文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（青岛卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．自2025年1月11日， 全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，
1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．11040000用科学记数法可
表示为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】D
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为 ，其中 ，n为
整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即
可．
【详解】解：11040000用科学记数法可表示为 ，
故选：D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图
形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 度后与原图重合．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．
故答案为：B．
3．如图，数轴上点 A 表示的数是（ ）
A．3 B．3的相反数 C．3的绝对值 D．3的倒数
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，相反数的意义，绝对值的定义以及倒的定义，数轴上点 A 表示的数是
，根据相反数的定义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由题可知，数轴上点 A 表示的数是 ，即3的相反数，
故选：B．
4．若一个机器零件放置位置如图1所示，其主（正）视图如图2所示，则其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由几何体和它的主视图可知，该几何体由一个小长方体和一个大长方体组成，且小长方体位于大
长方体上方的中间位置，所以该几何体的俯视图是D.
故选D.
5．下列计算正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】根据单项式的除法法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则和合并同类项法则依次判断即可．
【详解】解：A、等式左边 ，故运算正确，符合题意；
B、等式左边 ，故运算不正确，不符合题意；
C、等式左边 ，故运算不正确，不符合题意；
D、等式左边 ，故运算不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式的除法法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则和合并同类项法则，解题关
键是牢记运算法则．
6．如图，平面直角坐标系中， 在 轴上， ，点 的坐标为 ．将 绕点 逆时针
旋转 ，则点 的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转变换的图形变化与坐标的关系，根据旋转的性质，旋转前后两图形的大小不变是
解题的关键． 根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，可知点C的横坐标的长度等
于 ，纵坐标的长度等于 ，然后根据点A的坐标进行计算即可求解．
【详解】解：设 ，
点 的坐标为 ，
，
将 绕点 逆时针旋转90°，
， ，，
，
，
，
，
，
故选： ．
7．如图，边长相等的正五边形和正 边形（ ）拼接在一起，则 度数可能是（ ）
A．54° B．30° C．24° D．18°
【答案】C
【分析】本题考查了多边形内角和公式，等腰三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
先由内角和公式得出 与 的度数，再求出 的度数，最后根据 ，可知
，即可求出 的度数．
【详解】解：根据题意， ，
且为整数，
若 ，则
故选：C．
8．如图，在 中， ，将 绕点O顺时针旋转 后得 ，将线段 绕点E逆时针旋转 后得线段 ，分别以 为圆心， 长为半径画弧 和弧 ，
连接 ，则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理，扇形的面积公式为
．作 于H，根据勾股定理求出 ，根据阴影部分面积 的面积 的面积
扇形 的面积 扇形 的面积、利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：作 于H，如图所示：
∵ ， ， ，
∴ ，
由旋转，得 ，
∴ ， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
阴影部分面积 的面积 的面积 扇形 的面积 扇形 的面积
．
故选：D．
9．二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；② ；③m为任意实数，
则 ；④ ；⑤若 ，且 ，则 ．其中正确的个数
是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行
判断，是解题的关键．
①根据开口方向，对称轴，与 轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；
④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，则 ，
∵对称轴为直线 ，则 ，
∴ ，故②正确
抛物线与 轴交于负半轴，则 ，
∴ ，故①错误；∵当 时，取得小值，
∴ ，
当m为任意实数，则 ，故③正确，
④∵抛物线关于 对称，
∴ 和 的函数值相同，
即： ，
由图象知，当 时，函数值大于0，
∴ ，故④正确；
⑤当 关于 对称时：即： 时，
对应的函数值相同，
即： ，
∴
∴若 ，且 ，则 ；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10． ．
【答案】3
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，正确求解是解
答的关键．先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，再加减运算即可．
【详解】解：，
故答案为：3．
11．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为8.8环，方差分别为 ，
， ， ，则四人中成绩最稳定的是 ．
【答案】乙
【分析】此题考查了方差的意义，方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的稳定性，方差越小，
说明数据越稳定，据此进行判断即可 ．
【详解】∵ ，即 ，
∴四人中成绩最稳定的是乙．
故答案为：乙
12．四边形 是菱形，E是 的中点，连接 交 延长线于点C，连接 ．若 ，
，则 的长等于 ．
【答案】
【分析】由菱形的性质得 ， ，则 ，所以 ，则
，所以 ，由 ，可证明 是等边三角形，则 ，
可求得 ，则 ，所以 ，于是得到问题的答案．
【详解】解： 四边形 是菱形，
， ，，
是 的中点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角形函
数与解直角三角形等知识，证明 是解题的关键．
13．为了喜迎元旦，某区筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块正方形的广场空地上搭建舞台，并设计了
如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为6米，中间空白的面积为216平方米，若设正
方形空地的边长为x米，则可列方程 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的应用．若设正方形空地的边长为x米，则中间空白的长为 米，宽为 米，根据长方形面积公式即可列出方程．
【详解】解：根据题意，得 ，
故答案为： ．
14．如图， ， ，以 为直径作半圆O，P为弧 上一点，且 最大，延长 、
，交于点D．则 的值为 ．
【答案】 /0.6
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，切线长定理，根据切线的性质和判定
得到 ，利用切线长定理得到 ，证明 ，设 ，
，则 ，利用相似的性质得到 ，进而得到 ，再根据正弦的定义求解，
即可解题．
【详解】解：连接 ，
P为弧 上一点，且 最大，
， ，
，
与圆 相切于点 ， 与圆 相切于点 ，
， ，
，
，，
，
设 ， ，则 ，
，
， ，
，
，
，
，
．
15．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧而和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓
库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则 的
值可能是 ．（填序号）
①2022 ②2021 ③2020 ④2019 ⑤2018
【答案】③
【分析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张
数列出方程组，再根据x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可．
【详解】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，
根据题意得 ，两式相加得，m+n=5（x+y），
∵x、y都是正整数，
∴m+n是5的倍数，
∵①2022、②2021、③2020、④2019、⑤2018五个数中只有2020是5的倍数，
∴m+n的值可能是2020．
故答案为：③．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据未知数系数的特点，观察出所需两种纸板的张数的和正
好是5的倍数是解题的关键．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
16．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知： 和线段a．求作： ，使它与 的两边相切，半径等于线段a．
【答案】图见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图，根据 与 的两边相切，得到圆心 在 的角平分线上，
作 的角平分线 ，在 上找一点 ，过点 作 的垂线，以点 为圆心，线段 的长为半径，
画弧，交垂线于点 ，过点 ，作 的垂线，交 于点 ，再以点 为圆心，线段 的长为半径，画圆
即可．
【详解】解，如图， 即为所求．
三、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（9分）（1）化简：
（2）求不等式组 的整数解．【答案】（1） （2） ；
【分析】本题主要考查分式的化简运算，不等式组的解法；
（1）根据分式的混合运算法则进行计算即可；
（2）先求出不等式组的解集，再求整数解即可．
【详解】解：（1）原式
．
（2） ，
由①得：
解得： ，
由②得：
解得： ，
该不等式组的解集为：
该不等式组的整数解为： ．
18．（6分）为缓解交通高峰期学校周边交通拥堵问题，学校对学生到校方式做了抽样调查，经调查学生
主要有步行、乘私家车、乘学生班车、骑自行车等四种到校方式．根据调查结果绘制了下面两幅不完整的
统计图，请根据图中提供的信息，解答下面的问题：(1)此次共调查了多少名同学？
(2)将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中骑自行车方式到校部分的圆心角度数；
(3)如果该校共有 名学生，学校通过动员希望乘坐私家车到校的有 改乘学生班车，从安全考虑，每
辆学生班车可以乘坐30名学生，那么估计学校至少需要安排多少辆班车？
【答案】(1)200名
(2)图见解析，
(3)至少需要11辆车
【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图信息关联．
（1）用步行的人数除以对应的百分比即可；
（2）求出骑自行车人数，补全统计图，再用骑自行车的百分比乘以 即可得到答案；
（3）求出原来坐班车人和后来私家车改乘班车人数的和，再除以30即可得到答案．
【详解】（1）解： （人）
答：此次共调查了200名同学；
（2）骑自行车人数为： （人）
补全统计图如下：
即扇形统计图中骑自行车方式到校部分的圆心角度数为 ；
（3） （人）……15人
答：至少需要11辆车
19．（6分）在一次数学活动中，小明设计了一个配紫色的游戏．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装
有除颜色以外其它均相同的4个小球，其中2个红球，2个蓝球．甲先从袋中随机摸出一个小球，乙再从
袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球的颜色恰好能配成紫色（红色和蓝色可以配
成紫色），则甲获胜；否则乙获胜．
(1)用树状图或列表法求出甲获胜的概率；
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不公平，理由见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，
否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据题意先画出树状图，得出一共有12种情况，两个小球的颜色恰好能配成紫色的有8种情况，即
可求出甲获胜的概率；
（2）求出乙获胜的概率，再与甲比较即可．
【详解】（1）解：由题意，列表格得：
甲
红1 红2 蓝1 蓝2
乙
红1 （红1，红2） （红1，蓝1） （红1，蓝2）
红2 （红2，红1） （红2，蓝1） （红2，蓝2）
蓝1 （蓝1，红1） （蓝1，红2） （蓝1，蓝2）
蓝2 （蓝2，红1） （蓝2，红2） （蓝2，蓝1）
∵共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中甲获胜的有8种，
∴甲获胜的概率是： ；
（2）不公平，理由如下：由（1）知 ，
∵ ，
∴这个游戏不公平．
20．（6分）阿代的数学研学日记
课题：测量旗杆的高度
地点：青岛市山海二十六中学操场
时间：2025月3月2日
昨天上午代兴国老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，
方案如下：小亮拿着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗
杆的影长，如图1所示，标杆 ，影长 ，旗杆的影长 ，则可求得旗杆
的高度为_______．
今天测量时阴天就不能用昨天
的方案了，如图2所示，张世昌老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地
面，用仪器测得绳子与地面的夹角为 ，然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台上，拉
直绳子使绳子上的H点刚好触到平台，剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的
夹角为 ，利用这些数据能求出旗杆 的高度吗？
请你回答阿代的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由．
（参考数据： ， ， ； ， ， ）
【答案】 ；旗杆高度可求，为 米
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，相似三角形的应用，解决本题的关键是要熟练掌握解直角三
角形的方法．
（1）首先证明出 ，得到 ，然后代入即可求出 ；（2）如图所示，过点H，作 于N，设 米，解直角三角形得到 的长，进而求解即可．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
（2）如图所示，过点H，作 于N，
设 米，
米，
在 中， ，
，
在 中， ， ，
，
，
，
解得： ，
答：旗杆高度可求，为 米．21．（8分）某校计划组织开展“劳动技能”比赛活动，活动计划评出100名获奖参赛个人，并设立一、
二、三等奖，分别奖励一件A、B、C三种价格不同的奖品．已知购买1件A奖品和2件B奖品共63元；
购买2件A奖品和3件B奖品共108元．设获一、二、三等奖的人数分别为a，b，c，且 ， ．
(1)求A奖品和B奖品的单价；
(2)因购买数量较多，商家同时给予以下两种优惠：
①每购买1件A奖品赠送2件C奖品；
②购买A奖品15件以内（含15件）按原价，超过15件时，每多购买一件，所有A奖品的单价降低0.2元
（单价最多降低4元）．已知C奖品的单价是10元，赠送的C奖品不足以奖励所有获得三等奖的学生，需
要再购买一部分C奖品．问：怎样设置一等奖人数使购买方案最省钱？并求出购买奖品费用的最小值．
【答案】(1)A奖品的单价为27元，B奖品的单价为18元
(2)设置一等奖16人可使购买方案最省钱，购买奖品费用的最小值为1140.8元
【分析】本题考查二次函数、二元一次方程组和一元一次不等式的应用，掌握二元一次方程组和一元一次
不等式的解法和二次函数最值的求法是解题的关键．
（1）设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元，根据“ 奖品的单价 奖品的数量 奖品的单价
奖品的数量 金额”列方程组并求解即可；
（2）根据题意，得三等奖的人数为 人.设购买奖品费用为 元，根据“购买奖品费用 奖品
的单价 购买 奖品的数量比 件多出的件数 购买 奖品的数量 奖品的单价 购买 奖品的数
量 奖品的单价 购买 奖品的数量 购买 奖品的数量 ”写出 关于 的函数关系式，然后求出
的取值范围，然后根据函数性质得到最值解题即可．
【详解】（1）解：设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元．
根据题意，得 ，
解得 ，
∴A奖品的单价为27元，B奖品的单价为18元．
（2）解：根据题意，得三等奖的人数为 人．
设购买奖品费用为w元，则，
，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 且a为整数，
∴当 时，w最小， ，
∴设置一等奖16人可使购买方案最省钱，购买奖品费用的最小值为1140.8元．
22．（8分）如图，点 在反比例函数 的图象上，过点P作 轴交反比例函数
的图象于点M，作 轴交反比例函数 的图象于点N，连接 ．
(1)求k的值；
(2)求 的面积；
(3)连接 ，直接写出 的面积．
【答案】(1)6
(2)
(3)
【分析】本题考查反比例函数解析式，反比例函数k的几何意义．掌握反比例函数图象上的任意一点作x
轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可；（2）延长 交y轴、x轴分别为A、B，得到 ，进而得到 ，
求出 即可求解；
（3）根据题意得到 ，由 即可求解．
【详解】（1）解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
k的值为6；
（2）解：如图，延长 交y轴、x轴分别为A、B，
∵点
∴ ，
∵点M、点N在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
的面积为 ；
（3）解： 的面积为 ．理由：
∵点M、点N在反比例函数 的图象上，
∴ ，∴
，
的面积是 ．
23．（8分）如图， 中， ， 相交于点 ， ， 分别是 ， 的中点．
(1)求证： ；
(2)当 与 满足什么关系时，四边形 是矩形？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，四边形 是矩形，理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质
是解题关键．
（1）先根据平行四边形的性质可得 ，再根据线段中点的定义可得
，然后根据平行四边形的判定可得四边形 是平行四边形，最后根据平行四边
形的性质即可得证；
（2）先根据矩形的判定可得当 时，四边形 是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形
的性质可得 ，由此即可得出结论．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
分别是 ， 的中点，
，
四边形 是平行四边形，
．（2）解：由（1）已证：四边形 是平行四边形，
要使平行四边形 是矩形，则 ，
，
，即 ，
，
故当 时，四边形 是矩形．
24．（10分）如图1，为打造旅游休闲城市，某地在地面上沿绿道旁的母亲河打造喷水景观，喷出的水柱
为抛物线，为保持路面干燥，水柱要喷入河中，图2是其截面图，已知路面 宽为3.5米，河道坝高
为5米，B与A的水平距离 为2.5米．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离路面距离的最大值为
3米，以点O为坐标原点，射线 为x轴正方向建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米？
(3)水柱落入水中会荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上，当河水降至离路面距离为
多少时，水柱刚好落在水面上？
【答案】(1)
(2) 米
(3) 米
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能运用待定系数法求解析
式是关键．
（1）依据题意得：二次函数的顶点坐标为 ．故设该二次函数的解析式为： ，再结合
经过原点，求出a即可得解；（2）依据题意，由（1）该二次函数的解析式为： ，从而可得当 时， ，进
而可以判断得解；
（3）依据题意，可得 ，B的坐标为 ，再设 的解析式为 ，建立方程组可
得k，b进 而可得直线 ，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意得：二次函数的顶点坐标为 ．
设该二次函数的解析式为：
二次函数经过原点，
解得：
该二次函数的解析式为： ；
（2）解： 当 时，
答：护栏的最大高度为 米．
（3）解：点 的坐标为 ，点 的坐标为
设 的解析式为
解得：
解得： （不合题意，舍去），
当 时，答：河水降至离路面距离 米时，水柱刚好落在水面上．
25．（10分）已知：如图，在矩形 中， ， ，对角线 ， 交于点O，点P
从点C出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，点Q从点D出发，沿 方向匀速运动，速度为
．过点Q作 ，交 于点M，连接 ， 分别交 于点E，F．设运动时间为
，解答下列问题：
(1)当t为何值时， ？
(2)设 的面积为 ，求S与t的函数关系式．
(3)是否存在某一时刻t，使 将 分成 和四边形 面积比为 ？若存在，求出t的值；
若不存在，请说明理由．
(4)延长 交 于点N，是否存在某一时刻t，使点P在线段 的垂直平分线上？若存在，求出t的值；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
(4)
【分析】（1）根据矩形的性质得出 ， ，再根据平行线分线段成比例定理得
出 ，从而得出 ，然后根据根据平行分线段即可得出答案；（2）过点 作 于点 ，交 于点 ，根据相似三角形的判定及性质得出 ，从而得
出 ，再根据 代入化简即可得出答案；
（3）首先得 ，然后证明出 ，得到 ，然后证明出
，得到 ，然后代数求解即可．
（4）连接 ，过点 作 于点 ，根据垂直平分线的性质得出 ，再根据平行线分线段成
比例定理得出 ，然后根据勾股定理求解即可得出答案．
【详解】（1） 四边形 是矩形，
， ，
，
，
即 ，
，
，
若 ，则 ，即 ，
解得： ，
即当 为 时， ；
（2）如图1，过点 作 于点 ，交 于点 ，四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
．
与 的函数关系式为 ；
（3）存在某一时刻，使 将 分成 和四边形 面积比为 ，
理由如下：
若 和四边形 面积比为 ，则 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ 与 的相似比为 ，
即 ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴存在某一时刻，使 将 分成 和四边形 面积比为 ，t的值为 ；
（4）如图2，连接 ，过点 作 于点 ，
点 在线段 的垂直平分线上，
，
，
，
，
，
，，
，
解得 （舍去）， ，
答： 为 时， 在线段 的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质、垂直
平分线的性质，二次函数的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
