文档内容
2025 年中考押题预测卷（长春卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．北京时间2025年1月21日1时12分，经过约 小时的出舱活动，“神舟十九号”乘组航天员蔡旭哲、
宋令东、王浩泽密切协同，在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装
置安装、舱外设备设施巡检等任务．出舱航天员蔡旭哲、宋令东已安全返回问天实验舱，出舱活动取得圆
满成功.如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为 秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为（ ）
A． 秒 B． 秒 C． 秒 D． 秒
【答案】A
【分析】本题考查了正数和负数，准确理解它们是表示相反意义的量是解题的关键．正数和负数是表示相
反意义的量，根据题目中的规定用正数或负数表示即可．
【详解】解：如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为 秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为 秒．
故选：
2．中国四大白瓷系列之一的衢州莹白瓷被誉为瓷中珍品，下图是衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（
）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三视图的特点，理解立体图形特点，掌握三视图的特点是关键．
根据立体图形，三视图的特点分析即可求解．【详解】解：衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是 ，
故选：A ．
3．第十二届世界运动会将于2025年8月7日至17日在成都举行，届时需要大约15000名志愿者，共同参
与成都世运会志愿服务工作．其中数据15000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整
数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：数据15000用科学记数法表示为 ，
故选：B．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方及合并同类项，熟练掌握幂运算法则及
合并同类项得法则是解题的关键．根据幂运算法则及合并同类项法则，即可判断答案．
【详解】解：A、 ，所以A选项错误，不符合题意；
B、 ，所以B选项正确，符合题意；
C、 ，所以C选项错误，不符合题意；
D、 ，所以D选项错误，不符合题意；
故选：B．
5．如图，滑雪道 的长为 ，则滑雪道的竖直高度 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数的定义解答即可．
本题考查了正弦函数的应用，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得 ， 的长为 ，
故 ，
故选：B．
6．在 中， ，小明按照下面的方法作图：①以B为圆心 为半径画弧，交 于点
D；②分别以C，D为圆心大于 为半径画弧，两弧交于点M；③作射线 ，交 于点E．根据小明
画出的图形，判断下列说法正确的是（ ）
A．E是 中点 B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握尺规作垂线的方法是解题的关键．根据尺规作图即可解答．
【详解】解：由作图可得， 是 的垂线，
．
故选：C．
7．下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的性质，解不等式的方法是关键．
根据不等式的性质“不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时
乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改
变”求解不等式即可．
【详解】解：A、 ，
解得， ，
不等号的方向为改变，不符合题意；
B、 ，
解得， ，
不等号的方向为改变，不符合题意；
C、 ，
解得 ， ，
不等号的方向改变，解集符合图示，故符合题意；
D、 ，
解得， ，
不等号的方向改变，但解集不符合图示，故不符合题意；
故选：C ．
8．如图， 的顶点坐标分别为 ， ， 若反比例函数 的图象经过
内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数），则k的取值共有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】根据题意，找到符合条件整点即可得到k的个数．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，
找到符合条件的整点是关键．
【详解】解： 的顶点坐标分别为 ， ， ，点P为 内部或边界上的整点，
这样的整点有： ， ， ， ，
反比例函数 的图象经过 内部或边界上的整点 横、纵坐标都是整数 ，
值有1，2，3，4，共4个．
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
10． ．
【答案】2【分析】此题主要考查了算术平方根的定义，正确化简是解题关键．直接利用算术平方根的定义化简得出
答案．
【详解】解： ．
故答案为：2．
11．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式求参数，理解一元二次方程两个相等的实数根的含义，掌握
根的判别式的计算是关键．
根据 ，方程有两个相等的实数根即可求解．
【详解】解：关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得， ，
故答案为：1 ．
12．如图， 中， ， ， 为斜边 上一点，作 的外接圆，交边 于
点 ，若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，连接 ，则 ，再由圆周角定理即可求得解．
【详解】
如图， ，
连接 ，在 中， ，则 ，
∵ ，
∴ ，由圆周角定理得到： ．
故答案为： ．
13．直线 向上平移2个单位后得到的直线解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直线的平移，根据“上加下减，左加右减”的法则求解即可．
【详解】解：直线 向上平移2个单位后得到的直线解析式为 ，
故答案为： ．
14．如图，在直角坐标系中，等边三角形 的顶点A的坐标为 ，点B，C均在x轴上．将 绕
顶点A逆时针旋转 得到 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质、解直角三角形、等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
作 轴交于点F，根据等边三角形的性质得到 ，利用余弦的定义求出 的长，
根据旋转的性质得到 是等边三角形，利用三角函数的知识求出 和 的长，即可求出点 的
坐标．
【详解】解：如图，作 轴交于点F，由题意得： ，
∵ 是等边三角形， ，
∴ 是 的角平分线， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
由旋转的性质得， 是等边三角形， ， ，
又∵ 轴，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本题6分）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．利用分式的运算法则化
简，再代值计算即可求解．
【详解】解：
，
代入 ，原式 ．
16．（本题6分）中国古代有许多著名的数学文献，如《周髀算经》《海岛算经》《孙子算经》．某中学
拟从这 部数学名著中选择 部进行学习，用列表法或画树状图法求出选中的 部名著中，有 部是《周髀
算经》的概率，（将《周髀算经》《海岛算经》《孙子算经》分别记为 ， ， ）
【答案】有 部是《周髀算经》的概率为 ．
【分析】本题考查了画树状图法求概率，画出树状图求概率即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：根据题意画树状图如下：
共有 种等可能的结果，恰好有 部是《周髀算经》的结果数有 种，∴有 部是《周髀算经》的概率为 ．
17．（本题6分）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安
排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身
软件显示两组运动共消耗热量70千卡．小亮平均每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少千卡热量？
【答案】小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解数量关系，正确列式求解是关键．
设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，由此列式方程组求解即可．
【详解】解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，
由题意得： ，
解得： ，
答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量．
18．（本题7分）如图，平行四边形 中，对角线 ， 于点E， 于点F，
(1)求证：四边形 是矩形．
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求
出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键．
（1）要证明平行四边形 是矩形，证明 求得 即可．
（2）首先根据矩形的性质和 得到 ， ，则 ，
然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）证明： ， ，
，
在 和 中， ，
， ，
∵四边形 是平行四边形， ，
，
∴四边形 是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形 是矩形，
， ，
，
在直角三角形 中， ，
．
19．（本题7分）为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和
美育发展水平，现从七年级共 名学生中随机抽取 名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后
按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用 表示，分为四个等级，包括优秀： ；良好：
；合格： ；待提高： ）．对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下．
信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下．
信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下．
分组
人数信息三： 位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共 个点）．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： _____；
(2)下列结论正确的是_____；（填序号）
①体育成绩低于 分的人数占抽取人数的 ；
②参与测评的 名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；
③在信息三中，相比于点 所代表的学生，点 所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存
在一定差距，需要进一步提升；
(3)请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数．
【答案】(1)
(2)①③
(3)七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有 人
【分析】本题主要考查了条形统计图和统计表，个体占比，中位数的定义，用样本估计总体，熟练掌握从
图表中获取信息是解题关键．
（1）用样本总体减去良好、合格、待提高的人数，即可求解；
（2）①用体育成绩低于 分的人数除以样本总体 即可求解；②用中位数的定义判断即可求解；③根据
坐标得出点 和点 各自的美育和体育的成绩，判断即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解．
【详解】（1）解： ．
故答案为： ．
（2）解：①由统计图可知：体育成绩低于 分的人数有 人，
体育成绩低于 分的人数占抽取人数的 ，故①正确；
② 一共有 人，成绩从小到大排序，中位数为第 位和第 位的平均数，中位数位于 之间，
即参与测评的 名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误；
③在信息三中，点 的美育成绩为 ，体育成绩为 ，
点 的美育成绩为 ，体育成绩为 ，
相比于点 所代表的学生，点 所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，
需要进一步提升，故③正确；
故答案为：①③．
（3）解：根据信息三可知：美育和体育成绩都在 分及以上的人数只有 人，
七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有 人．
20．（本题7分）如图 方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按
下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上．
(1)在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8；
(2)在图2中画：是轴对称图形，但不是中心对称图形，且面积为10；
(3)在图3中画：既不是中心对称图形又不是轴对称图形，且面积为10；
(4)在图4中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
(4)画图见解析
【分析】（1）利用网格特点画一个面积为 的平行四边形即可；
（2）利用网格特点画以 为对称轴的两个全等三角形，且两个三角形的面积和为 即可；
（3）利用网格特点画一个四边不相等，且面积为 的四边形即可；
（4）利用网格特点画一个边长为 的正方形即可；
【详解】（1）解：如图，四边形 即为所求；理由：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形， ，
∴四边形 即为所求．
（2）解：如图，四边形 即为所求；
理由：连接 ，
∵ ， ，
而 ，
∴ ， ，
∴四边形 即为所求；
（3）解：如图，四边形 即为所求；
理由：由勾股定理可得： ，
，
∴四边形 即为所求；
（4）解：如图，四边形 即为所求；理由：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形， ，
∴四边形 即为所求．
【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角
形的判定与性质，图形面积的计算，掌握基础图形的性质是解本题的关键．
21．（本题8分）如图1，甲、乙两人在一条笔直的公路上同向匀速而行，甲从A点开始追赶乙，甲超过
乙之前，甲、乙两人之间的距离 与追赶的时间 的关系如图2所示，已知乙的速度为 ．
(1)求甲、乙两人之间的距离 与追赶的时间 之间的函数关系式；
(2)甲从A点追赶乙，经过 ，求甲前行了多少米？
(3)甲追赶 后，甲、乙相距多少米？若此时甲速度增加 ，提速后甲追上乙还需要多少秒？
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．（1）先设出函数解析式，然后根据图象中数据，即可求得该函数的解析式；
（2）根据图象中的数据，可以求得甲的速度，然后即可计算出甲从A点追赶乙，经过 走的路程；
（3）将 代入（1）中的函数解析式求出相应的y的值，然后根据（2）中甲的速度，可以求出加速后
的速度，最后即可计算出提速后甲追上乙还需要多少秒．
【详解】（1）解：设甲、乙两人之间的距离 与追赶的时间 之间的函数关系式为 ，
∵点 ， 在该函数图象上，∴ ，解得 ，
即甲、乙两人之间的距离 与追赶的时间 之间的函数关系式为 ；
（2）解：甲的速度为： （ ），
则甲从A点追赶乙，经过 ，甲走的路程为： （米），
答：甲从A点追赶乙，经过 ，甲前行了272米；
（3）解：将 代入 ，得 ，
设甲提速后，追上乙需要m秒，
（秒），
答：甲追赶10s后，甲、乙相距72米，若此时甲速度增加 ，提速后甲追上乙还需要24秒．
22．（本题9分）【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1， 中， ， ，
，在 内部有一点 ，连接 、 、 ，求 的最小值．
【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，
然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以
求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．
他的做法是，如图2，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 、 ，则 的长即为所
求．(1)请你写出图2中， 的最小值为______；
(2)【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形 ，点 与原点重合， 坐标为 ， ，
若在菱形 内部有一动点 ，试求 的最小值，并求出此时点 的坐标是多少；
(3)【生活实际】如图4，一个矩形菜地的 三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个
蔬菜运输点 ，经研究发现，运输点 到 三个菜窖的总路程至少为 千米，若 ，则
此矩形菜地的面积至少为______平方千米．
【答案】(1)
(2) 的最小值为 ，此时
(3)
【分析】（1）结合旋转性质得 ，则 ， ， ，故
，运用勾股定理列式计算，即可作答．
（2）模仿题干，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ， ， ，当 、 、 、
四点共线时， 值最小，最小值为线段 的长，设 交 于点 ．得出 是等边三角
形，则 ，再根据菱形的性质得 ，同理得 ，故 ，
结合解直角三角形的正列式 ， ，整理得 ，即可作答．
（3）如图4中，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ．当 共线时， 的值最小，最小值为线段 的长．则 ，
，因为运输点 到 三个菜窖的总路程至少为 千米，列式
，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，如图2中，
将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，
，
， ， ，
，
，
．
在 中，
， ， ，
，
即 的最小值为 ．
（2）解：如图3中，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ， ， ，当
、 、 、 四点共线时， 值最小，最小值为线段 的长，设 交 于点 ．
将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，，
， ，
是等边三角形，
， ．
菱形 中， ，
，
， ，
同理， ，
．
连接 ，交 于点 ，
则 ．
在 中， ， ， ，
，
， ， ．
的最小值为 ，
此时 ．
（3）解：如图4中，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，过点 作 交
的延长线于 ．当 共线时， 的值最小，最小值为线段 的长．设 千米，则 千米，
千米， ， ，
，
（千米）， （千米），
，
∵运输点 到 三个菜窖的总路程至少为 千米，
∴ 千米，
，
，
，
的最小值为2千米， 的最小值为 千米，
此矩形菜地的面积的最小值为 平方千米．
【点睛】本题考查了最短路径，勾股定理，旋转性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三
角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
23．（本题10分）如图①，在 中， ，在 中，
， ，边 与 重合．动点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为
，同时，如图②， 从图①所示位置出发，沿射线 方向匀速运动，速度为 ；设运动
时间为 ．解答下列问题：
(1)当 为何值时，点 ？
(2)如图③，分别连接 ，设四边形 的面积为 ．求 与 的函数关系式；(3)如图④，过点 作 ，交 于点 ，是否存在某一时刻 ，使 平分 ？若存在，求
出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据 时 进而推出 ，以此建立关于 分式方程求解即可．
（2）首先求出 和 的高 和 ，然后求得 ，再根据 即可求
出结论．
（3）通过平行线构造等腰 ，利用等腰直角三角形的性质分别用 表示出 和 ，然后建立关于
的方程求解即可．
【详解】（1）解：如图， 交 于点 ．
根据题意 ．
当 时， ，由于 为等腰直角三角形，
又因 ，则 ．
，
，
解得： ．
（2）解：如图，过点 作 ，过点 作 分别为垂足．根据题意 ．
则 ，
．
（3）解：如图，过点 作 交 延长线于点 ，过点 作 ，垂足为 ，过点 作
为垂足．则四边形 为矩形．
根据题意 ，则 ，
，
，
，
由（2）可知 ，
，
，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了直角三角形和等腰三角形的性质，解直角三角形，平行线的性质，勾股定理，矩形的性质和判定，利用三角函数求出相关边的长度是解答本题的关键．
24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，直线 交x轴于B点，交y轴于C点，抛物线
经过B、C两点且与x轴交于另一点A．
(1)求A、B、C的坐标及抛物线的解析式；
(2)若点P是直线 上方抛物线上一点，求 面积的最大值及点P的坐标；
(3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m， 、 为平面内任意两点，连接 、
，以 、 为边构造矩形 ．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化
时，求m的取值花围．
【答案】(1) ， ， ，
(2) ，
(3) 或
【分析】（1）利用直线与坐标轴的交点解法，待定系数法依次解答即可；
(2) 过点P作 轴交直线 于点D，结合抛物线，直线 解析式，设 ，则
，则 ， 计算，利用二次函数的最值解答即可．
(3) 当点P、M重合时，则 ，确定 ，①当点M在点P的下方时和②当点M在
点P的上方时，两种情况解答即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
∴ ， ，
∵B、C在 上，
∴ ，解得 ，
∴ ，
当 时，解得 ， ，
∴ ．
（2）解：过点P作 轴交直线 于点D，
设点 ，则 ，
则 ，∴ ，
∵ ，
∴开口向下，函数有最大值，
且当 时， 有最大值为 ，
∴ ．
（3）解：当点P、M重合时，则 ，
∴ ，
①当点M在点P的下方时，即 ，
由题意得： ，
当点P、N达到对称轴两侧对称的位置时，则 ，这之前矩形内没有函数y的图象，
当 时，形区域内的函数y随x的增大而减小，即 ．
②当点M在点P的上方时，即 或 ，
当点Q在对称轴左侧时，即 ，此时矩形内的抛物线y随x的增大而增大，
当点P离开顶点时，即 ，此时矩形内的抛物线y随x的增大而减小，
即 ，
综上， 或 ．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式计算，抛物线的增减性，最值，矩形的性质，求不等式的解集，熟练
掌握矩形的性质，抛物线的性质计算是解题的关键．
