文档内容
2025 年中考第三次模拟考试
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
A． B． C． D．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
5．如如图，在直角坐标系中， 各点坐标分别为 ， ， ．先作 关于原点
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
中心对称的 ，再把 平移后得到 ．若 ，则点 坐标为（ ）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图
形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图， ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于点 ，再分别以点 为圆
心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点 ，画射线 交 于点 ．若 ，则 的大小
A．杨辉三角 B．割圆术示意图 C．赵爽弦图 D．洛书
2．据网络平台数据《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）超153.47亿元人民币暂列全球票房榜第
为（ ）
五名！15347000000科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
7．如图， 为 的弦，直线 与 相切于点C，且 ，连接 ， ，若点D为
4．如图，该几何体的俯视图是（ ）
弦 所对弧上一点，则 为（ ）甲 85 93 90
乙 80 95 90
根据实际需要，学校将说课、讲课和学科知识三项测试得分按 的比例确定每人的最终成绩，选择成绩
最高者参加大赛，则应选择 (填“甲”或“乙”)．
A． B． C． 或 D． 或 13．如图，正五边形 的两条对角线 与 相交于点P，若 ，则四边形 的周长为
．
8．已知m是一元二次方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．2025 B．2023 C．2021 D．2018
9．如图，是二次函数 的部分图象，该图象经过点 ，其对称轴为：直线 ，
则下列结论：① ；② ；③若 且 ，则 ；④关于
14．如图，在平面直角坐标系中，过点 分别作 轴于点 轴于点 ，反比例函数
的一元二次方程 的根为 ；⑤若点 ， 在抛物线上，则 ．其中正确的个
数有（ ） 的图象分别与 ， 相交于 两点，连接 ．若四边形 的面积为4，则
的值为______．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第Ⅱ卷
15．如图，在正方形 中， 是以 为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点 ，则点落
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
在阴影部分的概率是 ．
10． ．
11．“立身以立学为先，立学以读书为本”，为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以
来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆1260人次，若进馆人次的月增长
率相同，设为 ，依题意可列方程 ．
12．某市教育局要从甲、乙两名优秀的数学教师中选择一名代表市里参加省级优质课大赛，下表是两名数
学教师说课、讲课和学科知识三项测试的成绩(单位：分)：
三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
说课 讲课 学科知识
16．已知： 及其一边上的两点A， ．求作：以 为底的等腰 ，使点 在 的内部，且．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)下列说法正确的是______．
A．样本为n名学生 B．a＝12 C．m＝40
四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(2)“ ”这组的数据的众数是______．
17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分）（1）计算： ． (3)随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是______；平均分是______；
(4)若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数．
19．（本小题满分6分）二十四节气，是上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史积
（2）先化简，再求值： ，其中 是不等式组 的整数解．
淀．张涛收集了四张节气图案的卡片： ．小满， ．芒种， ．夏至， ．小暑，这些卡片除正面图案
外无其他差别，洗匀后背面朝上放置．
18．（本小题满分6分）2022年末，中国迎来第一波疫情高峰．为加强同学们的防护意识，某校举行了以
“疫情防护”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随
机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩
分组统计表和扇形统计图，下面为部分数据：其中“ ”这组的部分数据（从小到大排序）如下：
80，82，82，83，83，84，85，85，85，86，87，87，87，88，88……其中“ ”这组的数据如下： (1)张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．小满”的概率是 ；
90，92，93，95，95，96，96，96，97，100． (2)若张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，洗匀后妹妹再从剩下的三张卡片中随机抽取一张卡片，
竞赛成绩分组统计表 请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C．夏至”的概率．
组别 竞赛成绩分组 频数 平均分
20．（本小题满分6分）如图 是某越野车的侧面示意图，折线段表示车 后盖，已知 ，
1 8 65
， ，该车的高度 ．打开后备厢如图 ，车后盖 落在 处，
2 a 75
与水平面的夹角 ．
3 b 88
4 10 95
(1)求打开后备用后，车后盖最高点 到地面 的高度．(2)若小明爸爸的身高为 米，他从打开的车后盖 处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．
21．（本小题满分8分）如图，四边形 是平行四边形，点 ， 分别是 ， 的中点，点 ，
在对角线 上，且 ．
【问题探究】
（1） ______ ；
(1)求证： ； （2）如图 ，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第
(2)若 ，求证：四边形 是矩形．
次剪取，并记这四个正方形面积和为 继续操作下去 ，则第 次剪取时， ______ ；第 次剪取时，
22．（本小题满分8分）2025年春晚舞台上，字树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧 ______ ．
歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，
【拓展延伸】
更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买 两种机
在第 次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______ ．
器人进行销售．已知每个 种机器人比 种机器人贵5万元，用1200万元购进 种机器人的数量是用650
万元购进 种机器人数量的2倍．
(1)求购买一个 种机器人、一个 种机器人各需多少万元？ 24．（本小题满分10分）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习．
(2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批 、 两种机器人共100个，且 种机器人数 【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度
忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图．
量不超过 种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当 种机器人提价 种机器售价为购买价的 倍
【实践应用】已知隧道的路面宽为 ，隧道顶部最高处点P距地面 ，按规定，过隧道的车辆的顶部
时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最 与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为 ．现有一辆宽 、高 的厢式货车计划从隧道驶过．
大，求出最大利润及对应的购进方案．
23．（本小题满分8分）【问题背景】
如图 ， 是一张等腰直角三角形纸板， ， 取 、 、 中点进行第 次剪
（1）求该抛物线的函数表达式．
取，记所得正方形面积为 ，如图 ，在余下的 和 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正 （2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由．
【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题：
方形，称为第 次剪取，并记这两个正方形面积和为 如图 .
（3）如图2，在抛物线内作矩形 ，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形
的周长为l，求l的最大值．
（4）在（3）的条件下，如图3，在矩形 周长最大时，将矩形 绕点D逆时针旋转 （），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角 的度数．
25．（本小题满分10分）已知：如图，在菱形 中， ， ，动点 从点 出发，
沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ，连接
，设运动时间为 ．
(1)延长 交 于点 ，若四边形 是平行四边形，求 的值；
(2)当 为何值时，点 运动到 的垂直平分线上？
(3)设四边形 的面积为 ，求 与 的函数关系式．
