文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（长春卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8
B C A D A B B C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9． 10． 11． / 12． 13． 14．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本题6分）
【详解】解：原式 （2分）
，（4分）
当 时， （6分）．
16．（本题6分）
【详解】解：将参观确山竹沟革命纪念馆、桐柏精神红色教育基地分别记为A、B，
画树状图为：
（3分）
由树状图可知共有8种等可能的结果，三个小组参观同一个教育基地的结果有2种，
∴三个小组参观同一个红色教育基地的概率为 ．（6分）17．（本题6分）
【详解】解：设每支2B铅笔和每个涂卡尺的价格分别为 元， 元，根据题意，
得 （3分）
解得
答：每支2B铅笔和每个涂卡尺的价格分别为0.8元和1.5元．（6分）
18．（本题7分）
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 于 ， 于 ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；（4分）
（2）由（1）知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．（7分）
19．（本题7分）
【详解】（1）解：如图，四边形 就是所要求作的四边形．
（3分）
（2）解：如图，四边形 就是所要求作的四边形．（答案不唯一）（7分）
20．（本题7分）
【详解】（1）10（2分）；95（3分）；90（5分）
（2）解：小明应该选择50米跑，理由如下：
解：从平均数和方差看，立定跳远和50米跑的成绩都一样，从中位数和众数看，50米跑的成绩高于立定
跳远的成绩，故小明应该选择50米跑．（7分）
21．（本题8分）
【详解】解：(1)120，24，10（3分）
（2）解：直线 的函数解析式为 ，把 代入，得
，
解得 ，
∴ ；（6分）
（3）解：设挡板 运动后的位置为 ，由题意，得
，
∵小球恰好位于这两个挡板中点，
∴ ，
解得 ，
∴t的值为 ．（8分）
22．（本题9分）
【详解】解：（1） 是等边三角形，理由如下：
四边形 是菱形， ，，
，
点 、 、 、 共圆，
， ，
是等边三角形；（2分）
（2） ；（5分）
（3）【拓展】 或 （9分）
23．（本题10分）
【详解】（1） （1分）
（2）解：由题意得， ，
，
四边形 是菱形，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
．（3分）
（3）解：由题意得， ，
， ，
是等边三角形，
．
四边形 是菱形，
，
，
，
又 ，，
，
，
，
，
为直角三角形，过点B作 于点F，
是等边三角形， ，
，
在 中， ，
， ，
，
．（7分）
（4）解：由（3）可知： 为直角三角形，
，
，
， ，
，
， ，
，
当 的值最小时，线段 的值也最小，
， ，
当 时， 的值最小，连接 ，， ，
，
，
，
，
．
当 时，线段 的值最小．（10分）
24．（本题12分）
【详解】（1）解：将 代入 可得： ，
∵对称轴是直线 ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴二次函数解析式为 ；（2分）
（2）解：∵二次函数解析式为 ；
当 ，则 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
设 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ， ，
∵P的横坐标为a， 轴，
∴P点坐标为 ，D点坐标为 ，∴ ，
∵ 平行于x轴，
∴C、E关于对称轴 对称，且 ，
∴E点坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
当 是P与E重合，舍去，
∴ ，
∴ ；（5分）
（3）解：过点A作x轴的垂线交 于点G，
∵直线 的解析式为： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值，最大值是 ；（8分）（4）解：当 时， ，
设直线 的解析式为： ，
把 ， ，
代入可得： ，解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
如图，设点M关于 的对称点为 ，连接 ，交 于点R，交x轴于点N，则R是 的中点，且
，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
设点 ，∴ ，解得 ，
设直线 的解析式为： ，
将 ， 代入，可得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
令 ，解得 ，
∴ ，∴ ，∵ ，且R是 的中点，
∴ ，
∵点 在抛物线上，
∴ ，
解得： ， （ 舍），
∴ ．（12分）
