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2025 年中考第二次模拟考试（长春卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如果向东走 记为 ，那么 表示（ ）
A．向南走 B．向西走 C．向北走 D．向左走
【答案】B
【分析】本题考查了正负数的实际运用，掌握正负数，相反意义的量的计算是解题的关键．
根据向东走 记为 ，则负表示向西走，由此即可求解．
【详解】解：向东走 记为 ，那么 表示向西走 ，
故选：B ．
2．若 ，则括号内应填的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了单项式乘单项式，设括号里的代数式是 ，则 ，根据单项式除单项式
的运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：设括号里的代数式是 ，则
，
故选：C．
3．鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清官相互辉映．广场中央
矗立着地标性老子雕像，总高27米．某同学要测量雕像两端 、 的距离，便在平地上取一点 ，连接
并延长到 ，使 ．连接 并延长到 ，使 ．连接 ，此时 ，测量
的长即为 、 两点间的距离，则判定 的依据是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的应用，由 证明 ，得 ，即可得出结论．
【详解】解：在 和 中，
∴ ，
∴ ，
即测量 的长即为 、 两点间的距离，
故选：A．
4．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图
标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能
够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的
定义进行逐一判断即可．
【详解】解：选项A、B、C中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，
所以不是中心对称图形，选项D中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
5．如图，七边形 中， 的延长线交于点O，若 的外角和等于 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得 的和是解题的关键．
由外角和内角的关系可求得 的和，由多边形的内角和公式求得五边形 的内角和，
即可求得 ．
【详解】解：∵ 的外角和等于 ，
，
，
∵五边形 内角和 ，
，
，
故选：A．
6．如图，滑雪道 的长为 ，则滑雪道的竖直高度 的长为（ ）
A． m B． m C． m D． m【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念，熟记锐角三角函数的定义
是解题的关键．
根据正弦的定义进行解答即可．
【详解】解：在 中， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
7．如图，在 中， ，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的
关键．根据尺规作图的痕迹， 是 的角平分线， ，依据这两个条件即可逐项判断即可．
【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹， 是 的角平分线， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ，
无法证明 ，
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 在 轴上， 在直线 上， 在双曲线
的一支上．已知点 的横坐标为6，则 的值为（ ）A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，正方形的性质，根据题意可知
点横坐标，利用直线 解析式得到 ，依据正方形性质推出 ．根据点 的坐标求
出 值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵点M的横坐标为6，
∴ ，
∵ 在直线 上，
可设 ，
则 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在反比例函数图像上，
∴ ，
故选： ．
第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9． 的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了乘方运算、平方根等知识，理解并掌握平方根的定义是解题关键．首先求得
，然后根据平方根的定义，即可获得答案．
【详解】解：∵ ，且9的平方根是 ，
∴ 的平方根是 ．
故答案为： ．
10．圆珠笔每支m元，小明买6支圆珠笔，需 元．（用含m的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查了列代数式，理解单价，数量和总价之间的关系是解题关键．根据总价等于数量乘以单
价即可得．
【详解】解：圆珠笔每支 元，小明买6支圆珠笔，需 元，
故答案为： ．
11．直线 的图象向下平移4个单位，所得直线的函数解析式为： ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查一次函数的平移，熟记平移法则“左加右减，上加下减”来直接得到平移后的解析
式．根据平移的规则“上加下减”即可得出结论．
【详解】解：直线 的图象向下平移4个单位，所得直线的函数解析式为 ，即
，
故答案为： ．
12．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短．它是由长度相等的两脚
和 交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度4的地方（即同时使
），然后张开双脚，使 两个尖端分别在线段l的两个端点上．这时 与 的数
量关系是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，本题关键在于识别和应用相似三角形的性质，通过比例规两
脚合上时形成的特定比例关系，将问题转化为求解相似三角形的边长比．题目通过具体实例，考查了学生
对几何原理的理解与应用能力，尤其是比例与相似三角形的结合应用．首先根据已知条件判断出两个三角
形相似，再利用相似三角形的性质得出对应边的比例关系，从而得到与的数量关系.
【详解】解：因为 ， ，且 （对顶角相等），
所以 ，
所以相似比为 。
根据相似三角形对应边成比例，得 .
故答案为： .
13．如图，在 中，已知 ，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，点 经过的路径为 ，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式
和数形结合的思想解答．根据旋转的性质可知，从而可以得到 ，再根据图形阴影部分的面积
＝ ，然后代入数据计算即可解答本题．
【详解】解：∵ 绕点 逆时针旋转 得到 ，∴ ；
∵图形阴影部分的面积＝ ，
∴图形阴影部分的面积＝ ；
故答案为： ．
14．蛇年贺岁，千盏花灯邂逅千年古桥（图1）．我校项目学习小组计划用3D打印三洞桥模型，作为元宵
灯会的奖品，图2是其设计示意图．设计过程如下：整座桥呈轴对称结构，用抛物线 ，构
造桥面形状（长度单位： ），三个桥洞均为圆弧形且弧的度数相等，相邻圆弧间隔20 ，每个桥洞
最高点到桥面的竖直距离均为4 ，若中间大桥洞宽度（弦长）为两侧小桥洞宽度的2倍，则大圆弧所在
圆的半径为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查实际问题与二次函数，勾股定理；根据题意，把 代入 ，计算
得到中间大桥洞的宽度，再根据勾股定理得到 ，计算即可求出．
【详解】解：根据题意，
当 ，代入 ，
得
∴中间大桥洞最高点对应的 值为
把 代入 ，解得： ，
则中间大桥洞的宽度为 ，
设大圆弧所在圆的圆心为 ，半径为 ，圆心 到弦的距离为
∴
∴
解得：
综上，大圆弧所在圆的半径为
故答案为： ．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本题6分）先化简，再求值： ，其中a＝－ ．
【答案】 ,2
【分析】本题考查分式的化简求值，正确运用计算法则是解题的关键．
先算括号里的，再算除法，最后代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当 时， ．
16．（本题6分）为传承红色基因，学习红色精神，某班组织甲、乙、丙三个学习小组参观红色教育基地，
三个小组分别从确山竹沟革命纪念馆，桐柏精神红色教育基地选择一个参观，用画树状图或列表的方法求
三个小组参观同一个红色教育基地的概率．
【答案】
【分析】本题主要考查了树状图法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到三个小组参
观同一个红色教育基地的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：将参观确山竹沟革命纪念馆、桐柏精神红色教育基地分别记为A、B，画树状图为：
由树状图可知共有8种等可能的结果，三个小组参观同一个教育基地的结果有2种，
∴三个小组参观同一个红色教育基地的概率为 ．
17．（本题6分）为迎接中考，很多同学购买了 铅笔和涂卡尺．根据图中信息，求每支 铅笔和每个
涂卡尺的价格．
【答案】每支2B铅笔和每个涂卡尺的价格分别为0.8元和1.5元
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设每支2B铅笔和每个涂卡尺的价格分别为 元， 元，根
据题意，列出二元一次方程组，计算求解即可．
【详解】解：设每支2B铅笔和每个涂卡尺的价格分别为 元， 元，根据题意，
得
解得
答：每支2B铅笔和每个涂卡尺的价格分别为0.8元和1.5元．
18．（本题7分）如图，四边形 是正方形， 是 上任意一点（点 与 、 不重合），
于 ， 于 ．(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）根据正方形的性质，利用 证明 即可；
（2）利用全等三角形的性质结合线段之间的和差关系即可得证．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 于 ， 于 ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）由（1）知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
19．（本题7分）图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均
为 ，点 、 、 、 均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，
所作图形的顶点均在格点上，不要求写出作法．(1)在图①中以线段 为边作一个四边形 ，使四边形 既是轴对称图形又是中心对称图形；
(2)在图②中以线段 为边作一个四边形 ，使四边形 只是中心对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了网格问题，中心对称图形与轴对称图形的性质，正方形与平行四边形的性质，掌握以
上知识是解题的关键．
（1）根据网格的特点画出正方形 ，即可求解；
（2）根据网格的特点作出平行四边形 ，即可求解．
【详解】（1）解：如图，四边形 就是所要求作的四边形．
（2）解：如图，四边形 就是所要求作的四边形．（答案不唯一）
20．（本题7分）小明记录下最近连续10次立定跳远和50米跑的试测成绩，部分信息如下：
【数据收集与整理】
信息一：50米跑试测成绩（单位：分）依次是85 80 95 85 95 90 95 95 95 100
信息二：立定跳远试测成绩中，80分与85分的次数相同，90分共4次．【数据描述】
【数据分析】
平均 中位 众
方差
数 数 数
50米跑成绩
91.5 95 a 35.25
（分）
立定跳远成绩
91.5 b 90 35.25
（分）
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ______， ______， ______；
(2)为了在体育考试中取得更好的成绩，你认为小明应该如何选择？请说明理由．
【答案】(1)10；95；90
(2)小明应该选择50米跑，理由见解析
【分析】本题考查了统计图，众数、中位数等知识，解题的关键是正确读懂统计图：
（1）根据众数、中位数的定义求解即可；根据个得分所占百分比和为1得出关于m的方程，解方程即可；
（2）对比各个统计量的大小，结合各个统计量所反映数据的变化特点，做出判断即可．
【详解】（1）解：由题意得，立定跳远试测成绩中，得分为80分与85分的次数均为
，
∴ ，
∴ ；
∵50米跑试测成绩中，得分为95分的次数最多，∴50米跑试测成绩的众数为95分，即 ；
把立定跳远试测成绩按照从低到高排列为80 85 90 90 90 90 95 95 100 100，
∴立定跳远试测成绩的中位数为 ，即 ；
（2）解：小明应该选择50米跑，理由如下：
解：从平均数和方差看，立定跳远和50米跑的成绩都一样，从中位数和众数看，50米跑的成绩高于立定
跳远的成绩，故小明应该选择50米跑．
21．（本题8分）如图1，光滑桌面 的长为 ，两端竖直放置挡板 和 ，小球P（看作一点）
从挡板 出发，匀速向挡板 运动，撞击挡板 后反弹，以原速返回挡板 ，过程中小球和挡板
的距离 与时间 的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时
间忽略不计）
(1)图中 ______， ______，小球的速度为______ ．
(2)求图2中直线 的函数解析式．
(3)若小球从挡板 向挡板 运动的过程中，同时，挡板 以 的速度匀速向挡板 运动，运动
过程中（小球与挡板 撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为 ，请直接写出t的
值．
【答案】(1)120，24，10；
(2)
(3)
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求函数解析式，线段的中点，数形结合是解答本题
的关键．
（1）根据函数图象可知 ，小球到达 时 ，进而可求出m和小球的速度；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）根据中点的定义列方程求解即可．【详解】（1）解：由函数图象可知 ，小球到达 时 ，
∴小球的速度为 ．
∵撞击挡板 后反弹，以原速返回挡板 ，
∴ ．
故答案为：120，24，10；
（2）解：直线 的函数解析式为 ，把 代入，得
，
解得 ，
∴ ；
（3）解：设挡板 运动后的位置为 ，由题意，得
，
∵小球恰好位于这两个挡板中点，
∴ ，
解得 ，
∴t的值为 ．
22．（本题9分）在菱形 中，P是对角线 上一点．
【感知】如图①，过点P作 交 于点M，作 交 于点N．易证 ．（不需要
证明）
【应用】如图②， ， ， 的两边分别交边 、 于点E、F
（E、F不与菱形顶点重合），连结 ．
（1）判断 的形状，并说明理由．
（2）若 ，则 面积最小值时， 与 的面积之比为______．【拓展】如图③， ， 的两边分别交边 所在直线于点E、F，连结 ，
当 ， ，且 时，线段 的长为______．
【答案】【应用】（1）等边三角形，见解析；（2） ；【拓展】 或
【分析】应用：（1）可推出点 、 、 、 共圆，从而 ， ，
从而得出 是等边三角形；
（2）可证得 ，进一步得出结果；
拓展：分两种情况，可推出 ，进而得出 ，解 ：作 于 ，作
于 ，进一步得出结果．
【详解】解：应用：
（1） 是等边三角形，理由如下：
四边形 是菱形， ，
，
，
点 、 、 、 共圆，
， ，
是等边三角形；
（2）当 时， 的边长最小，则面积最小，
此时 ，
四边形 是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
故答案为： ；
拓展：
如图，当点E在点B左侧时，
同理（1）可得： 是等腰三角形，
四边形 是菱形， ，
， 是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
作 于 ，作 于 ，
可得 ，
可得 ， ，
，，
当点E在点B右侧时，
同理： ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，确定圆的条件，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决
问题的关键是熟练掌握有关接触知识．
23．（本题10分）如图，在菱形 中， ， ．动点P从点A出发，沿 方向匀
速运动，速度为 ；动点Q同时从点C出发，沿 方向匀速运动，速度为 ．过点Q作
交边 于点E， 与 交于点N．设运动时间为 ．解答下列问题：
(1) 的长为__________ （用含t的代数式表示）；
(2)当 时，求t的值；
(3)设 的面积为 ，求S与t的函数关系式；
(4)连接 ，在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使线段NQ的值最小？若存在，求出t的值；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)(4)存在，当 时，线段 的值最小．
【分析】（1）证明 得出 ，即可求解；
（2）证明 四边形 是平行四边形，得出 ，列方程为 ，求解即可；
（3）证明 ，得出 ，从而证得 ，过点B作 于点F，求出
、 ，然后由三角形面积公式求解即可；
（4）证明 ，则当 的值最小时，线段 的值也最小，当 时， 的值最小，连接
，求得 ， ，则 ，求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得 ，
设 交 于K，如图，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
， ，
，
，
即 ．
故答案为： ．
（2）解：由题意得， ，
，
四边形 是菱形，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，，
．
（3）解：由题意得， ，
， ，
是等边三角形，
．
四边形 是菱形，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
为直角三角形，过点B作 于点F，
是等边三角形， ，
，
在 中， ，
， ，，
．
（4）解：由（3）可知： 为直角三角形，
，
，
， ，
，
， ，
，
当 的值最小时，线段 的值也最小，
， ，
当 时， 的值最小，连接 ，
， ，
，
，
，
，
．
当 时，线段 的值最小．
【点睛】本题属四边形综合题目，主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定
与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的面积，熟练掌握
相菱形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键．
24．（本题12分）已知抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧），与 轴的交点为 ，其对称轴是直线 ，点 是抛物线上第一象限内的点，过点 作 轴，垂足为 ，交
于点 ，且点 的横坐标为 ．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)如图1，过点 作 平行于 轴，交抛物线于点 ，若点 在 的上方，连接 ， ， ，当
时，求点 坐标；
(3)如图2，连接 ， ，设 交 于点 ， 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值；
(4)如图3，在（3）的条件下，连接 ，将 右侧的抛物线沿 翻折，交 轴于点 ，请直接写出点
的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)当 时， 有最大值，最大值是 ；
(4)
【分析】（1）将 代入 求出 ，再由 求出b，即可求解析式；
（2）设P点坐标为 ，D点坐标为 ，分别求出 和 的长，根据
列方程计算即可；
（3）过点A作x轴的垂线交 于点G，证明 ，再根据 计算即可；（4）根据翻折后 是对称轴，如图，设点M关于 的对称点为 ，连接 ，交 于点R，交x轴
于点N，则R是 的中点，且 ，证明 ，设点 ，可得 ，设
直线 的解析式为： ，求解直线 的解析式为： ，可得 ，
，结合点 在抛物线上，再建立方程，解方程即可．
【详解】（1）解：将 代入 可得： ，
∵对称轴是直线 ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴二次函数解析式为 ；
（2）解：∵二次函数解析式为 ；
当 ，则 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
设 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ， ，
∵P的横坐标为a， 轴，
∴P点坐标为 ，D点坐标为 ，
∴ ，
∵ 平行于x轴，
∴C、E关于对称轴 对称，且 ，
∴E点坐标为 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
当 是P与E重合，舍去，
∴ ，
∴ ；
（3）解：过点A作x轴的垂线交 于点G，
∵直线 的解析式为： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值，最大值是 ；
（4）解：当 时， ，
设直线 的解析式为： ，
把 ， ，代入可得： ，解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
如图，设点M关于 的对称点为 ，连接 ，交 于点R，交x轴于点N，则R是 的中点，且
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设点 ，
∴ ，解得 ，
设直线 的解析式为： ，
将 ， 代入可得：
，解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
令 ，解得 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，且R是 的中点，
∴ ，
∵点 在抛物线上，
∴ ，
解得： ， （ 舍），
∴ ．
【点睛】本题考查二次函数与相似三角形的综合、图形翻折，一元二次方程的解法，本题的难度很大，解
题的关键是设未知数表示各个未知点的坐标再根据题意列方程．
