文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（长春卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8
A A C C B D B D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9． 10．六/6 11． 12． 13． 14．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本题6分）
【详解】解：
；
当 时，
原式 ．
16．（本题6分）
【详解】证明：∵ ，
∴ ，即 ，（2分）
在 和 中，
， （5分）∴ ．（6分）
17．（本题6分）
【详解】】解：画树状图如下：
（3分）
共有9种等可能的结果，其中抽到相同类有2种可能的结果，
甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为 ．（6分）
18．（本题7分）
【详解】解：任务1：作 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
， ，
又∵
∴四边形 为矩形
∴
答：遮阳棚前端 到地面 的距离为 ；（3分）
任务2：在 中， ，
，
∵四边形 为矩形
∴ ，
在 中， ，答：非机动车道有效遮阳宽度 的长为 ．（7分）
19．（本题7分）
【详解】（1）解：如图①中，四边形 即为所求；
（2分）
（2）解：如图②中，线段 即为所求；
（2分）
（3）解：如图③中，点 即为所求．
（7分）
20．（本题7分）
【详解】（1）18．（1分）
②第1小组“得分为4分”这一项的人数为 （人），
补全第1小组得分条形统计图如下∶（3分）
（2）5， ，3．（6分）
（3）解： （人）．
答：估计该校有720名学生竞赛成绩不低于90分．（7分）
21．（本题8分）
【详解】（1）解：由题意可知图中 段图象是乙车从 地到 地的行驶过程，
由图象可知 ， ，
可设 ，代入 ， ，得 ，解得 ，
∴乙车从 地到 地的行驶过程中 关于 的表达式为： ；（2分）
（2）80，6；（4分）
（3）由题意可知，甲车从 地出发时，乙车已经出发了2小时，
若距离出发 小时，两车第一次相遇，
可得： ，解得： ，
此时，相遇点与 地的距离为 千米；（6分）
（4）当甲还没到 时，两车之间相距100千米，可得 ，解得： ；
当甲、乙相遇之前时，两车之间相距100千米，可得： ，解得： ；
当甲、乙相遇之后，且甲车没有到达 地时，两车之间相距100千米，可得： ，解得： （不符合题意，舍去）；
当甲车到达 地后，乙车还没有到，两车之间相距100千米，可得： ，解得：
（不符合题意，舍去）；
综上，当两车之间相距100千米时， 或 ．（8分）
22．（本题9分）
【详解】解：（1） ．（2分）
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
解得 或 （舍去负值），
∴ ，
∴ ；（5分）
（3）解：如图，分别延长 相交于点G，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 的边长为 ．（9分）
23．（本题10分）
【详解】（1）解：∵ ，
， ，
， ，
；（2分）
（2）解：当点 与点 重合时，如图 所示：， ，
，
；（4分）
（3）如图 所示，当正方形 与 的重叠部分为四边形时，
由（ ）知， ， ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
，
，
，
∵ ，
∴ ，
又由（ ）可得， ，∴自变量 的取值范围为 ，
∴ ；（7分）
（4）解： 的值为 或 或 ．（10分）
24．（本题12分）
【详解】（1）证明：令 ，则 ，
∵ ，
∴不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，
∴二次函数图象与x轴总有两个公共点．（2分）
（2）解：由二次函数的解析式得 ，
函数图象对称轴为直线 ，最大值为4．
，
，
∴当 时，y取得最小值，最小值为 ，
，解得 或 （舍去），
二次函数的解析式为 ．（4分）
（3）①证明：对称轴为直线 ，
∴
∴二次函数解析式为 ．
令 ，则 ，解得 或 ，
则 ，
令 ，则 ，则
∴ ．
设 ，由题意知 ，且均不为0，2．设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．（记为①式）
又 直线 过点 ，
，即 ．
同理设直线 的解析式为 ，
把 代入得
解得 ，
直线 的解析式为 ．（记为②式）
同理得直线 的解析式为 ．（记为③式）
由②③式联立得 ，
解得
．
若点P在一条定直线上，设点P所在直线解析式为 ，代入点P的坐标得
，将①式代入化简得 ，
由对应系数相等得 ，
∴点P所在直线解析式为 ，即点P在一条定直线上．（8分）
②解：当 时，直线l的解析式为 或 ．（12分）
