文档内容
2021-2022学年河南省平顶山市汝州市七年级（上）期末数学试
卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的每条棱长都相等
B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形
C．长方体的截面形状一定是长方形
D．经过一点可以画无数条直线
2．（3分）半径为6的圆中，一个扇形的圆心角为60°，则该扇形的面积为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．
3．（3分π）为了描述某支股票π的价格在一段时间内的π涨跌情况，以下最π合适的统计图是
（ ）
A．扇形统计图 B．条形统计图
C．折线统计图 D．频数分布直方图
4．（3分）下列结论中正确的是（ ）
A．单项式 的系数是 ，次数是4
B．单项式m的次数是1，没有系数
C．多项式2x2+xy2+3是二次三项式
D．在 ，2x+y， a2b， ， ，0中，整式有4个
5．（3分）某服装进货价为60元/件，商店提高进价的50%进行标价，为回馈新、老顾客商店元
旦期间进行大促销活动，将此服装打折销售，但销售后商店仍可获利20%，则该服装应打
（ ）折销售．
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（3分）能与﹣（ ）相加得0的是（ ）
A． B． C． D．
第1页（共25页）7．（3分）下列说法中正确的有（ ）
①过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成8个三角形，则这个多边形的边
数是11
②在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是75°
③线段AB的长度就是A，B两点间的距离
④若点P使AP＝PB，则P是AB的中点
⑤把一条弯曲的公路改直，可以缩短行程．这样做的依据是：两点之间线段最短
⑥1°＝3600′
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．（3分）2020年以来，我国部分地区出现了新冠疫情．一时间，疫情就是命令，防控就是责任，
一方有难八方支援．某公司在疫情期间为疫区生产A、B、C、D四种型号的帐篷共20000顶，
有关信息见如下统计图：
下列判断正确的是（ ）
A．单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍
B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的1.5倍
C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等
D．每天单独生产C型帐篷的数量最多
9．（3分）如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a ，
1
a ，a ，a ，a ，则下列结论正确的是（ ）
2 3 4 5
A．a ＞0 B．|a |＝|a |
3 1 4
C．a +a +a +a +a ＝0 D．a +a ＜0
1 2 3 4 5 2 5
10．（3分）设a，b，c为互不相等的实数，且b＝ a+ c，则下列结论正确的是（ ）
第2页（共25页）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）5G的到来不仅仅是上网速度的提升，它与医疗、交通、家居等领域的融合，将推动
远程医疗、自动驾驶、智能家居等应用的飞速发展，深刻改变人们的生活方式．数据显示，
截至2021年10月30日，我国共建5G基站超过103万个，实现地级以上城市全覆盖．103
万个用科学记数法表示为 个．
12．（3分）某工厂生产某种产品，4月份的产量为10000件．用简单随机抽样的方法抽取这个
月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每组
不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品，
则估计该月该产品的合格产品约为 件．
13．（3分）为鼓励节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每月用水不超过17吨
的按每吨a元计费，超过17吨而未超过30吨的部分按每吨b元计费，超过30吨的部分按
每吨c元计费，某户居民上月用水35吨，应缴水费 元．
14．（3分）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC＝ AB，则称点C是点A关于点B的“半距
点”．如图1，BC＝ AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2若M、
N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．则MP
＝ cm．
第3页（共25页）15．（3分）某中学七年级学生步行到郊外旅行，一班的学生组成前队，步行速度为4km/h，二
班的学生组成后队，速度为6km/h．前队出发1h后，后队才出发，同时后队派一名联络员
骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为 12km/h．联络员从他出发
到第二次追上前队共用时 h．
三、解答题（本题8个小题，共75分）
16．（10分）计算：
（1）（ ）÷（﹣ ）；
（2）（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（ ）2．
17．（9分） ．
18．（9分）图①、图②分别由6个小正方形组成．
（1）这两个图形中，哪一个能折叠成正方体纸盒？哪一个不能？
（2）在不能折叠成正方体纸盒的图形中，怎样改变其中一个小正方形的位置，使它与其余
5个小正方形重新拼接后能折叠成正方体纸盒．请在图中把需要改变位置的小正方形打
“×”，并在图中画出改变位置后的小正方形（画出一种即可）．
（3）在（2）的操作后，可以把两个图形分别折成两个正方体纸盒，将这两个正方体纸盒摆
放在一起（使它们有一个面重合）形成一个新的几何体，请画出一种从左面看这个几何体
所得到的图形．
19．（9分）已知，数轴上点M与点N的距离是2，点M表示的数是m，点N表示的数是n，若
m＝ ，且mn＜0．
（1）请直接写出n的值；
（2）先化简，再求值：3（m2﹣2mn）﹣[3m2﹣2n+2（mn+n）]．
20．（9分）如图①，已知点C、D是线段AB上两点，D是AC的中点，若CB＝4cm，DB＝7cm．
（1）求线段AB的长；
（2）如图②，若M，N分别为AD，CB的中点，求线段MN的长；
第4页（共25页）（3）类比以上探究，如图③，解决以下问题：射线OA，OB分别为∠MOP和∠NOP的平分
线，∠MON＝ ，∠NOP＝ （ ＜ ）．求∠AOB的大小．
α β β α
21．（9分）为了纪念中国共产党建党百年，某校进行了“四史”学习教育知识竞赛，该校全
体同学参加了知识竞赛．
收集数据：现随机抽取了部分同学的“四史知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：
85 95 88 68 88 86 95 93 87 93 98 99 88 100 97 80 85 92 94 84 80 78 90 98 85
96 98 86 93 80 86 100 82 78 98 88 100 76 88 99
整理分析数据：
成绩x（单位：分） 频数（人数）
60≤x＜70 1
70≤x＜80 a
80≤x＜90 17
90≤x≤100 c
（1）填空；a＝ ，c＝ ；
（2）补充完整频数分布直方图，并求出成绩优秀（80分及以上）的学生占全校学生人数的
百分比；
（3）学校决定表彰“四史知识竞赛”成绩在100分的同学．根据上面统计结果估计该校
3000人中，约有多少人将获得表彰；
（4）通过“四史知识竞赛”以及学习党史的过程中，写出你最深的感悟．
第5页（共25页）22．（10分）“文明其精神，野蛮其体魄”，为进一步提升学生体质健康水平，我市某校计划
用640元购买12个体育用品，备选体育用品及单价如表：
备用体育用品 足球 篮球 排球
单价（元） 80 60 40
（1）若640元全部用来购买足球和排球共12个，求足球和排球各买多少个？
（2）若学校先用一部分资金购买了m个排球，再用剩下的资金购买了相同数量的足球和
篮球，此时正好剩余40元，求m的值．
23．（10分）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角
的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1：2
的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1：3的
两个角的射线，叫做这个角的四分线…显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如
图1，若∠BOC＝2∠AOB，则OB是∠AOC的一条三分线；若∠AOD＝2∠COD，则OD是
∠AOC的另一条三分线．
（1）如图2，OB是∠AOC的三分线，∠BOC＞∠AOB，若∠AOC＝60°，则∠AOB＝
；
（2）如图3，∠DOF＝120°，OE是∠DOF的四分线，∠DOE＞∠EOF，过点O作射线OG，
当OG刚好为∠DOE的三分线时，求∠GOF的度数；
（3）如图4，∠AOD＝120°，射线OB、OC是∠AOD的两条四分线，将射线OB、OC同时绕
点O沿顺时针方向旋转 （0°≤ ≤180°），在旋转的过程中，若射线OB、OC、OD中恰好
有一条射线是其它两条射α线组成α夹角的四分线，请直接写出 的值．
α
第6页（共25页）第7页（共25页）2021-2022学年河南省平顶山市汝州市七年级（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的每条棱长都相等
B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形
C．长方体的截面形状一定是长方形
D．经过一点可以画无数条直线
【分析】依据棱柱的特征以及棱柱的截面的形状，即可得到正确结论．
【解答】解：A．棱柱的每条棱长不一定都相等，故本选项错误；
B．棱柱侧面的形状不可能是一个三角形，故本选项错误；
C．长方体的截面形状不一定是长方形，故本选项错误；
D．经过一点可以画无数条直线，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查柱体的结构特征，主要涉及了侧面，底面，顶点等特征．
2．（3分）半径为6的圆中，一个扇形的圆心角为60°，则该扇形的面积为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．
【分析π】根据扇形面积计算π公式进行计算即可得出π答案． π
【解答】解：S＝ ＝ ＝6 ．
π
故选：A．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行计算是解决
本题的关键．
3．（3分）为了描述某支股票的价格在一段时间内的涨跌情况，以下最合适的统计图是
（ ）
A．扇形统计图 B．条形统计图
C．折线统计图 D．频数分布直方图
【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而
第8页（共25页）且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择
即可．
【解答】解：根据题意，得
直观反映某种股票的涨跌情况，即变化情况．结合统计图各自的特点，应选择折线统计图．
故选：C．
【点评】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图，解题的关键是根据各自的特点
进行解答．折线统计图的特点：①能清楚地反映事物的变化情况．②显示数据变化趋势．
4．（3分）下列结论中正确的是（ ）
A．单项式 的系数是 ，次数是4
B．单项式m的次数是1，没有系数
C．多项式2x2+xy2+3是二次三项式
D．在 ，2x+y， a2b， ， ，0中，整式有4个
【分析】根据单项式和多项式的有关概念判断即可．
【解答】解：A．单项式 的系数是 ，次数是3，故本选项不符合题意；
B．单项式m的次数是1，系数是1，故本选项不符合题意；
C．多项式2x2+xy2+3是三次三项式，故本选项不符合题意；
D．整式有2x+y， a2b， ，0，共4个，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了单项式和多项式的有关概念，能熟记定义是解此题的关键，注意：①表
示数与数或数与字母的积的形式，叫单项式；单项式中的数字因数，叫单项式的系数；单
项式中所有字母的指数的和，叫单项式的次数；②两个或两个以上的单项式的和，叫多项
式；多项式中的每个单项式，叫多项式的项；多项式中次数最高的项的次数，叫多项式的
次数，③单项式和多项式统称整式．
5．（3分）某服装进货价为60元/件，商店提高进价的50%进行标价，为回馈新、老顾客商店元
旦期间进行大促销活动，将此服装打折销售，但销售后商店仍可获利20%，则该服装应打
（ ）折销售．
第9页（共25页）A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】可设该服装应打x折销售，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方
程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该服装应打x折销售，根据题意得：
60×（1+50%）×0.1x﹣60＝60×20%，
解得：x＝8．
故该服装应打8折销售．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润＝售价﹣进价，列出关于x的一元一次
方程是解题的关键．
6．（3分）能与﹣（ ）相加得0的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找出﹣（ ）的相反数即可．
【解答】解：﹣（ ）的相反数为 ，
所以 能与﹣（ ）相加得0．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减法法则是解答本题的关键．
7．（3分）下列说法中正确的有（ ）
①过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成8个三角形，则这个多边形的边
数是11
②在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是75°
③线段AB的长度就是A，B两点间的距离
④若点P使AP＝PB，则P是AB的中点
⑤把一条弯曲的公路改直，可以缩短行程．这样做的依据是：两点之间线段最短
⑥1°＝3600′
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】①经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关
第10页（共25页）系式求边数；
②根据钟面上每两个相邻数字之间所对应的圆心角为30°，以及钟面上时针、分针转动过
程中所对应的圆心角的变化关系进行计算即可；
③根据两点间的距离的定义判断即可；
④根据线段的中点的定义判断即可
⑤根据线段的性质判断即可；
⑥根据角的单位换算判断即可．
【解答】解：①过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成8个三角形，则这个
多边形的边数是10，故原说法错误；
②8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴8点30分分针与时针的夹角是2.5×30°＝75°，故原说法正确；
③线段AB的长度就是A，B两点间的距离，说法正确；
④若点P使AP＝PB，则P是AB的中点，说法错误，缺少P、A、B在同一直线的条件；
⑤把一条弯曲的公路改直，可以缩短行程．这样做的依据是：两点之间线段最短，说法正
确；
⑥1°＝3600″，故原说法错误；
所以正确的有3个．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的对角线，线段的性质，线段的中点，钟面角以及角的单位换算，
掌握相关定义是解答本题的关键．
8．（3分）2020年以来，我国部分地区出现了新冠疫情．一时间，疫情就是命令，防控就是责任，
一方有难八方支援．某公司在疫情期间为疫区生产A、B、C、D四种型号的帐篷共20000顶，
有关信息见如下统计图：
第11页（共25页）下列判断正确的是（ ）
A．单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍
B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的1.5倍
C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等
D．每天单独生产C型帐篷的数量最多
【分析】由条形统计图可得生产四种型号的帐篷的数量，分别求出四种帐篷所需天数即可
判断各选项．
【解答】解：A、单独生产B帐篷所需天数为 ＝4（天），单独生产C帐篷所需
天数为 ＝1（天），
∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的4倍，此选项错误；
B、单独生产A帐篷所需天数为 ＝2（天），
∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的2倍，此选项错误；
C、单独生产D帐篷所需天数为 ＝2（天），
∴单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等，此选项正确；
D、单由条形统计图可得每天单独生产A型帐篷的数量最多，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图的综合运用，解题关键在于结合两个统计图，找
到总数与各部分的关系．
9．（3分）如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a ，
1
a ，a ，a ，a ，则下列结论正确的是（ ）
2 3 4 5
A．a ＞0 B．|a |＝|a |
3 1 4
C．a +a +a +a +a ＝0 D．a +a ＜0
1 2 3 4 5 2 5
【分析】先计算出﹣6与6两点间的线段的长度为12，再求出六等分后每个等分的线段的
长度为2，从而求出a ，a ，a ，a ，a 表示的数，然后判断各选项即可．
1 2 3 4 5
【解答】解：﹣6与6两点间的线段的长度＝6﹣（﹣6）＝12，
六等分后每个等分的线段的长度＝12÷6＝2，
第12页（共25页）∴a ，a ，a ，a ，a 表示的数为：﹣4，﹣2，0，2，4，
1 2 3 4 5
A选项，a ＝﹣6+2×3＝0，故该选项错误；
3
B选项，|﹣4|≠2，故该选项错误；
C选项，﹣4+（﹣2）+0+2+4＝0，故该选项正确；
D选项，﹣2+4＝2＞0，故该选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了数轴，两点间的距离，求出a ，a ，a ，a ，a 表示的数是解题的关键．
1 2 3 4 5
10．（3分）设a，b，c为互不相等的实数，且b＝ a+ c，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b）
【分析】根据等式的基本性质，对已知等式进行变形即可．
【解答】解：∵b＝ a+ c，
∴5b＝4a+c，
在等式的两边同时减去5a，得到5（b﹣a）＝c﹣a，
在等式的两边同时乘﹣1，则5（a﹣b）＝a﹣c．
故选：D．
【点评】本题主要考查等式的基本性质，结合已知条件及选项，对等式进行合适的变形是
解题关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）5G的到来不仅仅是上网速度的提升，它与医疗、交通、家居等领域的融合，将推动
远程医疗、自动驾驶、智能家居等应用的飞速发展，深刻改变人们的生活方式．数据显示，
截至2021年10月30日，我国共建5G基站超过103万个，实现地级以上城市全覆盖．103
万个用科学记数法表示为 1.03×1 0 6 个．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：103万＝1030000＝1.03×106．
故答案为：1.03×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
第13页（共25页）12．（3分）某工厂生产某种产品，4月份的产量为10000件．用简单随机抽样的方法抽取这个
月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每组
不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品，
则估计该月该产品的合格产品约为 98 4 件．
【分析】用4月份的产量乘以样本中合格产品数占总人数的比例即可．
【解答】解：估计该月该产品的合格产品约为：10000× ＝984
（件），
故答案为：984．
【点评】本题考查频数分布直方图，掌握频数分布直方图的意义是解决问题的关键．
13．（3分）为鼓励节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每月用水不超过17吨
的按每吨a元计费，超过17吨而未超过30吨的部分按每吨b元计费，超过30吨的部分按
每吨c元计费，某户居民上月用水35吨，应缴水费 （ 1 7 a +1 3 b + 5 c ） 元．
【分析】直接根据题意分段计算水费得出答案．
【解答】解：由题意可得：17a+13b+（35﹣30）c＝（17a+13b+5c）元．
故答案为：（17a+13b+5c）．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确分段计算是解题关键．
14．（3分）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC＝ AB，则称点C是点A关于点B的“半距
点”．如图1，BC＝ AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2若M、
N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．则MP
＝ 3 或 9 cm．
第14页（共25页）【分析】根据点P是点M关于点N的“半距点”，可得PN＝ MN，分两种情况画图求解．
【解答】解：（1）如图所示：
∵点P是点M关于点N的“半距点”，
∴PN＝ MN，
①∵MN＝6cm．P N＝ MN＝3cm，
1
∴MP ＝MN﹣P N＝3cm；
1 1
②∵MN＝6cm．P N＝ MN＝3cm，
2
∴MP ＝MN+P N＝9cm；
2 2
∴MP＝3cm或9cm；
故答案为：3或9．
【点评】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是分情况讨论．
15．（3分）某中学七年级学生步行到郊外旅行，一班的学生组成前队，步行速度为4km/h，二
班的学生组成后队，速度为6km/h．前队出发1h后，后队才出发，同时后队派一名联络员
骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为 12km/h．联络员从他出发
到第二次追上前队共用时 1 h．
【分析】设联络员第一次追上前队用x小时，此时联络员移动的距离为12xkm，前队移动的
距离为4（1+x）km，列方程求得x＝ ；设联络员又用y小时第一次回到后队，此时联络员
和后队总共又移动了12× ﹣6× ＝3km，列方程求出y的值为 ；设联络员又用n小时第
第15页（共25页）二次追上前队，可列方程12n＝4× +12× +4n，求出n的值为 ，将x、y、n的值相加，即
得到联络员从他出发到第二次追上前队所用的总时间．
【解答】解：设联络员第一次追上前队用x小时，
根据题意得12x＝4（1+x），
解得x＝ ；
设联络员又用y小时第一次回到后队，
根据题意得6y+12y＝12× ﹣6× ，
解得y＝ ；
设联络员又用n小时第二次追上前队，
根据题意得12n＝4× +12× +4n，
解得n＝ ，
所以， + + ＝1（h），
所以，联络员从他出发到第二次追上前队共用时1h，
故答案为：1．
【点评】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、有关行程问题的求解等知
识与方法，正确地用代数式表示前队、后队及联络员行进的距离是解题的关键．
三、解答题（本题8个小题，共75分）
16．（10分）计算：
（1）（ ）÷（﹣ ）；
（2）（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（ ）2．
【分析】（1）先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律计算即可；
（2）先算乘方和去绝对值，然后算乘法、最后算加法即可．
【解答】解：（1）（ ）÷（﹣ ）
第16页（共25页）＝（ ）×（﹣36）
＝ ×（﹣36）﹣3×（﹣36）+ ×（﹣36）﹣ ×（﹣36）
＝（﹣18）+108+（﹣30）+21
＝81；
（2）（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（ ）2
＝1×8+（﹣8）×
＝8+（﹣2）
＝6．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算顺序
和运算法则．
17．（9分） ．
【分析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而
得到方程的解．
【解答】解：去分母得：2（2x+1）﹣（10x+1）＝6
化简得：﹣6x＝5
解得 ．
【点评】注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，
同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
18．（9分）图①、图②分别由6个小正方形组成．
（1）这两个图形中，哪一个能折叠成正方体纸盒？哪一个不能？
（2）在不能折叠成正方体纸盒的图形中，怎样改变其中一个小正方形的位置，使它与其余
5个小正方形重新拼接后能折叠成正方体纸盒．请在图中把需要改变位置的小正方形打
“×”，并在图中画出改变位置后的小正方形（画出一种即可）．
（3）在（2）的操作后，可以把两个图形分别折成两个正方体纸盒，将这两个正方体纸盒摆
放在一起（使它们有一个面重合）形成一个新的几何体，请画出一种从左面看这个几何体
第17页（共25页）所得到的图形．
【分析】（1）根据正方体的展开图即可求解；
（2）根据正方体的展开图即可求解；
（3）可以上下排列，也可以左右排列，前后排列，据此画出图形即可求解．
【解答】解：（1）这两个图形中，图①能折叠成正方体纸盒，图②不能；
（2）如图所示：（答案不唯一）
（3）上下排列，如图所示：（答案不唯一）
【点评】本题考查了作图﹣三视图，展开图折叠成几何体，解答此类题不妨动手操作，易得
出答案．
19．（9分）已知，数轴上点M与点N的距离是2，点M表示的数是m，点N表示的数是n，若
m＝ ，且mn＜0．
（1）请直接写出n的值；
（2）先化简，再求值：3（m2﹣2mn）﹣[3m2﹣2n+2（mn+n）]．
【分析】（1）由mn＜0得出m、n异号，由m＝ ，数轴上点M与点N的距离是2，点M表
示的数是m，点N表示的数是n，即可求出n的值；
（2）先去括号、合并同类项把整式化简后，再代入计算即可得出结果．
【解答】解：（1）∵mn＜0，m＝ ，
∴n＜0，
∵点M与点N的距离是2，
第18页（共25页）∴n＝ ﹣2＝ ；
（2）3（m2﹣2mn）﹣[3m2﹣2n+2（mn+n）]
＝3m2﹣6mn﹣3m2+2n﹣2（mn+n）
＝﹣6mn+2n﹣2mn﹣2n
＝﹣8mn，
当m＝ ，n＝ 时，
﹣8mn
＝﹣8× ×（ ）
＝6．
【点评】本题考查了整式的加减—化简求值，去括号、合并同类项把整式正确化简是解题
的关键．
20．（9分）如图①，已知点C、D是线段AB上两点，D是AC的中点，若CB＝4cm，DB＝7cm．
（1）求线段AB的长；
（2）如图②，若M，N分别为AD，CB的中点，求线段MN的长；
（3）类比以上探究，如图③，解决以下问题：射线OA，OB分别为∠MOP和∠NOP的平分
线，∠MON＝ ，∠NOP＝ （ ＜ ）．求∠AOB的大小．
α β β α
【分析】（1）根据线段的中点定义即可求出AB的长；
（2）结合（1）根据线段的中点定义即可求出MN的长；
（3）根据角平分线的定义和角的和差即可求出结果．
【解答】解：（1）∵CB＝4cm，DB＝7cm．
∴DC＝DB﹣CB＝3cm．
∵D是AC的中点，
第19页（共25页）∴AC＝2DC＝6cm．
∴AB＝AC+CB＝10cm；
（2）由（1）知：AD＝DC＝3cm，
∵M，N分别为AD，CB的中点，
∴MD＝ AD＝1.5cm，CN＝ BC＝2cm，
∴MN＝MD+DC+CN＝1.5+3+2＝6.5（cm）；
（3）∵∠MON＝ ，∠NOP＝ ，
∴∠MOP＝∠MOαN+∠NOP＝ β+ ，
∵OA，OB分别为∠MOP和∠αNOβP的平分线，
∴∠AOM＝∠AOP＝ MOP＝ （ + ），
α β
∠BOP＝ NOP＝ ，
∴∠AOB＝∠AOP﹣∠BOP＝ （ + ）﹣ ＝ ．
α β
【点评】本题考查了角平分线定义，两点间的距离，利用线段的和差和角的和差进行计算
是解题关键
21．（9分）为了纪念中国共产党建党百年，某校进行了“四史”学习教育知识竞赛，该校全
体同学参加了知识竞赛．
收集数据：现随机抽取了部分同学的“四史知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：
85 95 88 68 88 86 95 93 87 93 98 99 88 100 97 80 85 92 94 84 80 78 90 98 85
96 98 86 93 80 86 100 82 78 98 88 100 76 88 99
整理分析数据：
成绩x（单位：分） 频数（人数）
60≤x＜70 1
70≤x＜80 a
80≤x＜90 17
90≤x≤100 c
（1）填空；a＝ 3 ，c＝ 1 9 ；
（2）补充完整频数分布直方图，并求出成绩优秀（80分及以上）的学生占全校学生人数的
百分比；
第20页（共25页）（3）学校决定表彰“四史知识竞赛”成绩在100分的同学．根据上面统计结果估计该校
3000人中，约有多少人将获得表彰；
（4）通过“四史知识竞赛”以及学习党史的过程中，写出你最深的感悟．
【分析】（1）根据题意所给数据即可得a的值，用总数减去前三组的频数即可得c的值；
（2）结合（1）即可补充完整频数分布直方图，进而可得80分及以上的学生占全校学生人
数的百分比；
（3）利用样本估计总体的方法即可估计该校3000人中，约有多少人将获得表彰；
（4）通过以上数据的分析即可写出感悟．
【解答】解：（1）根据题意可知：a＝3，c＝19；
故答案为：3，19；
（2）补充完整的频数分布直方图如图，
优秀的学生占全校学生人数的百分比为： 100%＝90%．
第21页（共25页）（3）该校3000人中获得表彰人数约有3000× ＝225人；
（4）合适，积极即可．如：通过“四史知识竞赛”以及学习党史的过程中，我们更加热爱祖
国，热爱中国共产党．
【点评】本题考查了频数分布直方图，用样本估计总体，频数分布表，解决本题的关键是准
确画出频数分布直方图．
22．（10分）“文明其精神，野蛮其体魄”，为进一步提升学生体质健康水平，我市某校计划
用640元购买12个体育用品，备选体育用品及单价如表：
备用体育用品 足球 篮球 排球
单价（元） 80 60 40
（1）若640元全部用来购买足球和排球共12个，求足球和排球各买多少个？
（2）若学校先用一部分资金购买了m个排球，再用剩下的资金购买了相同数量的足球和
篮球，此时正好剩余40元，求m的值．
【分析】（1）设购买足球x个，则购买排球（12﹣x）个，利用总价＝单价×数量，即可得出关
于x的一元一次方程，解之即可得出购买足球的数量，再将其代入（12﹣x）中即可求出购
买排球的数量；
（2）由购买总数量及购进排球的数量，可得出购买足球和排球的数量均为 个，利用
总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：（1）设购买足球x个，则购买排球（12﹣x）个，
依题意得：80x+40（12﹣x）＝640，
解得：x＝4，
∴12﹣x＝12﹣4＝8．
答：购买足球4个，排球8个．
（2）∵我市某校计划用640元购买12个体育用品，购买了m个排球，再用剩下的资金购买
了相同数量的足球和篮球，
∴购买足球和排球的数量均为 个．
依题意得：40m+80× +60× ＝640﹣40，
解得：m＝8．
答：m的值为8．
第22页（共25页）【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题
的关键．
23．（10分）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角
的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1：2
的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1：3的
两个角的射线，叫做这个角的四分线…显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如
图1，若∠BOC＝2∠AOB，则OB是∠AOC的一条三分线；若∠AOD＝2∠COD，则OD是
∠AOC的另一条三分线．
（1）如图2，OB是∠AOC的三分线，∠BOC＞∠AOB，若∠AOC＝60°，则∠AOB＝ 20 °
；
（2）如图3，∠DOF＝120°，OE是∠DOF的四分线，∠DOE＞∠EOF，过点O作射线OG，
当OG刚好为∠DOE的三分线时，求∠GOF的度数；
（3）如图4，∠AOD＝120°，射线OB、OC是∠AOD的两条四分线，将射线OB、OC同时绕
点O沿顺时针方向旋转 （0°≤ ≤180°），在旋转的过程中，若射线OB、OC、OD中恰好
有一条射线是其它两条射α线组成α夹角的四分线，请直接写出 的值．
α
【分析】（1）由三分线的定义可知∠AOB＝20°；
（2）根据OE是∠DOF的四分线和OG为∠DOE的三分线，再分类讨论∠DOG＞∠GOE
和∠DOG＜∠GOE的两种情况即可得出答案；
（3）根据OE是∠DOF的四分线，可得∠EOF＝30°，∠DOE＝90°，OG为∠DOE的三分线，
分情况讨论可得∠GOE＝30°或60°，再由∠GOF＝∠GOE+∠EOF可得度数．
【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的三分线，∠BOC＞∠AOB，∠AOC＝60°，
∴ ，
故答案为：20°．
第23页（共25页）（2）∵OE是∠DOF的四分线，
∴ ，
∴ ，
又∵OG是∠DOE的三分线，
如图①，当∠DOG＞∠GOE时，
∴ ，
∴∠GOF＝∠GOE+∠EOF＝30°+30°＝60°；
如图②，当∠DOG＜∠GOE时，
∴ ，
∴∠GOF＝∠GOE+∠EOF＝60°+30°＝90°，
综上，∠GOF＝60°或90°．
（3）∵∠AOD＝120°，射线OB、OC是∠AOD的两条四分线，
∴ ，
∴∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB﹣∠DOC＝60°，
①当OC为∠BOD的四分线时，∠DOC＝30°﹣ ，∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝90°﹣ ，
α α
∴ ，
解得 ＝10°；
②当αOD为四分线时，∠DOC＝ ﹣30°，
α
则 ，
∴ ，
解得 ＝45°或75°；
③当αOB为四分线时，∠BOD＝ ﹣90°，∠COD＝30°﹣ ，
α α
则 ，
第24页（共25页）∴ ，
解得 ＝110°或270°（舍去），
综上，α ＝10°或45°或75°或110°．
α
【点评】本题考查了与角有关的问题，关键是结合具体图形解题，注意分类讨论．
第25页（共25页）
