文档内容
2021-2022学年河南省平顶山市舞钢市七年级（上）期末数学试
卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）生活中，为了对某件事情做出决策往往先要进行调查，从而收集数据．调查的方式
一般有普查和抽样调查，以下说法错误的是（ ）
A．为某一特定目的而对所考察对象进行的全面调查叫做普查
B．调查某校七年级（1）班学生校服的尺寸适合用普查的方式
C．要了解一批灯泡的使用寿命适合用抽样调查的方式
D．为了解某校学生的睡眠情况，对该校学生的睡眠时间进行了统计，那么，该校每一个学
生都是总体的一个个体
2．（3分）这是由5个小正方体搭成的几何体，从这个几何体上面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．﹣|﹣ |＝ B．（﹣3）﹣2＝5
C．（﹣18）÷（﹣ ）＝27 D．﹣ ＝
4．（3分）如图，用代数式表示这个图形的面积正确的是（ ）
第1页（共22页）A．bc+（a﹣c）d B．ad+bc C．ab﹣cd D．ac﹣bd
5．（3分）如图，能表示射线AB的图形是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A．2x﹣y＝3 B．x2﹣5x＝3 C． x﹣1＝0 D． ＝2x﹣1
7．（3分）如图，从8点钟开始，过了20分钟后，分针与时针所夹的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
8．（3分）某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟
到24分钟；如果以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达，甲、乙两地的距离
是（ ）千米．
A．200 B．120 C．100 D．150
9．（3分）如图，点C是线段AB上的一点，且AC＜BC，M和N分别是AB和BC的中点，已知
AC＝10，NB＝7，则线段MN的长度是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．5
10．（3分）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为10，我们发现第1次输出的结果为
5，第2次输出的结果为8，…，则第2021次输出的结果为（ ）
第2页（共22页）A．5 B．8 C．1 D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）单项式：﹣a2b3的系数是 ．
12．（3分）绝对值是 的有理数是 ．
13．（3分）把一个圆分成甲、乙、丙三个扇形，这三个扇形的面积之比是3：4：5，则其中最大
扇形的圆心角的度数是 ．
14．（3分）如图，∠AOB：∠BOC＝3：2，OD是∠AOC的角平分线，若∠DOB＝12°，则∠AOC
的度数是 ．
15．（3分）图1和图2有相同的数之间的规律，请按此规律找出图2中a、b、c的值，计算a+b
﹣c的值是 ．
三、解答题（共8题，75分）
16．（10分）（1）计算：[（﹣2）3﹣3]÷（﹣ ）+（﹣ ）×（﹣ +8）；
（2）解方程： ＝2﹣ ．
17．（9分）化简求值；4（a2﹣3ab）﹣[a2﹣2b﹣（ab+b）]，其中a＝1，b＝﹣2．
18．（9分）如图所示是一个几何体的表面展开图．
（1）该几何体的名称是 ，其底面半径为 ．
（2）根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留 ）
第3页（共22页）
π19．（9分）已知，线段AB．按要求用尺规作图，并回答问题．
（1）延长线段AB到点C，使BC＝AB．
（2）点D在线段AB上，作射线DM．
（3）点N在射线DM上，作直线BN．
（4）此图中线段AC上共有几条不同的线段？分别是哪几条？
20．（9分）某校为了提高学生学习国学的积极性，举办了首届“国学知识大赛”，该校所有
学生均参加初赛．初赛中，将国学相关知识设置为100分试卷，学生的分数均为50分以上，
为了解学生对国学的掌握情况，学校抽取一部分学生成绩将其按分数段分为五组，绘制出
不完整表格：【说明：频率＝ 】
组别 成绩x（分） 频数（人数） 频率
一 50＜x＜60 2 0.04
二 60≤x＜70 10 0.2
三 70≤x＜80 14 b
四 80≤x＜90 a 0.32
五 90≤x≤100 8 0.16
请根据表格提供的信息，解答以下问题：
（1）本次调查属于抽样调查，从表中知道学校抽取的这个样本中共有多少个个体？这个问
题中的总体是什么？
（2）直接写出表中a＝ ，b＝ ；
（3）请补全相应的频数分布直方图；
（4）若该校共3000名学生，初赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛达到优秀的学生大
约有多少人？
第4页（共22页）21．（9分）我们知道，用运算符号把数字和字母连接而成的式子称为“代数式”，用具体的
数值代替代数式中的字母就可以得到这个代数式的一个值，代数式的值由代数式中的字
母的取值来决定．小明在学习完“代数式”的知识后，用下表探究了两个代数式之间的关
系．
（a﹣b）2 a2﹣2ab+b2
a＝2，b＝1 1
a＝﹣1，b＝2 9
a＝﹣3，b＝﹣1
（1）完成表中的空白处代数式的值：
（2）比较表中两代数式的计算结果，你发现（a﹣b）2与a2﹣2ab+b2有什么数量关系？
（3）利用你发现的结论，求：20212﹣4042×2019+20192的值．
22．（10分）元旦前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商
品的每件进价少20元．若购进甲种商品7件，乙种商品2件，需要760元．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？
（2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元．在销售时，甲
种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获利润率为20%，每件乙商品的售价
为多少元？
23．（10分）如图①，已知线段AB＝18，CD＝2，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、
BD的中点．
（1）已知AC＝4，求EF的长．
（2）若AC＝a，求EF的长．由此你能得出EF与AB、CD之间存在怎样的数量关系？
（3）类比应用
①我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF
第5页（共22页）分别平分∠AOC和∠BOD，若∠AOB＝140°，∠COD＝20°，直接写出∠EOF的度数．
②由此，你猜想∠EOF与∠AOB、∠COD会有怎样的数量关系 ．（直接写出猜想
即可）
第6页（共22页）2021-2022学年河南省平顶山市舞钢市七年级（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）生活中，为了对某件事情做出决策往往先要进行调查，从而收集数据．调查的方式
一般有普查和抽样调查，以下说法错误的是（ ）
A．为某一特定目的而对所考察对象进行的全面调查叫做普查
B．调查某校七年级（1）班学生校服的尺寸适合用普查的方式
C．要了解一批灯泡的使用寿命适合用抽样调查的方式
D．为了解某校学生的睡眠情况，对该校学生的睡眠时间进行了统计，那么，该校每一个学
生都是总体的一个个体
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得
到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A．为某一特定目的而对所考察对象进行的全面调查叫做普查，说法正确，故本
选项不合题意；
B．调查某校七年级（1）班学生校服的尺寸适合用普查的方式，说法正确，故本选项不合题
意；
C．要了解一批灯泡的使用寿命适合用抽样调查的方式，说法正确，故本选项不合题意；
D．为了解某校学生的睡眠情况，对该校学生的睡眠时间进行了统计，那么，该校每一个学
生的睡眠情况都是总体的一个个体，原说法错误，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考
查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意
义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普
查．
2．（3分）这是由5个小正方体搭成的几何体，从这个几何体上面看到的形状图是（ ）
第7页（共22页）A． B． C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．﹣|﹣ |＝ B．（﹣3）﹣2＝5
C．（﹣18）÷（﹣ ）＝27 D．﹣ ＝
【分析】利用绝对值的性质对A进行判断；利用有理数的减法法则对B进行判断；利用有
理数的除法法则对C进行判断；利用有理数的乘方法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝﹣ ，所以A选项不符合题意；
B、原式＝﹣3﹣2＝﹣5，所以B选项不符合题意；
C、原式＝18× ＝27，所以C选项符合题意；
D、原式＝﹣ ，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算的计算法则是解决问题的关
键．
4．（3分）如图，用代数式表示这个图形的面积正确的是（ ）
第8页（共22页）A．bc+（a﹣c）d B．ad+bc C．ab﹣cd D．ac﹣bd
【分析】根据图形中的数据，可以得到该图形的面积为ad+（b﹣d）c或bc+（a﹣c）d，化简即
可．
【解答】解：由图可得，这个图形的面积是：bc+（a﹣c）d，
故选：A．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
5．（3分）如图，能表示射线AB的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据射线的定义结合具体的图形进行判断即可．
【解答】解：A．将线段AB向两方无限延长，是直线AB或直线BA，因此选项A不符合题意；
B．将线段AB向一方无限延长，形成射线，可表示为射线AB，因此选项B符合题意；
C．将线段AB向一方无限延长，形成射线，可表示为射线BA，不能表示为射线AB，因此选
项C不符合题意；
D．有两个端点，是线段AB，不是射线，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查直线、射线、线段，理解射线的定义是正确判断的前提．
6．（3分）下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A．2x﹣y＝3 B．x2﹣5x＝3 C． x﹣1＝0 D． ＝2x﹣1
【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：A．2x﹣y＝3含有两个未知数，所以不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B．x2﹣5x＝3的未知数的次数是2，所以不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C． x﹣1＝0，符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意；
第9页（共22页）D． ＝2x﹣1，不是整式方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项
的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．
7．（3分）如图，从8点钟开始，过了20分钟后，分针与时针所夹的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【分析】根据钟面角的特征得出钟面上两个相邻数字之间所对应的圆心角为30°，再根据
时针与分针旋转过程中所成角度之间的变化关系求出∠AOF即可．
【解答】解：如图，8：20时针与分针所处的位置如图所示：
由钟面角的特征可知，∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝ ×360°＝30°，
由时针与分针旋转过程中所成角度的变化关系可得，
∠AOF＝30°× ＝10°，
∴∠AOB＝30°×4+10°＝130°，
故选：B．
【点评】本题考查钟面角，掌握钟面上相邻两个数字之间所对应的圆心角的度数为30°以
及时针与分针旋转过程中所成角度的变化关系是正确解答的关键．
8．（3分）某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟
到24分钟；如果以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达，甲、乙两地的距离
是（ ）千米．
第10页（共22页）A．200 B．120 C．100 D．150
【分析】设规定的时间为x小时，根据“甲、乙两地的距离不变”列方程求得时间，然后由
距离＝时间×速度计算距离．
【解答】解：设规定的时间为x小时，由题意得
50（x+ ）＝75（x﹣ ），
解得：x＝2．
则50（x+ ）＝50×（2+ ）＝120（千米）．
即甲、乙两地的距离为120千米．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列方程求解．
9．（3分）如图，点C是线段AB上的一点，且AC＜BC，M和N分别是AB和BC的中点，已知
AC＝10，NB＝7，则线段MN的长度是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．5
【分析】根据线段中点的定义可得AB＝24，再利用MN＝BM﹣BN可得答案．
【解答】解：∵N是BC的中点，
∴BN＝CN，
∴AB＝AC+2BN＝10+14＝24，
∵M是中点，
则BM＝ AB＝12，
∴MN＝BM﹣BN＝12﹣7＝5，
故选：D．
【点评】本题考查的是两点间的距离，关键是通过中点确定所求线段和整体线段的数量关
系，进而求解．
10．（3分）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为10，我们发现第1次输出的结果为
5，第2次输出的结果为8，…，则第2021次输出的结果为（ ）
第11页（共22页）A．5 B．8 C．1 D．4
【分析】分别求出部分输出结果，发现从第3次开始输出的结果为4，2，1循环，则可得第
2021次输出的结果与第5次输出的结果相同．
【解答】解：第1次输出的结果为5，
第2次输出的结果为8，
第3次输出的结果为4，
第4次输出的结果为2，
第5次输出的结果为1，
第6次输出的结果为4，
第7次输出的结果为2，
…，
∴从第3次开始输出的结果为4，2，1循环，
∵（2021﹣2）÷3＝617，
∴第2021次输出的结果与第5次输出的结果相同，
∴第2021次输出的结果为1，
故选：C．
【点评】本题考查数字的变化规律，通过题意求出部分结果后，探索出输出结果的循环规
律是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）单项式：﹣a2b3的系数是 ﹣ 1 ．
【分析】根据单项式的系数的概念即可得出答案．
【解答】解：单项式﹣a2b3的系数﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查单项式，解题的关键是正确理解单项式的相关概念．单项式的系数：单项
式中的数字因数叫做单项式的系数．
12．（3分）绝对值是 的有理数是 或﹣ ．
第12页（共22页）【分析】根据绝对值的的意义可求解．
【解答】解：绝对值等于 的有理数有 或﹣ ．
故答案为： 或﹣ ．
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．
13．（3分）把一个圆分成甲、乙、丙三个扇形，这三个扇形的面积之比是3：4：5，则其中最大
扇形的圆心角的度数是 150 ° ．
【分析】将三个扇形的面积之比是3：4：5，转化为三个扇形所对应的圆心角的度数比是3：
4：5，进而求出答案．
【解答】解：由于三个扇形的面积之比是3：4：5，也就是三个扇形所对应的圆心角的度数比
是3：4：5，
所以最大扇形的圆心角的度数为360°× ＝150°，
故答案为：150°．
【点评】本题考查扇形面积的计算，将“三个扇形的面积之比是3：4：5，转化为三个扇形所
对应的圆心角的度数比是3：4：5”是解决问题的关键．
14．（3分）如图，∠AOB：∠BOC＝3：2，OD是∠AOC的角平分线，若∠DOB＝12°，则∠AOC
的度数是 120 ° ．
【分析】首先设∠AOB＝3x，∠BOC＝2x，再根据角平分线性质可得∠AOD＝ ∠AOC＝
x，再根据角的和差关系可得∠DOB＝∠AOB﹣∠AOD＝3x﹣ x＝12°，再解方程即可得
到x＝24°，进而得到答案．
【解答】解：设∠AOB＝3x，∠BOC＝2x．
则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x．
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOD＝ ∠AOC＝ x，
第13页（共22页）∴∠DOB＝∠AOB﹣∠AOD＝3x﹣ x＝12°，
解得x＝24°，
∴∠AOC＝5x＝120°．
故答案为：120°．
【点评】此题主要考查了角的计算，以及角的平分线定义，关键是注意分析角之间的和差
关系．
15．（3分）图1和图2有相同的数之间的规律，请按此规律找出图2中a、b、c的值，计算a+b
﹣c的值是 1 4 ．
【分析】由题可得a＝﹣4+11，c＝11+（﹣15），b＝a+c，分别求出a、b、c即可求解．
【解答】解：a＝﹣4+11＝7，
c＝11+（﹣15）＝﹣4，
∴b＝a+c＝7+（﹣4）＝3，
∴a+b﹣c＝7+3﹣（﹣4）＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给图，找到图中数字之间的联系是解题的
关键．
三、解答题（共8题，75分）
16．（10分）（1）计算：[（﹣2）3﹣3]÷（﹣ ）+（﹣ ）×（﹣ +8）；
（2）解方程： ＝2﹣ ．
【分析】（1）首先计算小括号里面的加法，中括号里面的乘方和减法，然后计算括号外面
的乘除法和加法即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
【解答】解：（1）[（﹣2）3﹣3]÷（﹣ ）+（﹣ ）×（﹣ +8）
第14页（共22页）＝[（﹣8）﹣3]×（﹣ ）+（﹣ ）×
＝（﹣11）×（﹣ ）+（﹣ ）
＝2+（﹣ ）
＝﹣ ．
（2）去分母，可得：5（x﹣1）＝20﹣2（x+2），
去括号，可得：5x﹣5＝20﹣2x﹣4，
移项，可得：5x+2x＝20﹣4+5，
合并同类项，可得：7x＝21，
系数化为1，可得：x＝3．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；以及有理数的混合运算，注意有理数混合
运算顺序．
17．（9分）化简求值；4（a2﹣3ab）﹣[a2﹣2b﹣（ab+b）]，其中a＝1，b＝﹣2．
【分析】原式去括号，合并同类项进行化简，然后代入求值．
【解答】解：原式＝4a2﹣12ab﹣（a2﹣2b﹣ab﹣b）
＝4a2﹣12ab﹣a2+2b+ab+b
＝3a2﹣11ab+3b，
当a＝1，b＝﹣2时，
原式＝3×12﹣11×1×（﹣2）+3×（﹣2）
＝3+22﹣6
＝19．
【点评】本题考查整式的加减—化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不
变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变
号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．
18．（9分）如图所示是一个几何体的表面展开图．
（1）该几何体的名称是 圆柱 ，其底面半径为 1 ．
（2）根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留 ）
第15页（共22页） π【分析】（1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论；
（2）依据圆柱的侧面积和体积计算公式，即可得到该几何体的侧面积和体积．
【解答】解：（1）该几何体的名称是圆柱，其底面半径为1，
故答案为：圆柱；1；
（2）该几何体的侧面积为：2 ×1×3＝6 ；
该几何体的体积＝ ×12×3＝3 π． π
【点评】本题主要考π查了几何体π的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展
开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
19．（9分）已知，线段AB．按要求用尺规作图，并回答问题．
（1）延长线段AB到点C，使BC＝AB．
（2）点D在线段AB上，作射线DM．
（3）点N在射线DM上，作直线BN．
（4）此图中线段AC上共有几条不同的线段？分别是哪几条？
【分析】（1）根据线段定义即可得点C，使BC＝AB；
（2）根据射线定义即可作射线DM；
（3）根据直线定义即可作直线BN；
（4）根据线段定义即可得到线段AC上共有几条不同的线段．
【解答】解：（1）如图，点C即为所求；
（2）如图，射线DM即为所求；
第16页（共22页）（3）如图，直线BN即为所求；
（4）线段AC上共有6条不同的线段，分别是：AD，AB，AC，DB，DC，BC．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，直线、射线、线段，解决本题的关键是掌握直线、射线、
线段定义．
20．（9分）某校为了提高学生学习国学的积极性，举办了首届“国学知识大赛”，该校所有
学生均参加初赛．初赛中，将国学相关知识设置为100分试卷，学生的分数均为50分以上，
为了解学生对国学的掌握情况，学校抽取一部分学生成绩将其按分数段分为五组，绘制出
不完整表格：【说明：频率＝ 】
组别 成绩x（分） 频数（人数） 频率
一 50＜x＜60 2 0.04
二 60≤x＜70 10 0.2
三 70≤x＜80 14 b
四 80≤x＜90 a 0.32
五 90≤x≤100 8 0.16
请根据表格提供的信息，解答以下问题：
（1）本次调查属于抽样调查，从表中知道学校抽取的这个样本中共有多少个个体？这个问
题中的总体是什么？
（2）直接写出表中a＝ 1 6 ，b＝ 0.2 8 ；
（3）请补全相应的频数分布直方图；
（4）若该校共3000名学生，初赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛达到优秀的学生大
约有多少人？
【分析】（1）根据表格中的数据可以求得本次决赛的学生数，从而得出抽样调查的个体和
第17页（共22页）总体；
（2）根据（1）中决赛学生数，可以求得a、b的值；
（3）根据（2）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（4）根据表格中的数据可以求得本次大赛的优秀率．
【解答】解：（1）由表格可得，本次决赛的学生数为：10÷0.2＝50，
所以学校抽取的这个样本中共有50个个体，这个问题中的总体是该校所有学生对国学的
掌握情况；
（2）a＝50×0.32＝16，b＝14÷50＝0.28，
故答案为：16，0.28；
（3）补全的频数分布直方图如右图所示，
（4）由表格可得，
决赛成绩不低于80分为优秀率为：（0.32+0.16）×100%＝48%．
3000×48%＝1440（人），
答：本次大赛达到优秀的学生大约有1440人．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表，解题的关键是明确题意，根据二组的频数
和频率求得总人数．
21．（9分）我们知道，用运算符号把数字和字母连接而成的式子称为“代数式”，用具体的
数值代替代数式中的字母就可以得到这个代数式的一个值，代数式的值由代数式中的字
母的取值来决定．小明在学习完“代数式”的知识后，用下表探究了两个代数式之间的关
系．
第18页（共22页）（a﹣b）2 a2﹣2ab+b2
a＝2，b＝1 1 1
a＝﹣1，b＝2 9 9
a＝﹣3，b＝﹣1 4 4
（1）完成表中的空白处代数式的值：
（2）比较表中两代数式的计算结果，你发现（a﹣b）2与a2﹣2ab+b2有什么数量关系？
（3）利用你发现的结论，求：20212﹣4042×2019+20192的值．
【分析】（1）将已知字母的值代入代数式进行计算；
（2）通过对运算结果的比较，总结归纳；
（3）利用（2）中的结论对原式进行变形，从而进行计算．
【解答】解：（1）当a＝2，b＝1时，
（a﹣b）2＝（2﹣1）2＝1，
当a＝﹣1，b＝2时，
a2﹣2ab+b2＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）×2+22
＝1+4+4
＝9，
当a＝﹣3，b＝﹣1时，
（a﹣b）2＝[﹣3﹣（﹣1）]2＝（﹣3+1）2＝（﹣2）2＝4，
a2﹣2ab+b2＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）×（﹣1）+（﹣1）2
＝9﹣6+1
＝4，
故答案为：1；9；4；4；
（2）通过比较，发现：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
（3）原式＝20212﹣2×2021×2019+20192
＝（2021﹣2019）2
＝22
＝4．
【点评】本题考查代数式求值，掌握有理数混合运算的运算顺序和计算法则，应用（a﹣b）2
＝a2﹣2ab+b2是解题关键．
22．（10分）元旦前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商
品的每件进价少20元．若购进甲种商品7件，乙种商品2件，需要760元．
第19页（共22页）（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？
（2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元．在销售时，甲
种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获利润率为20%，每件乙商品的售价
为多少元？
【分析】（1）根据甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少20元，若购进甲种商品7
件，乙种商品2件，需要760元，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元和（1）中
的结果，可以求得甲、乙各购进多少件，再根据在销售时，甲种商品的每件售价为100元，
要使得这50件商品所获利润率为20%，可以列出相应的方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）设乙种商品每件进价为x元，则甲种商品每件进价为（x﹣20）元，
由题意可得，7（x﹣20）+2x＝760，
解得x＝100，
∴x﹣20＝80，
答：甲、乙两种商品的每件进价分别是80元，100元；
（2）设购进甲种商品a件，乙种商品（50﹣a）件，每件乙商品的售价为b元，
由题意可得，80a+100（50﹣a）＝4400，
解得a＝30，
则（100﹣80）×30+（b﹣100）×（50﹣30）＝4400×20%，
解得b＝114，
答：每件乙商品的售价为114元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出
相应的方程．
23．（10分）如图①，已知线段AB＝18，CD＝2，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、
BD的中点．
（1）已知AC＝4，求EF的长．
（2）若AC＝a，求EF的长．由此你能得出EF与AB、CD之间存在怎样的数量关系？
（3）类比应用
①我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF
分别平分∠AOC和∠BOD，若∠AOB＝140°，∠COD＝20°，直接写出∠EOF的度数．
②由此，你猜想∠EOF与∠AOB、∠COD会有怎样的数量关系 ∠ EOF ＝ ∠ AOB +
第20页（共22页）∠ COD ．（直接写出猜想即可）
【分析】（1）欲求EF，需求EC+DC+DF．已知CD，需求EC+DF．由E，F分别是AC，BD的
中点，得EC＝ AC，DF＝ DB，那么EC+DF＝ AC+ DB＝ （AC+DB），进而解决此题．
（2）与（1）同理．
（3）①欲求∠EOF，需求∠EOC+∠DOF+∠COD．已知∠COD，需求∠EOC+∠DOF．由
OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，得∠EOC＝ ∠AOC，∠DOF＝ ∠DOB，进而解决
此题．
②与①同理．
【解答】解：（1）∵E，F分别是AC，BD的中点，
∴EC＝ AC，DF＝ DB．
∴EC+DF＝ AC+ DB＝ （AC+DB）．
又∵AB＝18，CD＝2，
∴AC+DB＝AB﹣CD＝18﹣2＝16．
∴EC+DF＝ （AC+DB）＝8．
∴EF＝EC+DF+CD＝8+2＝10．
（2）EF＝EC+CD+DF＝ AC+CD+ BD＝ （AC+BD）+CD＝ ＝
若AC＝a，EF＝ （AB+CD）＝ （18+2）＝10；
第21页（共22页）（3）①∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，
∴∠EOC＝∠AOC，∠DOF＝ ∠DOB．
∴∠EOC+∠DOF＝ ∠AOC+ ∠DOB＝ （∠AOC+∠DOB）．
又∵∠AOB＝140°，∠COD＝20°，
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝120°．
∴∠EOC+∠DOF＝60°．
∴∠EOF＝∠EOC+∠DOF+∠COD＝60°+20°＝80°．
②由（1）得：∠EOC+∠DOF＝ （∠AOC+∠DOB）．
∵∠AOC+∠DOB＝∠AOB﹣∠COD，
∴∠EOC+∠DOF＝ （∠AOB﹣∠COD）．
∴∠EOF＝∠EOC+∠DOF+∠COD＝ （∠AOB﹣∠COD）+∠COD＝ ∠AOB+
∠COD，
故答案为：∠EOF＝ ∠AOB+ ∠COD．
【点评】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的
定义是解决本题的关键．
第22页（共22页）
