文档内容
2021-2022学年河南省新乡市原阳县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）下列四个数中，无理数是（ ）
A． B．
C．﹣ D．0.363363336
2．（3分π）把4x2﹣9y2分解因式，正确的是（ ）
A．（4x+y）（x﹣9y） B．（3x+2y）（3x﹣2y）
C．（2x+9y）（2x﹣y） D．（2x+3y）（2x﹣3y）
3．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的
面积和为（ ）
A．5 B．9 C．16 D．25
4．（3分）如图是近几年国庆假期国内旅游人均消费的折线统计图，相邻的两年中，人均消费
相差最大的是（ ）
A．2016到2017 B．2018到2019 C．2019到2020 D．2020到2021
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a）4÷a3＝a B．a2•a3＝a6
C．（﹣x3y）2＝x5y2 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
6．（3分）如图，△ABC为等边三角形，延长CB到点D，使BD＝BC．延长BC到点E，使CE＝
第1页（共23页）BC．连接AD，AE，则∠DAE的度数是（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
7．（3分）如图，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1，则∠1与∠2的关系是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1 C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝180°
8．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②有两个角为60°的三角形一定是等边三角形；
③全等三角形的对应边相等、对应角相等；
④等腰三角形的角平分线，高线，中线相互重合．
A．②③ B．②④ C．①③ D．①②
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，按以下步骤作图：①以点C为圆心，CB的长为半
径作弧，交AB边于点D；②分别以点D，B为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧交于
点E；③作射线CE，交边AB于点F．若CF＝4，则线段AD的长为（ ）
A． B．1 C． D．
10．（3分）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AD的垂
直平分线HG分别交AD，AC于点H，G．若DE＝DF，则下列结论：①AD平分∠BAC；②
GA＝GD；③DG∥AB；④△BDE≌△GDF．其中正确结论的个数是（ ）
第2页（共23页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算： + ＝ ．
12．（3分）在一个不透明的盒子里装有红球、白球共30个，这些球除颜色外完全相同．通过
多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则盒子中白球的个数约为 ．
13．（3分）已知a，b，c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，则△ABC的形
状为 三角形．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E为△ABC内一点，AE＝BE．延长
AE至点D，使DE＝AC，连接CD，CE．若CD＝DE，则∠D的度数是 ．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2．点F从点A出发，沿A→D→C运动到点C，点E
是边BC的中点，连接AE，AF，EF．当△AEF为直角三角形时，CF的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）按要求完成下列各题：
（1）分解因式：a2b﹣2ab+b；
（2）计算：ab﹣4b•（﹣ab2）2÷ab4．
17．（9分）先化简，再求值：（2x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+5x（2﹣x），其中x＝﹣ ．
18．（9分）如图，数轴上点B，C关于点A成中心对称，若点A表示的数是1，点B表示的数是
第3页（共23页）﹣ ．
（1）填空：线段AB的长是 ，点C表示的数为 ；
（2）点C表示的数为a，a的小数部分为b，求ab的值．
19．（9分）随着双减政策的落实，同学们的家庭作业减少了．为了解同学们完成家庭作业需
要的时间，某校数学兴趣小组随机调查了部分学生（问卷调查的内容如图1所示），并根据
调查结果绘制了如图2所示的尚不完整的统计图．
（1）本次接受调查的学生共有 人；
（2）请补全条形统计图；
（3）求被调查的学生中，完成家庭作业时间不超过40分钟的学生人数占总调查人数的百
分比．
20．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别在边AC，AB上，AD＝ AC，AE
＝ AB．BD，CE相交于点P，求证：PB＝PC．
第4页（共23页）21．（9分）如图，一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板，甲蚂蚁从点A出发，沿a，b，d
三个面走最短路径到点B；同时，乙蚂蚁以相同的速度从A点B出发，沿d，c两个面走最
短路径到点A．请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，AB＝24cm．动点E，F分别在边CD，BC上，点E从点C
出发沿CD边以1cm/s的速度向点D运动，同时点F从点C出发沿CB边以2cm/s的速度
向点B运动（当点F到达点B时，点E也随之停止运动），连接EF．问：在AB边上是否存
在一点G，使得以B，F，G为顶点的三角形与△CEF全等？若存在，求出两三角形全等时
BG的长；若不存在，请说明理由．
23．（10分）（1）性质探究
某校八年级数学兴趣小组在一次活动中，对直角三角形斜边上的中线的性质做了探究，经
过大量的作图、测量、比较，得到这样的猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
小明同学还利用学过的知识进行了如下证明．
已知：如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为斜边AC上的．
求证： ．
证明：过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
∵AE∥BC，
∴∠EAD＝∠C，∠E＝∠CBD．
∵BD是AC边上的中线，
第5页（共23页）∴AD＝CD．
∴△ADE≌△CDB．
∴AE＝BC，BD＝DE＝﹣ BE．
…
填空，并写出该证明的剩余部分；
（2）运用拓展
如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2 ，E为AC的中点．D是△ABC外一动点，
∠ADC＝90°，连接DE．当DE∥AB时，求AD2的值．
第6页（共23页）2021-2022学年河南省新乡市原阳县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）下列四个数中，无理数是（ ）
A． B．
C．﹣ D．0.363363336
【分析π】无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．
【解答】解：A． 为整数，不是无理数，不合题意；
B． 为分数，不是无理数，不合题意；
C．﹣ 是无理数，符合题意；
D．0.3π63363336为有限小数，不是无理数，不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了无理数，判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．
2．（3分）把4x2﹣9y2分解因式，正确的是（ ）
A．（4x+y）（x﹣9y） B．（3x+2y）（3x﹣2y）
C．（2x+9y）（2x﹣y） D．（2x+3y）（2x﹣3y）
【分析】利用平方差公式因式分解，第一个数为2x，第二个数为3y．
【解答】解：4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）．
故选：D．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．
3．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的
面积和为（ ）
第7页（共23页）A．5 B．9 C．16 D．25
【分析】根据勾股定理得出这两个正方形的面积和等于BC的平方解答即可．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，
∴阴影部分的面积和为AC2+AB2＝BC2＝25．
故选：D．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据这两个正方形的面积和等于BC的平方解答．
4．（3分）如图是近几年国庆假期国内旅游人均消费的折线统计图，相邻的两年中，人均消费
相差最大的是（ ）
A．2016到2017 B．2018到2019 C．2019到2020 D．2020到2021
【分析】根据折线图可得2019到2020年人均消费相差最大．
【解答】解：由折线统计图中信息可知，2019到2020年人均消费相差最大．
故选：C．
【点评】此题主要考查了折线统计图，关键是掌握折线图不但可以表示出数量的多少，而
且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a）4÷a3＝a B．a2•a3＝a6
C．（﹣x3y）2＝x5y2 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
【分析】根据同底数幂的乘除法，积的乘方，完全平方公式可进行判断．
【解答】解：A，根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”知（﹣a）4÷a3＝a4÷a3＝a4﹣3＝
第8页（共23页）a，符合题意；
B，根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”知a2•a3＝a2+3＝a5，不符合题意；
C，根据“积的乘方，需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”知（﹣x3y）2
＝x6y2，不符合题意；
D，根据完全平方公式知（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，完全平方公式，关键是依据法则计算，
注意符号．
6．（3分）如图，△ABC为等边三角形，延长CB到点D，使BD＝BC．延长BC到点E，使CE＝
BC．连接AD，AE，则∠DAE的度数是（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【分析】由等边三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝CA，结合已知
条件可求得∠BAD＝∠CAE＝30°，进而可求解∠DAE的度数．
【解答】解∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝CA．
∵BD＝BC，
∴AB＝BD．
∴ ．
同理，∠CAE＝30°．
∴∠DAE＝120°．
故选：B．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，求解∠BAD，∠CAF的度数
是解题的关键．
7．（3分）如图，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1，则∠1与∠2的关系是（ ）
第9页（共23页）A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1 C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝180°
【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：如图，
在△ABC与△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS），
∴∠1＝∠ABC．
∵∠ABC+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝180°．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的
关键．
8．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②有两个角为60°的三角形一定是等边三角形；
③全等三角形的对应边相等、对应角相等；
④等腰三角形的角平分线，高线，中线相互重合．
A．②③ B．②④ C．①③ D．①②
【分析】根据平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的性质求
解判断即可．
【解答】解：①两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题；
第10页（共23页）②有两个角为60°的三角形一定是等边三角形，是真命题；
③全等三角形的对应边相等对应角相等，是真命题；
④等腰三角形的顶角的角平分线，底边上的高线、中线相互重合，原命题是假命题．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命
题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，
只需举出一个反例即可．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，按以下步骤作图：①以点C为圆心，CB的长为半
径作弧，交AB边于点D；②分别以点D，B为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧交于
点E；③作射线CE，交边AB于点F．若CF＝4，则线段AD的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】利用基本作图得到CB＝CD，CF⊥BD于F，则根据等腰三角形的性质得到BF＝
DF，如图，连接CD，接着利用勾股定理计算出AF＝3，则可计算出BF，从而得到DF的长，
然后计算AF﹣DF即可．
【解答】解：由作法得CB＝CD，CF⊥BD于F，
∴BF＝DF，
如图，连接CD，
在Rt△ACF中，AF＝ ＝ ＝3，
∴BF＝AB﹣AF＝5﹣3＝2，
∴DF＝2，
∴AD＝AF﹣DF＝3﹣2＝1．
故选：B．
第11页（共23页）【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，
结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的
性质．
10．（3分）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AD的垂
直平分线HG分别交AD，AC于点H，G．若DE＝DF，则下列结论：①AD平分∠BAC；②
GA＝GD；③DG∥AB；④△BDE≌△GDF．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据角平分线的性质定理可对①进行判断；根据线段的垂直平分线的性质可对
②进行判断；通过证明∠BAD＝∠GDA可对③进行判断；由于DG∥AB，则∠FGD＝
∠CAB，由于∠B与∠CAB的大小关系不能确定，所以∠FGD与∠B的大小关系不能确定，
则根据全等三角形的判定方法可对④进行判断．
【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴AD平分∠BAC．所以①正确；
∵HG垂直平分AD，
∴GA＝GD．所以②正确；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵GA＝GD，∠GAD＝∠GDA，
∴∠BAD＝∠GDA，
∴DG∥AB．所以③正确；
∴∠FGD＝∠CAB，
而∠B与∠CAB的大小关系不能确定，
第12页（共23页）∴∠FGD与∠B的大小关系不能确定，所以不能判断△BDE≌△GDF，所以④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题
的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了角平分线的性质和线段垂
直平分线的性质．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算： + ＝ ﹣ 1 ．
【分析】首先计算开方，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解： + ＝2﹣3＝﹣1
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数
运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，
有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算
律在实数范围内仍然适用．
12．（3分）在一个不透明的盒子里装有红球、白球共30个，这些球除颜色外完全相同．通过
多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则盒子中白球的个数约为 1 8 ．
【分析】用球的总个数乘以摸出白球频率的稳定值即可．
【解答】解：由题意，得30×（1﹣0.4）＝18．
故答案为18．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定
位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中
趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．（3分）已知a，b，c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，则△ABC的形
状为 等边 三角形．
【分析】运用完全平方公式将等式化简，可求a＝b＝c，则△ABC是等边三角形．
【解答】解：∵2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）＝0，
∴（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0且a﹣c＝0，
第13页（共23页）∴a＝b＝c，
∴△ABC的形状为等边三角形．
故答案为：等边．
【点评】本题考查了因式分解的应用，整式的混合运算，熟练运用完全平方公式解决问题
是本题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E为△ABC内一点，AE＝BE．延长
AE至点D，使DE＝AC，连接CD，CE．若CD＝DE，则∠D的度数是 30 ° ．
【分析】利用SSS判定△ACE≌△BCE，根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠BCE＝45°，
再根据等腰三角形的性质、三角形外角性质及三角形内角和求解即可．
【解答】解：在△ACE和△BCE中，
，
∴△ACE≌△BCE（SSS），
∴∠ACE＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCE＝ ∠ACB＝45°，
∵AC＝DE＝DC，
∴∠D＝∠CAD，∠DCE＝∠CED，
∵∠D+∠DCE+∠CED＝180°，
∴∠D+2∠CED＝∠D+2（∠CAD+∠ACE）＝∠D+2（∠D+45°）＝180°，
∴∠D＝30°，
故答案为：30°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS判定△ACE≌△BCE是解题的关
键．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2．点F从点A出发，沿A→D→C运动到点C，点E
第14页（共23页）是边BC的中点，连接AE，AF，EF．当△AEF为直角三角形时，CF的长为 或 ．
【分析】根据正方形的性质，分两种情况解答即可．
【解答】解：根据题意，可知AB＝CD＝BC＝AD＝2，BE＝CE＝1，CD＝∠C＝∠B＝90°．
当∠AEF＝90°时，
如图1：
设CF＝x，则有DF＝2﹣x．
∵AF2＝AE2+EF2＝AD2+DF2＝4+（2﹣x）2，AE2＝AB2+BE2＝4+1＝5，EF2＝CF2+CE2＝
x2+1，
∴4+（2﹣x）2＝5+x2+1．
解得 ．
如图2，
当∠AFE＝90°时，
可知DF＝AF＝1，所以 ．
故答案为 或 ．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和勾股定理解答．
第15页（共23页）三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）按要求完成下列各题：
（1）分解因式：a2b﹣2ab+b；
（2）计算：ab﹣4b•（﹣ab2）2÷ab4．
【分析】（1）利用提公因式法和公式法进行分解即可．
（2）根据积的乘方、单项式乘单项式，单项式除单项式法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝b（a2﹣2a+1）＝b（a﹣1）2．
（2）原式＝ab﹣4b•a2b4÷ab4＝ab﹣4ab＝﹣3ab．
【点评】本题考查因式分解和整式的混合运算，解题关键是熟知因式分解的常用方法，以
及积的乘方、单项式乘单项式，单项式除单项式法则．
17．（9分）先化简，再求值：（2x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+5x（2﹣x），其中x＝﹣ ．
【分析】直接利用乘法公式、单项式乘多项式运算法则分别化简，进而合并同类项，再把已
知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝4x2﹣12x+9+x2﹣16+10x﹣5x2
＝﹣2x﹣7，
当 时，
原式＝﹣2x﹣7
＝﹣2×（﹣ ）﹣7
＝1﹣7
＝﹣6．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算——化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关
键．
18．（9分）如图，数轴上点B，C关于点A成中心对称，若点A表示的数是1，点B表示的数是
﹣ ．
（1）填空：线段AB的长是 +1 ，点C表示的数为 +2 ；
（2）点C表示的数为a，a的小数部分为b，求ab的值．
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得AB的长，根据对称可得AC＝AB，可知点C表示
第16页（共23页）的数；
（2）由题意可得a＝ +2，b＝ ﹣2，再代入可得ab的值．
【解答】解：（1）∵点A表示的数是1，点B表示的数是﹣ ，
∴AB＝1﹣（﹣ ）＝ +1．
∵点B，C关于点A成中心对称，
∴AC＝AB＝ +1，
∴点C表示的数是1+ +1＝ +2．
故答案为： ， ；
（2）由（1）得，点C表示的数是 +2，
∴ ， ，
∴ ．
【点评】本题考查了实数与数轴，两点间的距离，根据题意得到AC＝AB是解题的关键．
19．（9分）随着双减政策的落实，同学们的家庭作业减少了．为了解同学们完成家庭作业需
要的时间，某校数学兴趣小组随机调查了部分学生（问卷调查的内容如图1所示），并根据
调查结果绘制了如图2所示的尚不完整的统计图．
（1）本次接受调查的学生共有 5 0 人；
（2）请补全条形统计图；
（3）求被调查的学生中，完成家庭作业时间不超过40分钟的学生人数占总调查人数的百
分比．
第17页（共23页）【分析】（1）用A组的人数除以A组所占比例即可求出调查人数；
（2）用总人数分别减去其它四组人数，可得出B组人数，即可补全条形统计图；
（3）用1分别减去C、D两组的比例即可．
【解答】解：（1）本次接受调查的学生共有：20÷40%＝50（人），
故答案为：50．
（2）B组人数为：50﹣20﹣9﹣5﹣4＝12（人），
补全条形统计图如下：
（3）1﹣10%﹣8%＝82%．
答：完成家庭作业时间不超过40分钟的学生人数占总调查人数的百分比为82%．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是
解答本题的关键．
20．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别在边AC，AB上，AD＝ AC，AE
第18页（共23页）＝ AB．BD，CE相交于点P，求证：PB＝PC．
【分析】根据等腰三角形的判定定理得到AB＝AC，进而得到AE＝AD，即可利用SAS证明
△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠ABD＝∠ACE，根据角的和差得到∠PBC
＝∠PCB，即可判定PB＝PC．
【解答】证明：∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵ ， ，
∴AE＝AD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，
即∠PBC＝∠PCB，
∴PB＝PC．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABD≌△ACE是解题的关
键．
21．（9分）如图，一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板，甲蚂蚁从点A出发，沿a，b，d
三个面走最短路径到点B；同时，乙蚂蚁以相同的速度从A点B出发，沿d，c两个面走最
短路径到点A．请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？
第19页（共23页）【分析】将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的
长．
【解答】解析展开a，b，c与d在同一平面内，如图所示．
由题意可知，甲蚂蚁走的路径为A B， （cm）．
1
乙蚂蚁走的路径为A B， （cm）．
2
因为 ，
所以A B＞A B，故乙蚂蚁先到达目的地．
1 2
【点评】此题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理，熟练求出AB的长是解本题的关
键．
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，AB＝24cm．动点E，F分别在边CD，BC上，点E从点C
出发沿CD边以1cm/s的速度向点D运动，同时点F从点C出发沿CB边以2cm/s的速度
向点B运动（当点F到达点B时，点E也随之停止运动），连接EF．问：在AB边上是否存
在一点G，使得以B，F，G为顶点的三角形与△CEF全等？若存在，求出两三角形全等时
BG的长；若不存在，请说明理由．
【分析】分两种情况讨论，由全等三角形的性质列出等式，可求解．
【解答】解：存在．设运动时间为ts．
则CE＝tcm，CF＝2tcm，BF＝（24﹣2t）cm．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°．
第20页（共23页）（1）当△BGF≌△CEF时，BF＝CF．
∴24﹣2t＝2t．
∴t＝6．
∴BG＝CE＝t＝6（cm）．
（2）当△BFG≌△CEF时，BF＝CE．
∴24﹣2t＝t．
∴t＝8．
∴BG＝CF＝2t＝16（cm）．
综上所述，在AB边上存在一点G，使得以B，F，G为顶点的三角形与△CEF全等，此时
BG的长为6cm或16cm．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解
题的关键．
23．（10分）（1）性质探究
某校八年级数学兴趣小组在一次活动中，对直角三角形斜边上的中线的性质做了探究，经
过大量的作图、测量、比较，得到这样的猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
小明同学还利用学过的知识进行了如下证明．
已知：如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为斜边AC上的．
求证： BD ＝ AC ．
证明：过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
∵AE∥BC，
∴∠EAD＝∠C，∠E＝∠CBD．
∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD．
∴△ADE≌△CDB．
∴AE＝BC，BD＝DE＝﹣ BE．
…
填空，并写出该证明的剩余部分；
（2）运用拓展
如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2 ，E为AC的中点．D是△ABC外一动点，
第21页（共23页）∠ADC＝90°，连接DE．当DE∥AB时，求AD2的值．
【分析】（1）写出已知，求证，倍长中线，利用全等三角形的判定和性质解决问题即可；
（2）分两种情形：如图1，当点D位于边BC上方时，过点D作DF⊥AC于点F．如图2，当
点D位于边BC下方时，过点D作DF⊥AC于点F．分别求解即可．
【解答】（1）证明：∵AE∥BC，
∴∠BAE+∠ABC＝180°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAE＝90°．
∵AE＝BC，AB＝BA，
∴△BAE≌△ABC（SAS）．
∴AC＝BE．
∴ ．
故答案为：BD＝ AC；
（2）解：如图1，当点D位于边BC上方时，过点D作DF⊥AC于点F．
∵ ．
∴ ．
∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°．
∵DE∥AB，
∴∠DEF＝45°．
∴DF＝EF．
∵DF2+EF2＝DE2＝4，
第22页（共23页）∴ （取正值）．
∴ ．
∴ ．
如图2，当点D位于边BC下方时，过点D作DF⊥AC于点F．
同法可得 ，
∴ ．
综上所述，AD2的值为 或 ．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线
的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用倍长中线，构造全等三角形解决问题，
属于中考常考题型．
第23页（共23页）
