文档内容
2025 年中考第一次模拟考试（长春卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8
D A A B B B B C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．二 10． 11． 12． 13．15 14．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本题6分）
【详解】解：原式 （2分）
，（4分）
当 时，则原式 ．（6分）
16．（本题6分）
【详解】证明： ，
；（1分）
又 ，
，
；（3分）
在 与 中，，
；（5分）
．（6分）
17．（本题6分）
【详解】解：画树状图为：
（3分）
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一条路线的结果数为3种，（4分）
所以两人恰好选择同一条路线的概率 ．（6分）
18．（本题7分）
【详解】（1）解：
甲 ；（1分）
乙 ；（3分）
（2）解：设公路行驶 ，市区道路行驶 ，
根据题意得 ，
① ② 得 ，（4分）
解得 ，（5分）
将 代入②，得 ，
解得 ，（6分）∴ ，
答：这个人在公路上驱车行驶的时间为 ．（7分）
19．（本题7分）
【详解】（1） （2分）
（2） （4分）
（3） （7分）
20．（本题7分）
【详解】（1）8.5，8；（2分）
（2）丙；（3分）
（3）甲的综合成绩为： （分），
乙的综合成绩为： （分），
丙的综合成绩为： （分），（6分）
，
所以综合成绩最高的是乙．
故答案为：乙．（7分）21．（本题8分）
【详解】解：（1） ；（2分）
（2）设 ，将 代入，
得 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量是 ；（5分）
（3）当 时， ，
∴未充电前电量显示为 ，
假设充电t分钟，应增加电量为 ，
再次出发时电量是 ，
走完剩下的路程为 （km），故 ，
∴需消耗的电量为
∴ ，
解得 ，
故答案为30．（8分）
22．（本题9分）
【详解】解：（1） ．（2分）
（2）结论：点F的坐标不变， ．理由如下：
理由：∵ 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．（5分）
（3）如图，如图：连接 交 于点O，连接 ，作 于F，
∵四边形 是菱形，
∴ ， 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）知 ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
由（2）知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 的面积是 ．（9分）
23．（本题10分）
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（2分）
（2）解：∵点 在线段 的垂直平分线上，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
解得 ，
故当 为 时，点 在线段 的垂直平分线上；（4分）
（3）解：存在 的值，使得 的面积是矩形 面积的 ，理由如下∶
如图 ，过 作 于 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积是矩形 面积的 ，
∴ ，
∴ ，
解得 负值舍去)，∴当 时， 的面积是矩形 面积的 ，（7分）
（4）解：如图 ，连接 ，
∵点 是点 关于BD的对称点，
∴ ，
∵ ，
∴当 ， ， 共线时， 的值最小，
如图 ，连接 ，CF，设 交AD于 ，作 于 ，作 于 ，
由 知， ， ，
同理可得， ，
∵点 是点 关于BD的对称点，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴四边形 是平行四边形
∵
∴四边形 是矩形，
'∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．（10分）
24．（本题12分）
【详解】（1）解：令 ，则 ，解得 ， ，
∴点A，B的坐标为 ， ，
当x=0时， ，
∴点C的坐标为 ，
∴ ；（2分）
（2） ，
∴当 时，n随m的增大而减小时；（3分）
（3）由（2）知当 时， 随 的增大而增大，
∴点P在对称轴右侧，
过点 作 轴于点 ，点 作 轴于点 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
，
当 时，即
解得： (舍去)，
当 时，即 ，
解得： (舍去)，
∴点 的坐标为 或 ；（7分）
（4）当 时，解得 ，
当 时， 如图，抛物线与矩形 的边有两个公共点，当 时， 如图，矩形 除顶点P外其余点都在抛物线内，即有一个公共点；
当 时， 如图，抛物线与矩形 的边有两个公共点；
当 时， 如图，抛物线与矩形 的边有三个公共点；当 时， 如图，抛物线与矩形 的边有两个公共点；
当 时， 如图，抛物线与矩形 的边有一个公共点；
，点E在抛物线与y轴交点处，解得 ， （舍去），
∴当 时， 如图，抛物线与矩形 的边有两个公共点；令 ，则抛物线的顶点在 上，这时 ， （舍去），
∴当 时， 如图，抛物线与矩形 的边有三个公共点；
当 时， 如图，抛物线与矩形 的边有两个公共点；
综上所述，当抛物线与矩形 的边有两个公共点时，出m的取值范围为 ， ， ，， ．（12分）
