于点G，设BC＝a米，
∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°，
∴四边形DHBG为矩形，
∴DH＝BG＝2米，DG＝BH＝（a+6）米，
∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝a（米），
∴AG＝（a﹣2）米，
∵∠ADG＝30°，
∴ ，
∴ ，
∴a＝6+4 ，
∴AB＝（6+4 ）（米）．
答：大树AB的高度是（6+4 ）米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、
仰角俯角的概念是解题的关键．
20．（9分）某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又
不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一
次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利
第25页（共32页）润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据“每件利润×销售量＝总利润”列出一元二次方程，解之可得；
（3）根据以上相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数性质求解可得．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知： ，
解得 ，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；
（2）根据题意，得：（x﹣20）（﹣2x+120）＝600，
整理，得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x＝30或x＝50（不合题意，舍去），
答：每件商品的销售价应定为30元；
（3）∵y＝﹣2x+120，
∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）
＝﹣2x2+160x﹣2400
＝﹣2（x﹣40）2+800，
∵x≤38
∴当x＝38时，w最大 ＝792，
∴售价定为38元/件时，每天最大利润w＝792元．
【点评】本题主要考查一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数
法求函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
21．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，
第26页（共32页）EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【分析】（1）根据菱形的性质得出OB＝OD，再由点E是AD的中点，所以，AE＝DE，进而
判断出OE是三角形ABD的中位线，得到AE＝OE＝ AD，推出OE∥FG，求得四边形
OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE＝ AD＝5；由（1）知，四
边形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF＝ ＝3，于是得
到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
第27页（共32页）∴OE＝AE＝ AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝ ＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确
的识别图形是解题的关键．
22．（10分）如图，已知一次函数y＝k x+b与反比例函数y＝ 的图象交于第一象限内的点
1
A（1，6）和B（6，m），与x轴交于点C．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）①观察图象，直接写出不等式k x+b≥ 的解集；②请连接OA、OB，并计算△AOB
1
的面积；
（3）是否存在坐标平面内的点P，使得由点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形？若存
在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式；
（2）①利用函数图象结合其交点得出不等式k x+b≥ 的解集；
1
②利用三角形面积的和差求解，即可得出结论；
（3）利用平行四边形的性质结合当AP∥OC且AP＝OC时，当AP′∥OC且AP′＝OC
时，当AO∥P″C，且AO＝P″C时，分别得出答案．
第28页（共32页）【解答】解：（1）∵点A（1，6）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴6＝ ，
解得：k ＝6，
2
∴反比例函数的表达式是：y＝ ；
∵B（6，m）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴m＝ ＝1，
∴B（6，1），
将点A（1，6），B（6，1）代入y＝k x+b，可得：
1
，
解得： ，
∴一次函数表达式是：y＝﹣x+7；
（2）①∵点A（1，6），B（6，1），
∴不等式k x+b≥ 的解集是：x＜0或1≤x≤6；
1
②
记直线AB交y轴于D，
由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+7，
则D（0，7），C（7，0），
第29页（共32页）∴S△AOB ＝S△AOC ﹣S△BOC ）＝ ×6×7﹣ ×7×1＝ ；
（3）如图所示：当AP∥OC且AP＝OC时，
则AP＝OC＝7，
∵A（1，6），
∴P点坐标为：（8，6）；
当AP′∥OC且AP′＝OC时，
则AP′＝OC＝7，
∵A（1，6），
∴P′点坐标为：（﹣6，6）；
当AO∥P″C，且AO＝P″C时，
则点A与P″到x轴距离相等，且P″点横坐标为7﹣1＝6，
∴P″点坐标为：（6，﹣6）；
综上所述：点P的坐标为：（8，6），（﹣6，6），（6，﹣6）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边
形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ x2+bx+c经过点A（0，2）和B（1，
）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）为图象
第30页（共32页）G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．
【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝ x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组
求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y＝ （x﹣1）2+ ，则抛物线的对称轴为直线x＝1，利用点C与点A
关于直线x＝1对称得到C点坐标为（2，2）；
（3）画出抛物线，如图，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝ x+1，再利用平移
的性质得到图象G向下平移1个单位时，点A在直线BC上；图象G向下平移3个单位时，
点D在直线BC上，由于图象G向下平移（t t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，所
以1＜t≤3
【解答】解：（1）把点A（0，2）和B（1， ）代入y＝ x2+bx+c得 ，解得 ，
所以抛物线解析式为y＝ x2﹣x+2；
（2）∵y＝ x2﹣x+2＝ （x﹣1）2+ ，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，
∴C点坐标为（2，2）；
（3）如图，设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（1， ），C（2，2）代入得 ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝ x+1，
第31页（共32页）当x＝0时，y＝ x+1＝1，
∴点图象G向下平移1个单位时，点A在直线BC上，
当x＝4时，y＝ x+1＝3，
∵x＝4时，y＝ x2﹣x+2＝6，
∴点图象G向下平移3个单位时，点D在直线BC上，
∴当1＜t≤3时，图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，
所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移
后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
也考查了待定系数法求函数解析式．
第32页（共32页）
