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2025 年中考第二次模拟考试（青岛卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
D B B D A B C D C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10． 3．
11．乙
12． ．
13． ．
14．
15． ③．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
16．解，如图， 即为所求．
三、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（9分）解：（1）原式 ………………………………… 1 分………………………………… 2 分
．………………………………… 4分
（2） ，
由①得：
解得： ，………………………………… 6分
由②得：
解得： ，
该不等式组的解集为： ………………………………… 8 分
该不等式组的整数解为： ．………………………………… 9 分
18．（6分）（1）解： （人）
答：此次共调查了200名同学；………………………………… 2分
（2）骑自行车人数为： （人）
补全统计图如下：
即扇形统计图中骑自行车方式到校部分的圆心角度数为 ；………………………………… 4 分（3） （人）
……15人
答：至少需要11辆车………………………………… 6 分
19．（6分）（1）解：由题意，列表格得：
甲
红1 红2 蓝1 蓝2
乙
红1 （红1，红2） （红1，蓝1） （红1，蓝2）
红2 （红2，红1） （红2，蓝1） （红2，蓝2）
蓝1 （蓝1，红1） （蓝1，红2） （蓝1，蓝2）
蓝2 （蓝2，红1） （蓝2，红2） （蓝2，蓝1）
∵共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中甲获胜的有8种，
∴甲获胜的概率是： ；………………………………… 4分
（2）不公平，理由如下：
由（1）知 ，
∵ ，
∴这个游戏不公平．………………………………… 6 分
20．（6分）（1）解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ；………………………………… 3 分（2）如图所示，过点H，作 于N，
设 米，
米，
在 中， ，
，
在 中， ， ，
，
，
，
解得： ，
答：旗杆高度可求，为 米．…………………………………6 分
21．（8分）1）解：设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元．
根据题意，得 ，…………………………………1 分
解得 ，………………………………… 2 分
∴A奖品的单价为27元，B奖品的单价为18元．…………………………………3 分
（2）解：根据题意，得三等奖的人数为 人．
设购买奖品费用为w元，则，
………………………………… 5 分
，
解得 ，………………………………… 6 分
∵ ，
∴ ，
∵ ， 且a为整数，
∴当 时，w最小， ，………………………………… 7分
∴设置一等奖16人可使购买方案最省钱，购买奖品费用的最小值为1140.8元．………………………8分
22．（8分）如图，点 在反比例函数 的图象上，过点P作 轴交反比例函数
的图象于点M，作 轴交反比例函数 的图象于点N，连接 ．
(1)求k的值；
(2)求 的面积；
(3)连接 ，直接写出 的面积．
（1）解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
k的值为6；………………………………… 2 分
（2）解：如图，延长 交y轴、x轴分别为A、B，∵点
∴ ，
∵点M、点N在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
的面积为 ；………………………………… 5 分
（3）解： 的面积为 ．理由：
∵点M、点N在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴
，
的面积是 ．…………………………………8 分
23．（8分）如图， 中， ， 相交于点 ， ， 分别是 ， 的中点．(1)求证： ；
(2)当 与 满足什么关系时，四边形 是矩形？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，四边形 是矩形，理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质
是解题关键．
（1）先根据平行四边形的性质可得 ，再根据线段中点的定义可得
，然后根据平行四边形的判定可得四边形 是平行四边形，最后根据平行四边
形的性质即可得证；
（2）先根据矩形的判定可得当 时，四边形 是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形
的性质可得 ，由此即可得出结论．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
分别是 ， 的中点，
，
四边形 是平行四边形，
．
（2）解：由（1）已证：四边形 是平行四边形，
要使平行四边形 是矩形，则 ，
，
，即 ，
，
故当 时，四边形 是矩形．24．（10分）如图1，为打造旅游休闲城市，某地在地面上沿绿道旁的母亲河打造喷水景观，喷出的水柱
为抛物线，为保持路面干燥，水柱要喷入河中，图2是其截面图，已知路面 宽为3.5米，河道坝高
为5米，B与A的水平距离 为2.5米．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离路面距离的最大值为
3米，以点O为坐标原点，射线 为x轴正方向建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米？
(3)水柱落入水中会荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上，当河水降至离路面距离为
多少时，水柱刚好落在水面上？
【答案】(1)
(2) 米
(3) 米
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能运用待定系数法求解析
式是关键．
（1）依据题意得：二次函数的顶点坐标为 ．故设该二次函数的解析式为： ，再结合
经过原点，求出a即可得解；
（2）依据题意，由（1）该二次函数的解析式为： ，从而可得当 时， ，进
而可以判断得解；
（3）依据题意，可得 ，B的坐标为 ，再设 的解析式为 ，建立方程组可
得k，b进 而可得直线 ，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意得：二次函数的顶点坐标为 ．设该二次函数的解析式为：
二次函数经过原点，
解得：
该二次函数的解析式为： ；
（2）解： 当 时，
答：护栏的最大高度为 米．
（3）解：点 的坐标为 ，点 的坐标为
设 的解析式为
解得：
解得： （不合题意，舍去），
当 时，
答：河水降至离路面距离 米时，水柱刚好落在水面上．
25．（10分）已知：如图，在矩形 中， ， ，对角线 ， 交于点O，点P
从点C出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，点Q从点D出发，沿 方向匀速运动，速度为
．过点Q作 ，交 于点M，连接 ， 分别交 于点E，F．设运动时间为，解答下列问题：
(1)当t为何值时， ？
(2)设 的面积为 ，求S与t的函数关系式．
(3)是否存在某一时刻t，使 将 分成 和四边形 面积比为 ？若存在，求出t的值；
若不存在，请说明理由．
(4)延长 交 于点N，是否存在某一时刻t，使点P在线段 的垂直平分线上？若存在，求出t的值；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
(4)
【分析】（1）根据矩形的性质得出 ， ，再根据平行线分线段成比例定理得
出 ，从而得出 ，然后根据根据平行分线段即可得出答案；
（2）过点 作 于点 ，交 于点 ，根据相似三角形的判定及性质得出 ，从而得
出 ，再根据 代入化简即可得出答案；
（3）首先得 ，然后证明出 ，得到 ，然后证明出，得到 ，然后代数求解即可．
（4）连接 ，过点 作 于点 ，根据垂直平分线的性质得出 ，再根据平行线分线段成
比例定理得出 ，然后根据勾股定理求解即可得出答案．
【详解】（1） 四边形 是矩形，
， ，
，
，
即 ，
，
，
若 ，则 ，即 ，
解得： ，
即当 为 时， ；
（2）如图1，过点 作 于点 ，交 于点 ，
四边形 是矩形，
，，
，
，
，
．
与 的函数关系式为 ；
（3）存在某一时刻，使 将 分成 和四边形 面积比为 ，
理由如下：
若 和四边形 面积比为 ，则 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 与 的相似比为 ，
即 ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴存在某一时刻，使 将 分成 和四边形 面积比为 ，t的值为 ；
（4）如图2，连接 ，过点 作 于点 ，
点 在线段 的垂直平分线上，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得 （舍去）， ，
答： 为 时， 在线段 的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质、垂直平分线的性质，二次函数的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．
12． /
13．84或85
14．
15． 或
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）【详解】（1）
（3分）
；（6分）
（2）
（8分）
．（10分）
17．（9分）【详解】（1）解： ，（2分）
八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
；（4分）
（2）解：八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由如下（写出其中一条即可）：（7分）
①七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的中位数94高于七年级学生成绩的中位数
93；②七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的众数100高于七年级学生成绩的众数99；
（3）解：∵七年级10名学生中，成绩在C，D两组中有6人，八年级10名学生中，成绩在C，D两组中
有7人，
∴ （人）．
∴ （人）．（8分）
答：参加此次竞赛活动成绩优秀 的学生人数是468人．（9分）
18．（9分）【详解】解：如图，延长 交 于点M，（1分）
由题意得， ， ， ．（2分）
∴ ．设 ，则 ．
在 中， ，（4分）
在 中， ，（6分）
由 得， ．（8分）
解得 ．
答：旗杆 的高度约为 ．（9分）
19．（9分）【详解】（1）解：如图， 即为所求．
（3分）
（2）解：四边形 是菱形．证明： 平分 ，
．（4分）
四边形 是矩形，
， ，
，（5分）
，
，（6分）
， ，
，（7分）
四边形 是平行四边形．
，
四边形 是菱形．（9分）
20．（9分）【详解】（1）解：将 代入 得， ，（2分）
解得， ，
∴反比例函数的解析式为 ；（4分）
（2）解：由题意知， ，
∴ ，（5分）
∴ 的长为 ；（7分）
（3）解：由题意知，
（8分）
，
∴图中阴影部分面积之和为 ．（9分）
21．（9分）【详解】（1）解：设每件乙种装饰物的价格为x元，则每件甲种装饰物的价格为 元，
依题意，得： ，（2分）解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，（3分）
∴ ．
答：每件甲种装饰物的价格为10元，每件乙种装饰物的价格为6元；（4分）
（2）解：设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物 件，商场获得的利润为 元，
根据题意得 ，
解得 ，（6分）
则 ，
∵ ，
∴ 随m的增大而增大，（7分）
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
此时 ，
答：剩余甲种装饰物150件，则剩余乙种装饰物250件，商场获得的利润最大，最大利润为950元．（9
分）
22．（10分）【详解】（1）解：由表格可知，图象过点 ， ， ，
，（2分）
解得： ，
；
故答案为： ， ；（3分）
（2）解： ，
当 时： ，
解得： 或 （不合题意，舍去）；（4分）米；
，
当 时： ，（5分）
解得： 或 （不合题意，舍去）；
，
，
故答案为： ；（7分）
（3）解： ，
，（8分）
，
，
当 时， ，（9分）
该运动员能在落水前完成此动作．（10分）
23．（10分）【详解】（1）证明：选择解题思路 ，（1分）
， ， ，
，（2分）
， ，
，即 ，
，
，
，
，
，
；（3分）或选择解题思路 ，
，
，
又 ， ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
；
（2）证明：如答图 ，延长 至点 ，使得 ，连接 ，（4分）
是 的中点，
，
又 ， ，
，（5分）
， ，
， ，
，
又 ，即 ，
，
，（6分）
，；（7分）
（3）解：如答图4，延长 至点 ，使得 ，连接 ，
， ， ，
，（8分）
， ，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
， ，
， ，（9分）
， ， ，
，
，
．（10分）
