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2025 年中考第三次模拟考试（长春卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如果地下一层的停车场可以表示为 层，那么地上三层的美食城可以表示为（ ）
A． 层 B． 层 C． 层 D． 层
【答案】A
【分析】此题主要考查正负数的意义，生活中，通常用正负数表示具有相反意义的两种量，如果地下一层
的停车场可以表示为 层，那么地上三层的美食城可以表示为 层．
【详解】解：如果地下一层的停车场可以表示为 层，那么地上三层的美食城可以表示为 层．
故选：A．
2．如图是由四块完全相同的正方体木块组成的几何体，其左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了立体图形的三视图，掌握立体图形的特点，三视图的特点是关键．
根据立体图形的特点分析即可．
【详解】解：左视图为 ，
故选：A ．3．近年来，我国能源保供稳价政策有力推进，能源先进产能平稳有序释放，规模以上工业原煤、原油、
天然气和电力生产同比保持增长．国家统计局网站发布2025年1-2月份能源生产情况表明，原煤生产增速
加快， 月份，规模以上工业原煤产量770000000吨，将770000000用科学记数法可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．
【详解】解： ，
故选：C
4．如图， 中，若 ， ，按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径画弧，
分别交 于点 ；②分别以点 为圆心．大于 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相
等）在 的内部相交于点 ；③作射线 ，与 相交于点 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互
余可求出 ，由作图得 ，由三角形的外角的性质可得 ，故可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
，
由作图知， 平分 ，
，又 ，
，
故选：C．
5．如图， 是 绕点 旋转得到的， ， ，则旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求旋转角，三角形内角和定理，解题的关键是要理解旋转是一种位置变换，旋转
前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
先根据三角形内角和定理求出，再结合图形可知，旋转角即为的度数，据此可得答案．
【详解】解：根据三角形的内角和定理得， ,
由图可知 即为旋转角，
∴旋转角的度数为 ，
故选：B．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法，合并同类项，熟悉运算法则是解题的关键．
根据积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法法则解答．
【详解】解：A、 ，故本选项错误；
B、 ，故本选项错误；
C、 ，故本选项错误；D、 ，故本选项正确；
故选：D．
7．如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆 垂直底座 于点O，现调节台灯使外侧光线
， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作 ，过点B作 ，则
，由 得到 ，则 ，进而得到
，再根据平行线的性质得到 ，由此即可得到
．正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点A作 ，过点B作 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
8．如图，已知 ， 为 上一点，以 为半径的圆经过点 ，且与 、 交于点 、 ，设
， ，则（ ）
A．若 ，则弧 的度数为 B．若 ，则弧 的度数为
C．若 ，则弧 的度数为 D．若 ，则弧 的度数为
【答案】D
【详解】本题考查了圆周角定理，外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接 ，根据圆周
角定理求出 ，求出 ，再根据三角形外角性质得出 ，求出 的
度数是 ，再逐个判断即可．
【解答】解：连接 ，
设 的度数是 ，
则 ，
过 ，
，
，，
， ，
，
解得： ，
即 的度数是 ，
当 ，即 时，
∴ 的度数是 或 ，
故选项 ，C不符合题意；
当 时， 的度数是 ，
故选项B错误，选项D正确；
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9．比较大小： 3．
【答案】
【分析】本题考查的是实数大小比较，无理数的估算，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．
由 得到 ，即可判断．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
10．一个多边形的内角和为 ，则它的边数为 ．
【答案】六/6
【分析】本题考查了多边形内角和定理．熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键．
根据多边形内角和定理求解即可． 边形内角和公式为 （ 且 为整数）．【详解】解：设这个多边形的边数为 （ 且 为整数），
解得 ．
故答案为： ．
11．某班 名学生的年龄情况如下表所示（单位：岁），则该班学生年龄的中位数为 ．
年龄
（岁）
人数
（人）
【答案】
【分析】本题考查中位数的定义，熟练掌握中位数的定义和求法是解题的关键．由总人数为 ，可知该班
学生年龄的中位数为从小到大排列后的第 和 个学生年龄的平均数，求解即可．
【详解】解：由总人数为 ，可知该班学生年龄的中位数为从小到大排列后的第 和 个学生年龄的平
均数，
由表可知，从小到大排列后的第 和 个学生年龄都是 ，平均数是 ，
故该班学生年龄的中位数为 ，
故答案为： ．
12．如图， 为等边三角形， ， ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质
是解决问题的关键．根据等边三角形性质得 ，再根据 得
，然后根据平行线性质得 ，最后根据周角的定义可得出 的
度数．
【详解】解： 为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
13 ． 规 定 图 形 表 示 运 算 ， 图 形 表 示 运 算 ， 则
= ．（直接写出答案）
【答案】
【分析】本题考查根据新定义进行有理数的混合运算，解题的关键是准确理解两种图形所代表的运算规则，
并按照规则进行计算．
分别依据三角形和正方形图形对应的运算规则，计算出各自的结果，再将结果相加．
【详解】解析：
，
故答案为： ．
14．小周要在一块三角形钢板 中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点 、 在边 上，顶点 ，
分别在边 、 上，已知 ， ， ，则当矩形 的面积最大时，
．【答案】
【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过点 作
于点 ，交 于点 ，求出 ，证明 ，得到
，当 时，矩形面积最大，即可求出答案．
【详解】解：过点 作 于点 ，交 于点 ，
，
，
即 ，
解得 ，
四边形 为矩形，
，
，
，
四边形 为矩形，
，
，
，
，
，即 ，
，
，故当 时，矩形面积最大，
，
此时 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本题6分）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，1
【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
【详解】解：
；
当 时，
原式 ．
16．（本题6分）如图，点B、E、C、F在同一直线上， ， ， ，求证：
．【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由 得出 ，再利用 证明
即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ．
17．（本题6分）打造书香文化，培养阅读习惯，日庄中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的
书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，
D：艺术类，E：其他类）若甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中
随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【答案】甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为
【分析】本题考查了表格或画树状图求概率，准确画树状图是解题的关键．利用画树状图计算即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中抽到相同类有2种可能的结果，
甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为 ．
18．（本题7分）数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务．
课 探究经十路非机动车道遮阳栅相关问题题
素
材 济南经十路沿线非机动车道上的遮阳棚，采用高级玻
背 璃丝纤维材料，能够抵抗雨淋和日晒，如图1．
景
抽 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图．如图2，
象 立柱 与地面 垂直， 的长为 ，
测 ， ．经过点 的太阳光线
量 照射在点 处．
任
务 求出遮阳棚前端 到地面 的距离．
1
任
务 当太阳光线与地面夹角 为 时，求非机动车道有效遮阳宽度 的长．
2
（结果精确到 ．参考数据： ， ， ， ，
， ）
【答案】任务1： ；任务2： 的长为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的方法是解题的关键．
任务1：作 ， ，由等腰三角形的性质可得 ，在 中， ，
结合图形即可求解；
任务1：在 中， ， ，可知 ，在 中，
， ，再结合 ，即可求解．
【详解】解：任务1：作 ， ，
∵ ， ，
∴ ，在 中， ，
， ，
又∵
∴四边形 为矩形
∴
答：遮阳棚前端 到地面 的距离为 ；
任务2：在 中， ，
，
∵四边形 为矩形
∴ ，
在 中， ，
答：非机动车道有效遮阳宽度 的长为 ．
19．（本题7分）图①、图②、图③均为 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 ， ，
均在格点上．请按要求仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)在图①的网格内找一点 ，使得四边形 为菱形，并作出此菱形；
(2)在图②的网格内作一点 ，满足点 在线段 上，且 ；
(3)在图③的网格内作一点 ，满足点 在线段 上，且 平分 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图 应用与设计作图，角平分线的性质，菱形的判定等知识，
（1）根据菱形的判定，作B点关于AC的对称点即可；
（2）取格点 ，连接 交 于点 ，线段 即为所求；（3）取格点 ，连接 （构造等腰三角形 ，利用等腰三角形的三线合一的性质解决问），取 的
中点 ，作射线 交 一点 ，点 即为所求．
【详解】（1）解：如图①中，四边形 即为所求；
（2）解：如图②中，线段 即为所求；
（3）解：如图③中，点 即为所求．
20．（本题7分）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防
教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5
级记分法呈现：“ ”记为1分，“ ”记为2分，“ ”记为3分，“ ”记
为4分，“ ”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小
组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：平均 中位 众
数 数 数
第1小
4 a
组
第2小
b 5
组
第3小
c 3
组
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为______度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
(2)a＝______，b＝______，c＝______；
(3)已知该校共有2400名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩
不低于90分？
【答案】(1)① 18；②见解析
(2)5， ，3
(3)该校2400名学生中大约有720名学生竞赛成绩不低于90分
【分析】（1）①用 乘以第2小组“得分为1分”这一项的占比即可求解；②求得第1小组“得分为4
分”这一项的人数即可补全第1小组得分条形统计图；
（2）根据众数、平均数和中位数的定义求解即可；
（3）利用样本估计总体求解即可．
【详解】（1）解：①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为
．
故答案为：18．
②第1小组“得分为4分”这一项的人数为 （人），补全第1小组得分条形统计图如下∶
（2）解：第1小组中“得分为5分”这一项的人数最多，则 ，
第2小组获得1分的学生所占百分比为 ，
第2小组的平均分为 （分），则
，
第3小组的中位数为第10和11个数，都是3（分），则 ．
故答案为：5， ，3．
（3）解： （人）．
答：估计该校有720名学生竞赛成绩不低于90分．
【点睛】本题主要考查的是条形统计图、扇形统计图和折线统计图、中位数、众数和平均数、样本估计总
体等知识点，从统计图中获取所需信息成为解题的关键．
21．（本题8分）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，A地与C地的距离为320千米．乙车从B地
驶往C地，同时甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，然后按原路原速返回B地并立即驶往
C地，结果甲车比乙车早2小时到达C地后停车修整．两车均匀速行驶，图是两车距A地的距离y（单位：
千米）与出发的时间x（单位：小时）之间的函数图象（甲车的函数图象不完整）．
(1)求乙车从B地到C地的行驶过程中y关于x的表达式（不写自变量的取值范围）；
(2)甲车的速度为______________千米/小时；当 ______________时，甲车刚好到达C地；在图中补充甲车从A地到C地行驶过程中，y关于x的函数图象 ；
(3)当两车从B地出发后，第一次相遇时，求相遇点与A地的距离；
(4)乙车到达C地前，直接写出当两车之间相距100千米时x的值．
【答案】(1)
(2)80，6
(3)224千米
(4) 或
【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确理解甲乙两车的行驶过程是解题的关键．
（1）由题意可知图中 段图象是乙车从 地到 地的行驶过程，由图象可知 ， ，再利
用待定系数法即可求解；
（2）结合题意，根据速度 路程 时间即可求解；
（3）由题意可知，甲车从 地出发时，乙车已经出发了2小时，若距离出发 小时，两车第一次相遇，列
出方程即可求解；
（4）分四种种情况：当甲还没到 时，两车之间相距100千米；当甲、乙相遇之前时，两车之间相距100
千米；当甲、乙相遇之后，且甲车没有到达 地时，两车之间相距100千米；当甲车到达 地后，乙车还
没有到，两车之间相距100千米；分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知图中 段图象是乙车从 地到 地的行驶过程，
由图象可知 ， ，
可设 ，代入 ， ，得 ，解得 ，
∴乙车从 地到 地的行驶过程中 关于 的表达式为： ；
（2）由图象可知，甲车的速度为 千米/小时，
甲车从 地出发达到 地所需时间为 ，
∴ ，则补全函数图象如图所示，
故答案为：80，6；
（3）由题意可知，甲车从 地出发时，乙车已经出发了2小时，
若距离出发 小时，两车第一次相遇，
可得： ，解得： ，
此时，相遇点与 地的距离为 千米；
（4）当甲还没到 时，两车之间相距100千米，可得 ，解得： ；
当甲、乙相遇之前时，两车之间相距100千米，可得： ，解得： ；
当甲、乙相遇之后，且甲车没有到达 地时，两车之间相距100千米，可得： ，
解得： （不符合题意，舍去）；
当甲车到达 地后，乙车还没有到，两车之间相距100千米，可得： ，解得：
（不符合题意，舍去）；
综上，当两车之间相距100千米时， 或 ．
22．（本题9分）【基础巩固】
（1）如图1，在 中，D为 上一点， ． ，则 ．【尝试应用】
（2）如图2，在 中，E为 上一点，F为 延长线上一点， ．若 ．
求 的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形 中，E是 上一点，F是 内一点， ， ，
． ， ，求菱形 的周长．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题是四边形与相似三角形的综合，考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形
的判定与性质等知识，相似三角形的判定与性质是关键．
（1）证明 ，利用相似三角形的性质即可完成；
（2）由平行四边形得性质得 ， ，然后证明 ，利用相似三角形的性质即可
完成；
（3）分别延长 相交于点G，则由菱形的性质及已知可得四边形 为平行四边形，得
， ， ；再由已知得 ，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ =15，
∴ ．
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
设 ，则 ，
解得 或 （舍去负值），
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，分别延长 相交于点G，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴菱形 的边长为 ．
23．（本题10分）如图，在 中， ， ， ．点 从点 出发，沿 以
每秒4 的速度向终点 运动．当点 不与点 重合时，过点 作 交射线 于点 ，以
为一边向上作正方形 ，设点 的运动时间为 （秒）．
(1)求线段 的长．（用含 的代数式表示）
(2)求点 与点 重合时 的值．
(3)当正方形 与 的重叠部分为四边形时，设其面积为 ，求 与 之间的函数关系式，并写出
自变量 的取值范围．
(4)作点 关于直线 的对称点 ，连结 ，当 与 的边垂直或重合时，请直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 或 或【分析】（ ）由勾股定理得出 ，由三角函数定义即可得出答案；
（ ）由三角函数定义即可得出答案；
（ ）根据梯形的面积公式即可得到结论；
（ ）分三种情况：①当 与C重合时， ，由（ ）得 ；②当 时，当
时，则 ，连接 ，易证四边形 是平行四边形，得出 ， ，
求出 ， ， ，得 ，再求出
，得 ，由 ，列出方程求
解即可；③当 落在AB上时， 与 重合，由平行线等分线段定理得 ，由（
）得 ，得到 ，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
， ，
， ，
；
（2）解：当点 与点 重合时，如图 所示：
， ，
，；
（3）如图 所示，当正方形 与 的重叠部分为四边形时，
由（ ）知， ， ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
，
，
，
∵ ，
∴ ，
又由（ ）可得， ，
∴自变量 的取值范围为 ，
∴ ；
（4）解：①当 与 重合时， ，如图 所示：由（ ）得， ；
②当 时，如图 所示，则 ，
连接 ，
点 关于直线 的对称点 ，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
由（ ）得， ，
，
，
∴ ，
，
即 ，
， ，
，，
∴ ，
，
即 ，
，
，
，
∴
解得 ， （不合题意，舍去）；
③当 落在 上时， 与 重合，如图 所示：
点 关于直线 的对称点 ，
，
四边形 是正方形，
，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，，
由（ ）得， ，
，
；
综上所述，当 与 的边垂直或重合时， 的值为 或 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数与几何图形，轴对称
的性质，平行四边形的判定和性质，平行线等分线段定理，三角函数，运用分类讨论思想解答是解题的关
键．
24．（本题12分）已知二次函数 （a为常数）．
(1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)当 时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式；
(3)若二次函数图象对称轴为直线 ，该函数图象与x轴交于 两点（点A在点B左侧），与y轴交于
点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为 的中点，过点M的直线l（直线l不过 两点）与二次
函数图象交于 两点，直线 与直线 相交于点P．
①求证：点P在一条定直线上；
②若 ，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)①证明见解析；② 或【分析】（1）令 ，则 ，根据根的判别式求得 ，得到不论a为何值，
方程总有两个不相等的实数根，进而即可得证；
（2）由二次函数的解析式得到图象对称轴为直线 ，最大值为4，判断
，得到当 时，y取得最小值，最小值为 ，根据二次函
数的最大值与最小值之差为9，即可列出方程，求解后进行取舍即可解答；
（3）①根据对称轴为直线 ，求得 ，得到二次函数解析式为 ．令 ，求得
，令 ，求得 ，从而 ．设 ，采
用待定系数法求得直线 的解析式为 ．把点 代入，得到 ．同
理求得直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ．联立直线 ， ，求
得点 ．设点P所在的定直线的解析式为 ，代入点P的坐标可求得
，从而得证点P在定直线 上；
②根据 ，得到 ，化简得到 ，由①知 ，从而 ，
分两种情况分别讨论： 当 时或 ，根据①中的点P的横坐标可得 ，整理得
，结合 ，即可求出m，n的值，进而得到 ， 的值，从而得到直线l的解析式．
同理可求出当 时直线l的解析式，即可解答．
【详解】（1）证明：令 ，则 ，
∵ ，
∴不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，∴二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（2）解：由二次函数的解析式得 ，
函数图象对称轴为直线 ，最大值为4．
，
，
∴当 时，y取得最小值，最小值为 ，
，解得 或 （舍去），
二次函数的解析式为 ．
（3）①证明：对称轴为直线 ，
∴
∴二次函数解析式为 ．
令 ，则 ，解得 或 ，
则 ，
令 ，则 ，则
∴ ．
设 ，由题意知 ，且均不为0，2．
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．（记为①式）
又 直线 过点 ，
，即 ．
同理设直线 的解析式为 ，
把 代入得解得 ，
直线 的解析式为 ．（记为②式）
同理得直线 的解析式为 ．（记为③式）
由②③式联立得 ，
解得
．
若点P在一条定直线上，设点P所在直线解析式为 ，代入点P的坐标得
，将①式代入化简得 ，
由对应系数相等得 ，
∴点P所在直线解析式为 ，即点P在一条定直线上．
②解：直线l的解析式为 或
理由： ，
∴ ，
，
，
，
∴ ，
由①知 ，∴ ，
∴
当 时， ，整理得 ．
又 ，
∴
整理得 ，
解得 （不符合题意，舍去），
，
，
直线l的解析式为 ；
当 时， ，整理得 ．
又 ，
整理得 ，
解得 （不符合题意，舍去），
，
∴直线l的解析式为 ．
综上所述，当 时，直线l的解析式为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，二次函数与方程，二次函数与坐标轴的
交点等，综合运用相关知识是解题的关键．
