文档内容
2025 年中考第一次模拟考试（长春卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分
别叫做正数和负数．若升高30米记作 米，那么 米表示（ ）
A．上升5米 B．下降35米 C．上升25米 D．下降5米
【答案】D
【分析】本题考查了具有相反意义的量，理解相反数的意义是解题的关键．根据具有相反意义的量求解即
可．
【详解】解：∵升高30米记作 米，
∴ 米表示下降5米，故D正确．
故选：D．
2．如图是物理中经常使用的U型磁铁，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可
【详解】解：根据三视图的概念，可知U型磁铁的主视图为 ，
故选A．
3．下列运算中，正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】本题考查了幂的相关运算，涉及了同底数幂的乘除法、积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解： ，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误；
故选：A
4．长春南溪湿地公园总占地面积约为3100000平方米．3100000这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，
其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与
小数点移动的位数相同，据此求解即可．
【详解】3100000这个数用科学记数法表示为 ．
故选：B．
5．根据图中作图痕迹进行判断，下列说法一定正确的是（ ）A． B． 平分
C． 垂直平分线段 D．构造 的依据是
【答案】B
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，根据作图得到 ，
结合 ，推出 ，进而得到 ，得到 平分 ，进行判断即可．
【详解】解：由作图可知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
无法得到 ， 垂直平分线段 ；
故只有选项B正确；
故选B．
6．如图，以正六边形 的 边向内作一个长方形 ，连接 交 于点I，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多边形内角和定理、正多边形的轴对称性质．利用正六边形的轴对称性质，可得
，然后根据正多边形内角的求法，可得出 ，再根据长方形对边平行的特点可得
，利用同旁内角互补即可求解．
【详解】解：由正六边形 的轴对称性质可知， 为对称轴，
∴ ，由多边形的内角和定理可求得： ，
∴ ，
由长方形 的性质可知， ，
∴ ．
故选：B．
7．如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段 ，已知坡长 为m米，
坡角 为α，则坡 的铅垂高度 为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【分析】直接利用锐角三角函数关系，进而计算得出答案．
【详解】解：由题意可得： ，
则坡 的铅垂高度 为 （米）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，合理选择三角函数是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，点 、 在函数 的图象上，分别以 、 为圆心，1为
半径作圆，当 与 轴相切、 与 轴相切时，连结 ， ，则 的值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用．依据题意，可得 ， ，再由 ，
从而 ，进而得解．
【详解】解：由题意，得 ， ．
，
由两点距离公式可得： ．
．
或5．
又 ，
．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9．在平面直角坐标系中，若点 在第 象限．
【答案】二
【分析】根据各象限内点的坐标的符号，进行判断即可得出答案．
本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解本题的关键．四个象限内点的坐标符号特点分别
是：第一象限（正，正）；第二象限（负，正）；第三象限（负，负）；第四象限（正，负）．
【详解】解：∵ ， ，
∴点 在第二象限．
故答案为：二
10．若每支中性笔3元，则购买m支中性笔需 元．
【答案】
【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：由题意得购买m支中性笔需 元，
故答案为： ．
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】利用提取公因式法分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法分解因式是解题的关键．
【详解】解： ．
故答案为： ．
12．如果关于x的一元二次方程 的一个解是 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数
的值，把 代入原方程求出 ，据此利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是 ，
∴把 代入 中得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．如图，已知零件的外径为a cm，现用一个交叉卡钳（两条尺长 和 相等）测量零件的内孔直径
．如果 ，且量得 cm，则 为 cm．
【答案】15
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明 ，即可.【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：15．
14．如图，在正方形 中， ，把正方形 绕点A顺时针旋转45°得到正方形 ，其中
点C的运动路径为弧 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接 ，根据正方形性质和旋转的性质得 ，计算
得到 的长，求出 和 ，利用扇形面积公式减上述两三角形面积即可．
【详解】解：连接 ，如图
由正方形性质和旋转的性质得， ，
∴ 在同一条直线上， 在同一条直线上，
∵四边形 为正方形， ，
∴ ，∴ ，
则 ，
，
那么图中阴影部分的面积为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查正方形性质、旋转性质、勾股定理和扇形面积公式，熟练掌握旋转性质是解题的关
键．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本题6分）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键；先根据分式的加减乘除运行
进行化简，然后再代值求解即可．
【详解】解：原式
，
当 时，则原式 ．
16．（本题6分）如图所示，小明绘制了一个安全用电的标识，点 在同一条直线上，且
， ．若 ，求 的度数．【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，证明 ，得出 ，即可求解；
【详解】证明： ，
；
又 ，
，
；
在 与 中，
，
；
．
17．（本题6分）长春北湖国家湿地公园是以自然生态、科普教育、休闲娱乐为主要功能的大型湿地公园，
公园内“湖水泛金波，飞鸟映霞光”，呈现出一派人与自然和谐共生的景象．小力和小旺约定本周日从学
校出发，骑行去长春北湖湿地公园游玩．已知从学校到长春北湖湿地公园的骑行路线有A、B、C三条，小
力和小旺各自随机选择一条骑行路线，求两人恰好选择同一条路线的概率．【答案】
【分析】此题考查了用树状图法或列表法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．用树状图法得到所有
等可能的结果，然后找出符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一条路线的结果数为3种，
所以两人恰好选择同一条路线的概率 ．
18．（本题7分）某人从吉林驱车赶往长春共用2小时，吉林至长春全程为 ，全程分为公路和市区
道路两部分，在公路上行驶的平均速度为 ，在市区道路上行驶的平均速度为 ．根据题意，
甲、乙两名同学分别列出的方程组一部分如下：
甲： 乙：
(1)请你在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组；
(2)求这个人在公路上驱车行驶的时间．
【答案】(1)见解析
(2)这个人在公路上驱车行驶的时间为 ．【分析】（1）甲设公路长 ，市区道路长 ，根据题意列出方程组；乙设公路行驶 ，市区道路行
驶 ，根据题意列出方程组即可；
（2）设公路行驶 ，市区道路行驶 ，列出二元一次方程组，解之即可．
【详解】（1）解：甲设公路长 ，市区道路长 ，
根据题意得 ；
乙设公路行驶 ，市区道路行驶 ，
根据题意得 ；
（2）解：设公路行驶 ，市区道路行驶 ，
根据题意得 ，
① ② 得 ，
解得 ，
将 代入②，得 ，
解得 ，
∴ ，
答：这个人在公路上驱车行驶的时间为 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等
量关系，列出方程组．
19．（本题7分）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方
形的边长均为1，点 、 均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，所画图形
的顶点均在格点上且不全等，不要求写画法．(1)在图①中以线段 为边画一个平行四边形．
(2)在图②中以线段 为边画一个正方形．
(3)在图③中以线段 为边画一个菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质画图即可；
（2）根据正方形的性质画图即可；
（3）根据菱形的性质画图即可．
【详解】（1）解：如图①所示，平行四边形 即为所求；
（2）如图②所示，正方形 即为所求；（3）如图③所示，菱形 即为所求；
【点睛】本题考查作图−−应用与设计作图，菱形的性质，正方形的性质，平行四边形的性质等知识，解
题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20．（本题7分）某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面
试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100分）分别是95分，94分，88
分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十
位评委打分之和．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
信息一：评委给甲同学打分的条形统计图：
信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图：信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表：
同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数
甲 78 8 n
乙 86 9 10
丙 87 m 8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： 分， 分；
(2)在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：
甲、乙、丙三位同学中，评委对 的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
(3)按笔试成绩占 ，面试成绩占 确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年
级参赛，请你通过计算确定参赛同学．
【答案】(1)8.5，8
(2)丙
(3)乙
【分析】本题考查折线统计图，条形统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的
意义和计算方法是正确解答的前提．
（1）根据中位数和众数的定义可得答案；
（2）根据方差的意义解答即可；
（3）根据加权平均数公式计算即可．
【详解】（1）解：把丙的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8，9，故中位数 ，
由条形统计图可知甲的得分的最多的是8分，故众数 ；
故答案为：8.5，8；
（2）由题意可知，甲的数据在5和10之间波动，乙的数据在6和10之间波动，丙的数据在8和10之间波
动，所以评委对丙同学的评价更一致；故答案为：丙；
（3）甲的综合成绩为： （分），
乙的综合成绩为： （分），
丙的综合成绩为： （分），
，
所以综合成绩最高的是乙．
故答案为：乙．
21．（本题8分）【问题背景】
小明家最近购入一辆新能源汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大
行驶里程，小明和爸爸妈妈做了两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量 （%）与时间 （分钟）的关系，数据记录如表
1：
电池充电状态
1
时间 （分钟） 0 30 60
0
1
增加的电量 （%） 0 30 60
0
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量 （%）与行驶里程 （千米）的关系，
数据记录如图2：
【建立模型】观察表1、图2发现都是一次函数模型，请结合表1、图2的数据，
（1） 关于 的函数表达式为____________；
（2）当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量 是多少?
【解决问题】
（3）小明家自驾新能源汽车从长春出发去沈阳的辽宁体育馆观看 联赛，全程400千米，汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，在途中的铁岭服务区充电，一次性充电若干时间后继续
行驶，且到达目的地后新能源汽车仪表盘显示电量 ，则新能源汽车在服务区充电______分钟．
【答案】（1） 与 的函数表达式为
（2）此时仪表盘显示的电量是
（3）30
【分析】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意，掌握待定系数法及求函数值是解题的关键：
（1）设 ，利用待定系数法求解即可；
（2）设 ，利用待定系数法求出 ，将 代入求出函数值即可；
（3）分别求出前后路程需消耗的电量，假设充电t分钟，应增加电量为 ，由此列方程求解．
【详解】解：（1）设 ，将 代入，得
，
解得 ，
∴ 关于 的函数表达式为 ，
故答案为 ；
（2）设 ，将 代入，
得 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量是 ；
（3）当 时， ，∴未充电前电量显示为 ，
假设充电t分钟，应增加电量为 ，
再次出发时电量是 ，
走完剩下的路程为 （km），故 ，
∴需消耗的电量为
∴ ，
解得 ，
故答案为30．
22．（本题9分）小明在学习《图形的平移与旋转》时，认识了共顶点的两个等腰三角形特性，并发现它
在中考中的重要应用，请你与小明一起完成下面练习．
【问题呈现】
如图1，在 中， ， ，点 在线段 上，以点A为中心，将线段 顺时针旋转
得到线段 ，连接 ， ．
【问题分析】
（1）如图1，小明通过审题发现 和 为共顶点A的等腰三角形，这是老师经常提及的，由
可得 ，因为 ， ，可证明： ，利用角
的等量关系进一步推导出： _______（用含 的式子表示）
【灵活应用】
小明发现利用上述结论可将题目中分散的条件集中到某一处，从而快速找到解决问题的线索．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A(0,3)在y轴上，以 为边向右侧作等边 ，点 为 轴正
半轴的动点，以 为边向右侧作等边 ，直线 交y轴于点F．当点D在x轴的正半轴运动时，点F的坐标是否变化．若不变，请求出点F的坐标；若变化，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在菱形 中， ，点P在线段 的延长线上，以 为边作等边 （A、
P、E三个顶点按照逆时针排列），连接 ，若 ， ，求以A，P，E，D为顶点的四边
形的面积．
【答案】（1） ；（2）结论：点F的坐标不变， ．理由见解析；（3） ．
【分析】本题主要考查了菱形的性质、图形的旋转、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、
勾股定理、图形的面积等知识点，正确的作出所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起
来成为解题的关键．
（1）先证明 ，推出 ，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可
得 ，最后根据三角形外角的性质即可解答；
（2）结论：点F的坐标不变， ．证明 ，推出 ，再求出
，可得结论；
（3）如图：连接 交 于点O，由 ，根据勾股定理求出 的长即得到 的长，再求
的长及等边三角形 的边长，可求得 和 的面积，进而求得四边形 的
面积．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）结论：点F的坐标不变， ．理由如下：
理由：∵ 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）如图，如图：连接 交 于点O，连接 ，作 于F，
∵四边形 是菱形，
∴ ， 平分 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（2）知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 的面积是 ．
23．（本题10分）如图①，矩形 与 叠放在一起（点 ， 分别与点 ， 重合，点 落
在对角线BD上），已知 ， ， ．如图②， 从图①的位置出发，沿
DB方向匀速运动，速度为 ；动点 同时从点 出发，沿AD方向匀速运动，速度为 ；设它们
的运动时间为 （ ）（ ），连接 ．解答下列问题：(1)求EG的长；
(2)当 为何值时，点 在线段 的垂直平分线上？
(3)是否存在某一时刻 ，使得 的面积是矩形 面积的 ？若存在，求出 的值；若不存在，请
说明理由；
(4)如图③，点 是点 关于BD的对称点，连接 ， ，当 为何值时， 的值最小？
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【分析】（1）可证得 ，从而得出 ，进而得出 ；
（2）根据点 在线段 的垂直平分线上得出 ，从而 ，从而求得结果；
（3）过 作 于 ，可得出 ，从而得出 ，求得 ，根据
的面积是矩形 面积的 列方程求解，得出结果；
（4）连接 ，可推出当 ， ， 共线时， 的值最小，连接 ，CF，设 交AD于 ，作
于 ，作 于 ，可推出 ，
，从而得出 ．利用相似三角形的性质即
可得解．【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵点 在线段 的垂直平分线上，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故当 为 时，点 在线段 的垂直平分线上；
（3）解：存在 的值，使得 的面积是矩形 面积的 ，理由如下∶
如图 ，过 作 于 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积是矩形 面积的 ，
∴ ，
∴ ，
解得 负值舍去)，
∴当 时， 的面积是矩形 面积的 ，
（4）解：如图 ，连接 ，
∵点 是点 关于BD的对称点，
∴ ，
∵ ，
∴当 ， ， 共线时， 的值最小，
如图 ，连接 ，CF，设 交AD于 ，作 于 ，作 于 ，由 知， ， ，
同理可得， ，
∵点 是点 关于BD的对称点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形
∵
∴四边形 是矩形，
'∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定及性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解
决问题的关键是作辅助线表示出关键的数量．24．（本题12分）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），
与y轴相交于点C，点 抛物线上一动点．
(1)求 的面积；
(2)当n随m的增大而减小时，直接写出m的取值范围；
(3)当n随m的增大而增大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得 是以O为直角顶点的等腰
直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)作点P关于x轴的对称点，设为点 ，过点P作 轴，垂足为D，以PD， 为邻边构造矩形
，当抛物线与矩形 的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)6
(2)
(3)存在， 或
(4) ， ， ， ，
【分析】（1）先求出点A，B，C的坐标，然后根据 计算即可；
（2）配方得到顶点式，即可得到对称轴，然后利用二次函数的增减性解题即可；
（3）过点 作 轴于点 ，点 作 轴于点 ，证明 ，利用三角形的全等的
性质解题即可；
（4）分段画出图形，利用数形结合进行解题即可．【详解】（1）解：令 ，则 ，解得 ， ，
∴点A，B的坐标为 ， ，
当x=0时， ，
∴点C的坐标为 ，
∴ ；
（2） ，
∴当 时，n随m的增大而减小时；
（3）由（2）知当 时， 随 的增大而增大，
∴点P在对称轴右侧，
过点 作 轴于点 ，点 作 轴于点 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
，
当 时，即
解得： (舍去)，
当 时，即 ，解得： (舍去)，
∴点 的坐标为 或 ；
（4）当 时，解得 ，
当 时， 如图，抛物线与矩形 的边有两个公共点，
当 时， 如图，矩形 除顶点P外其余点都在抛物线内，即有一个公共点；当 时， 如图，抛物线与矩形 的边有两个公共点；
当 时， 如图，抛物线与矩形 的边有三个公共点；
当 时， 如图，抛物线与矩形 的边有两个公共点；
当 时， 如图，抛物线与矩形 的边有一个公共点；，点E在抛物线与y轴交点处，解得 ， （舍去），
∴当 时， 如图，抛物线与矩形 的边有两个公共点；
令 ，则抛物线的顶点在 上，这时 ， （舍去），
∴当 时， 如图，抛物线与矩形 的边有三个公共点；
当 时， 如图，抛物线与矩形 的边有两个公共点；综上所述，当抛物线与矩形 的边有两个公共点时，出m的取值范围为 ， ， ，
， ．
【点睛】本题考查二次函数的综合，掌握二次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性
质是解题的关键．
