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专题13 函数的图象(一)
真题呈现
1．（2023·天津·统考高考真题）函数 的图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 ，
由 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当 时 、 ，即A、C中 上函数值为正，排除；故选：D
2．（2022·天津·统考高考真题）函数 的图像为（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 的定义域为 ，且 ，
函数 为奇函数，A选项错误；又当 时， ，C选项错误；
当 时， 函数单调递增，故B选项错误；故选：D.3．（2022·全国·统考高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，则 ，
所以 为奇函数，排除BD；又当 时， ，所以 ，排除C.故选：A.
4．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，则 ，故排除B;设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;设 ，则 ，故排除D.故选：A.
5．（2021·天津·统考高考真题）函数 的图像大致为（ ）
A． B．C． D．
【解析】设 ，则函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以函数 为偶函数，排除AC；
当 时， ，所以 ，排除D.故选：B.
6．（2021·浙江·统考高考真题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C， ，则 ，
当 时， ，与图象不符，排除C.故选：D.
7．（2021·全国·高考真题）已知函数 ．（1）画出 和 的图像；
（2）若 ，求a的取值范围．
【解析】（1）可得 ，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2） ，如图，在同一个坐标系里画出 图像，是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，
当 过 时， ，解得 或 （舍去），
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .
考点一 画具体函数图象
1．作出下列函数的图像：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；
(5) ；(6) ；(7) ．
【解析】（1）函数 ，则其图象可看作由反比例函数 的图象，
先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其图象如图示：
（2） ，其图象如图：（3）设 ，其图象如图：
（4）设 ，其图象如图：
（5）设 ，其图象可看作由函数 的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单
位得到，而 ，其图象可由 的图象保留 时的图象，然后将该部分关于y
轴对称得到，则 图象如图示：（6） 的图象可由函数 的图象保留x轴上方的部分不变，
将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，图象如图：
（7）设 ，则其图象可由 的图象向左平移1个单位，
再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图：
2．已知函数 ，画出函数的草图．
【解析】 ，因为 ，所以 ，所以 ，
又 和 都是增函数，所以 为增函数，故函数 的图象如图所示.
考点二 函数图象识别1．已知 ，则 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由已知得函数 的定义域为 ，由此排除选项 ,
由于 ，由此排除选项 和 ,故选： .
2．函数 在区间 上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，关于原点对称， ，
所以函数 为奇函数，故D错误；
因为 ，所以 ，所以 ，故A错误；
因为 ，所以 ，所以 ，故B错误；故选：C.
3．函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由已知得函数的定义域为 ，∵ ，
∴ 为奇函数，令 ，则 ，
其中 ，故 ，排除 ,
令 ， ，
其中 ，故 ，排除 ,故选： .
4．函数 的部分图象是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由函数 的定义为 ，且满足 ，
可得函数 为偶函数，图象关于 轴对称，可排除B、D项；
当 时，可得 ，可排除C项，
所以选项A的图象符合题意.故选：A.
5．函数 的图象大致是（ ）A． B． C． D．
【解析】由函数 可知，其定义域为 ，关于原点对称；
又对于定义域内任意 满足 ，
所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称，因此排除B，
又根据不同函数的增长速度可知，当 趋近于 ， 趋近于 ，而非接近于0，所以排除
A；又 排除D，故选：C
6．已知函数 ，若 ，且 ，则函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 且 ，得 ，所以函数图象开口向上，排除A，C；
又 ，排除B.故选：D.
7．数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，
每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数 ，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是
有多种波叠加而成的复合音．已知刻画某复合音的函数为 ，则其部分图象大致为
（ ）A． B． C． D．
【解析】令 ，
求导得
，
当 时，由 解得 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以，当 和 时， 取极大值；当 时， 取极小值，
由于 ，
可得 ，当 时 ，结合图象，只有C选项满足．故选：C．
8．将函数 的图像向左平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 的部分图像大
致为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 ，
选项A，因为 ，又 ，所以 ，故 ，根据图形知，选项A错误；选项B，因为 ，所以 ，即 不是偶函数，选项B错误；
选项C，因为 ，又 ，所以 ，故 ，根据图
形知，选项C错误；综上可知选项D符合题意.
故选：D.
考点三 根据函数图象选择解析式
一、单选题
1．已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由图像可知 ，而D选项中 ，∴排除D选项；
又图像不关于原点对称，∴ 不是奇函数，
若 ，函数定义域为R， ， 为奇函数，排除A
选项； ，是奇函数，∴排除C选项.故选：B．
2．我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”在数学的学习和研究中，常用函
数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来研究函数图象的特征，已知函数 的部分图象如下图所示，
则 可能的解析式是（ ）A． B．
C． D．
【解析】对于A，因为 ，
所以 ， ， ，
显然 ， ，所以 在 上并不单调递减，故A错误；
对于B，因为 ，所以 ， ， ，
显然 ， ，所以 在 上并不单调递增，故B错误；
对于D，因为 ，所以 ， ，
显然 ， ，所以 在 上并不单调递减，故D错误；
对于C，因为 ，
当 时， ，由复合函数的单调性易知 在 上单调递增；
当 时， ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减；综上： 的单调性满足题意，又排除了ABD，故C正确.
故选：C.
3．已知函数 的部分图象如图所示，则 可能为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】根据函数 的部分图象，可得 为奇函数，
对于A， ，
，为奇函数，
时， ，当 时， ，
，所以当 时， ，故A错误；
对于B， ， ，
所以 为偶函数，故B错误；
对于C， ， ， 为非奇非偶函数，故C错误；
对于D， ， ，故D正确.
故选：D.4．如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在x轴上方的图象对应的函数
解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【解析】A选项：易知 为偶函数，当 时， ，
此函数在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，故A正确；
B选项：记 ，则 ，故B错误；
C选项： ，故C错误；
D选项：记 ，则 ，故D错误.
故选：A
5．下列四个函数中的某个函数在区间 上的大致图象如图所示，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ， .排除A；
由偶函数定义可得 为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C；
当 时， .排除D；为奇函数，且当 时， ，
当 时， .B均符合题给特征.故选：B.
6．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计 的比赛，其中某位同学利用函数
图象设计了如图的 ，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由图可知，所选函数为偶函数，且在 右侧附近单调递减.
对于A选项，函数 的定义域为 ，
，
所以，函数 为偶函数， ，
当 时， ，则函数 在 上单调递增，A不满足；
对于B选项，函数 的定义域为 ，
，
所以，函数 为偶函数， ，
当 时， ，则函数 在 上单调递减，B满足；对于C选项，函数 的定义域为 ，
，令 ，则 且 不恒为零，
所以， 在 上单调递增，
当 时， ，则函数 在 上为增函数，C不满足；
对于D选项，函数 的定义域为 ，
则 ，
所以，函数 为奇函数，D不满足.
故选：B.
7．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复
合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A，函数 ，
因为 ，所以函数为奇函数，
又 ，故A正确；
对于B，函数 ，
因为 ，所以函数为奇函数，又 ，故B错误；
对于C，函数 ，因为 ，故C错误；
对于D，函数 ， ，故D错误，
故选：A．
8．已知函数 在 上的大致图象如下所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】函数图象关于 轴对称，函数为偶函数，选项D中函数满足
，为奇函数，排除D；
又选项C中函数满足 ，与图象不符，排除C；
选项A中函数满足 ，与图象不符，排除A，
只有B可选．故选：B．
考点四 根据实际问题选择函数图像
一、单选题
1．如图，点 在边长为1的正方形 上运动，设点 为 的中点，当点 沿 运动
时，点 经过的路程设为 ， 面积设为 ，则函数 的图象只可能是下图中的（ ）A． B． C． D．
【解析】当点 在 上时： ；
当点 在 上时：
；
当点 在 上时： ，
所以 ，由函数解析式可知，有三段线段，又当点 在 上时是减函数，故符合题
意的为A.故选：A
2．某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校.下列
各选项中，符合这一过程的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为开始时是匀速行驶，所以这位同学离学校的距离匀速减少，
途中停留一段时间，故此段时间内这位同学与学校的距离不变，
然后加快速度赶到了学校，所以这位同学与学校的距离减少的幅度越来越快，
故符合这一过程的是B中图象.故选：B.
3．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来
时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用s，s 分别表示乌龟和
1 2兔子经过的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可得 始终是匀速增长,开始时, 的增长比较快,但中间有一段时间 停止增长，
在最后一段时间里, 的增长又较快,但 的值没有超过 的值,结合所给的图象可知，B选项正确;
故选：B.
4．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P
经过的路程x与△APM的面积y之间的函数 的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据题意可得，当 时（如图1所示），S APM＝ = x；
△
当 时（如图2所示），S APM＝S ABCM－S ABP－S PCM
△ 梯形 △ △
＝ ；
当 时（如图3所示），S APM＝ ，
△
∴ ，根据函数解析式，结合图形，可知选项A符合，故选A．
5．某同学居住地距离学校1km，某天早晨到校时为了赶时间他先跑步3分钟，到早餐店买早餐耽搁1分钟
后步行到达学校，与此事实吻合最好的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】该同学从居住地出发，一开始距离学校距离为1km，排除C、D，
先跑步3分钟，再买早餐耽搁1分钟，最后步行，速度比跑步要慢一些，所以相对而言，A选项更合适.
故选：A.
6．某校航模小组进行无人机飞行测试，从某时刻开始15分钟内的速度 （单位：米/分钟）与飞行时间
（单位：分钟）的关系如图所示.若定义“速度差函数” （单位：米/分钟）为无人机在 这个时
间段内的最大速度与最小速度的差，则 的图像为（ ）
A． B．C． D．
【解析】由题图知,当 时, 无人机做匀加速运动, ,“速度差函数” ;
当 时, 无人机做匀减速运动,速度 从160开始下降,一直降到80,“速度差函数” ;
当 时, 无人机做匀减速运动, 从80开始下降, ,“速度差函数”
;
当 时无人机做匀加速运动,“速度差函数” .
所以函数 在 和 两个区间上都是常数.故选：C
7．如图所示是一鱼缸的轴截面图，已知该鱼缸装满水时储水量为V，缸高为H，其底部破了一个小洞，满
缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题得 是增函数，曲线的变化率是先慢慢变大，后慢慢变小. 故选：B.
8．如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x．函
数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【解析】根据题意，f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，∠ADP＝x．
在区间（0， ）上，P在边AC上，|PB|＞|PA|，则f（x）＞0，排除C；
在区间（ ，π）上，P在边BC上，|PB|＜|PA|，则f（x）＜0，排除B，
又由当x+x＝π时，有f（x）＝﹣f（x），f（x）的图象关于点（ ，0）对称，排除D，
1 2 1 2
故选：A
二、多选题
9．如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下
列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于A，易知水面高度的增加是均匀的，所以A不正确；
对于B，h 随t的增大而增大，且增大的速度越来越慢，所以B正确；
对于C，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越慢，后越来越快，所以C正确；
对于D，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越快，后越来越慢，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题10．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点 的轨迹方程是 ，且 ，
则使 的x的最小正值为________.
【解析】“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先
以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，
正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．点P的运动轨迹如图所示，
根据图像知，满足 的x的最小正值是 .
四、解答题
11．如图，在直角梯形OABC中，已知 ，且 ，梯形被直线
截得位于直线l左方图形的面积为S．
(1)求函数 的解析式；
(2)画出函数 的图象．【解析】（1）由题意可知：线段 的方程为 ，
当 时，直线 与梯形没有围成面积，此时
当 时，此时直线 与线段 相截，所以 ,
当 时，此时直线 与线段 相截,所以 ，
当 时， ,
综上：
（2）由 可得：
12．辆高速列车在某段路程中行驶的速率v（单位： ）与时间 （单位： ）的关系如图所示．
(1)求梯形 的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2)记梯形 位于直线 的左侧的图形的面积为 ，求函数 的解析式，并画出
其图象．
【解析】（1）四边形 的面积为 ，它表示该高速列车在这 内行驶的路程为 ．
（2）当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
综上所述， ，
图象如图所示：
