文档内容
2021-2022学年河南省新乡市长垣县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确
的。
1．（3分）下列交通标志中，轴对称图形的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a4÷a4＝a C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．a2•a3＝a6
3．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数
据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9
4．（3分）已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．72021 D．﹣72021
5．（3分）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示四
种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A． 过C作EF∥AB
B． 延长AC到F，过C作CE∥AB
C． 过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC
第1页（共24页）D． 作CD⊥AB于点D
6．（3分）一个正多边形的一个内角是其外角的3倍，则正多边形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
7．（3分）如果一个等腰三角形的周长为15cm，一边长为3cm，那么腰长为（ ）
A．3cm B．6cm C．5cm D．3cm或6cm
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠ABC＝60°．若BF是△ABC的高，与角平分线
AE相交于点O，则∠EOF的度数为（ ）
A．130° B．70° C．110° D．100°
9．（3分）某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的200元给同学们购买口罩，由于
药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买x包口
罩，则依题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线
EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．7 D．8
二、填空题（每小题3分，共15分）
第2页（共24页）11．（3分）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝3cm，则BC为 cm．
13．（3分）分解因式：2x3+4x2+2x＝ ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB
于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线
AP交BC于点D，若CD＝3，AB＝14，则△ABD的面积是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，D是线段AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折
叠，点A落在同一平面内的A'处，当A'D平行于Rt△ABC的直角边时，∠ADC的大小为
．
三、解答题（8小题，共75分）
16．（8分）化简：
（1）（2x﹣y）2﹣x（3x﹣4y）﹣（2y﹣x）（2y+x）；
（2）（x+2）（2x﹣3）+（10x3﹣12x）÷（﹣2x）．
17．（9分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x＝（ ）﹣2+（ ﹣1）0．
π
18．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
第3页（共24页）（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，以及与△ABC关于y轴对称的△DEF；
（2）△ABC的面积是 ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD
＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
20．（9分）为了进一步落实国务院《关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》
的精神，提高学生的身体素质，某校计划购买篮球和排球，为学生课间体育锻炼提供充足
的器材．已知篮球的单价是排球的1.5倍，用3600元单独购买篮球或排球，所购篮球的数
量比排球少20个．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）若该校计划购买篮球和排球共200个，筹备资金不多于15700元，那么该校最多购买
篮球多少个？
21．（10分）八年级数学上册教材第80页有如下“探究”栏目：
探究．
如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的
第4页（共24页）直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
（1）图中直角边BC与斜边AB的数量关系是 ；
（2）爱动脑子的小明同学又用不同的方法对（1）中的结论进行了证明．如图，在Rt△ABC
中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，作边AC的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点P，连接
CP．
①根据以上叙述在图中作出相应的辅助线：（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
②帮助小明完成证明过程．
证明：
22．（10分）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b
的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方
形．观察图形并解答下列问题．
第5页（共24页）（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积（答案直接填写到横线上）；
方法1： ；方法2： ；从而可以验证我们学习过的一个乘法公式 ．
（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸
片各多少张；
（3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形
ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S +S ＝20，利用（1）中得到的
1 2
结论求图中阴影部分的面积．
23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以线段OA为边在第四象限内
作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞2），连接BC，以线段BC为边在第
四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．
（1）若AD＝7，求AC的长；
（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；
如果改变，请说明理由；
（3）若以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点C的坐标．
第6页（共24页）2021-2022学年河南省新乡市长垣县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确
的。
1．（3分）下列交通标志中，轴对称图形的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
【解答】解：第1个是轴对称图形，符合题意；
第2个是轴对称图形，符合题意；
第3个不是轴对称图形，不合题意；
第4个是轴对称图形，符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形
两部分折叠后重合．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a4÷a4＝a C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．a2•a3＝a6
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则
对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：∵a2+a3≠a5，
∴选项A不符合题意；
∵a4÷a4＝a0＝1≠a，
∴选项B不符合题意；
∵（﹣a2）3＝﹣（a2）3＝﹣a6，
∴选项C符合题意；
∵a2•a3＝a5≠a6，
第7页（共24页）∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握
合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则是解题的关
键．
3．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数
据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9
【分析】由科学记数法知0.000000007＝7×10﹣9；
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9；
故选：D．
【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．
4．（3分）已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．72021 D．﹣72021
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，
进而得出答案．
【解答】解：∵点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，
∴a＝4，b＝﹣3，
则（a+b）2021＝（4﹣3）2021
＝1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
5．（3分）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示四
种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A． 过C作EF∥AB
B． 延长AC到F，过C作CE∥AB
第8页（共24页）C． 过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC
D． 作CD⊥AB于点D
【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角
的定义解决此题．
【解答】解：A．由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝
180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故A不符合题意．
B．由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得
∠∠A+∠B+∠ACB＝180°，故B不符合题意．
C．由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB．由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝
∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故
C不符合题意．
D．由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故D符合
题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义
是解决本题的关键．
6．（3分）一个正多边形的一个内角是其外角的3倍，则正多边形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【分析】设正多边形的边数为n，利用多边形的内角和公式和外角和定理即可解答．
【解答】解：设正多边形的边数为n，由题意得：
（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得：n＝8，
故选：A．
【点评】本题考查多边形的内角（和）与外角（和），熟记多边形的内角和公式及外角和为
360°是解答的关键．
7．（3分）如果一个等腰三角形的周长为15cm，一边长为3cm，那么腰长为（ ）
第9页（共24页）A．3cm B．6cm C．5cm D．3cm或6cm
【分析】依题意，根据等腰三角形的性质，已知一条边长为3cm，不能确定是腰长还是底边
长，故可分情况讨论，还要依据三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰为3时，三边为3，3，9不能构成三角形；
当底为3时，腰为6，6，能构成三角形．
所以这个等腰三角形的腰长为6cm．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题
目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，
这点非常重要，也是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠ABC＝60°．若BF是△ABC的高，与角平分线
AE相交于点O，则∠EOF的度数为（ ）
A．130° B．70° C．110° D．100°
【分析】根据角平分线的定义、三角形的高的定义，由AE平分∠BAC，得∠EAF＝
＝ ．由BF是△ABC的高，得∠BFA＝90°．根据三角形外角的性质，得
∠EOF＝∠EAC+∠AFO＝130°．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠EAF＝ ＝ ．
∵BF是△ABC的高，
∴∠BFA＝90°．
∴∠EOF＝∠EAC+∠AFO＝40°+90°＝130°．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的高、三角形的角平分线、三角形的外角的性质，熟练掌握三
第10页（共24页）角形的高、三角形的角平分线、三角形的外角的性质是解决本题的关键．
9．（3分）某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的200元给同学们购买口罩，由于
药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买x包口
罩，则依题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据原计划每包的价格＝实际购买每包的价格+2，可以列出相应的分式方程．
【解答】解：由题意可得，
+2＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关
系，列出相应的方程．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线
EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．7 D．8
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的
最小值，即可得到△ABP周长的最小值．
【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
设AC交EF于D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
∵AB＝3，AC＝4，
∴△ABP周长的最小值是AB+AC＝3+4＝7．
故选：C．
第11页（共24页）【点评】本题考查了勾股定理，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的
位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，
多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 x ≠ 1 ．
【分析】分式有意义时，分母x﹣1≠0，据此求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式
无意义的条件是分母等于零．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝3cm，则BC为 9 cm．
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC，
求出∠DAC＝∠C，根据等腰三角形的判定得出AD＝DC＝3cm，根据含30°角的直角三角
形的性质得出BD＝2AD＝6cm，再求出答案即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣90°＝30°＝∠C，
∴AD＝DC，
∵AD＝3cm，
第12页（共24页）∴DC＝3cm，
在Rt△BAD中，∠B＝30°，
∴BD＝2AD＝6cm，
∴BC＝BD+DC＝6+3＝9（cm），
故答案为：9．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内
角和定理等知识点，能求出∠B和∠DAC的度数是解此题的关键．
13．（3分）分解因式：2x3+4x2+2x＝ 2 x （ x + 1 ） 2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2x（x2+2x+1）
＝2x（x+1）2．
故答案为：2x（x+1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题
的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB
于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线
AP交BC于点D，若CD＝3，AB＝14，则△ABD的面积是 2 1 ．
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝CD＝3，根据三角形面积公式计
算即可得到△ABD的面积．
【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，
由尺规作图可知，AD为∠CAB的平分线，
又∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝3，
∴△ABD的面积＝ ×AB×DE＝ ×14×3＝21，
故答案为：21．
第13页（共24页）【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是
解题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，D是线段AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折
叠，点A落在同一平面内的A'处，当A'D平行于Rt△ABC的直角边时，∠ADC的大小为
112.5° 或 67.5° ．
【分析】由折叠的性质可得∠ACD＝∠A'CD，∠A＝∠A'＝45°，分两种情况讨论，利用平行
线的性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵Rt△ABC中，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，∠ACB＝90°，
∵把△ACD沿直线CD折叠，
∴∠ACD＝∠A'CD，∠A＝∠A'＝45°，
若A'D∥BC，
∴∠A'＝∠BCA'＝45°，
∴∠ACA'＝45°，
∴∠ACD＝22.5°，
∴∠ADC＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
若A'D∥AC，
∴∠A+∠A'DC＝180°，且∠ACD＝∠A'CD，
∴45°+2∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝67.5°，
故答案为：112.5°或67.5°．
【点评】本题考查了翻折变换，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想
第14页（共24页）解决问题是本题的关键．
三、解答题（8小题，共75分）
16．（8分）化简：
（1）（2x﹣y）2﹣x（3x﹣4y）﹣（2y﹣x）（2y+x）；
（2）（x+2）（2x﹣3）+（10x3﹣12x）÷（﹣2x）．
【分析】（1）先用完全平方、平方差公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可；
（2）先算乘除，再算加减．
【解答】解：（1）（2x﹣y）2﹣x（3x﹣4y）﹣（2y﹣x）（2y+x）
＝4x2﹣4xy+y2﹣3x2+4xy﹣4y2+x2
＝2x2﹣3y2．
（2）（x+2）（2x﹣3）+（10x3﹣12x）÷（﹣2x）
＝2x2﹣3x+4x﹣6﹣5x2+6
＝﹣3x2+x．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式混合运算的顺序和相关运算的
法则．
17．（9分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x＝（ ）﹣2+（ ﹣1）0．
π
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的，最后根据负整数指数幂
和零指数幂的运算法则化简x的值，代入求值即可．
【解答】解：原式＝[ ]÷
＝
＝
＝ ，
∵x＝（﹣ ）﹣2+（ ﹣1）0＝4+1＝5，
π
∴原式＝ ．
【点评】本题考查分式的化简求值，理解零指数幂和负整数指数幂的运算法则，掌握分式
混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）
第15页（共24页）和计算法则是解题关键．
18．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，以及与△ABC关于y轴对称的△DEF；
（2）△ABC的面积是 4 ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【分析】（1）先利用关于y轴对称的点的坐标特征得到D、E、F的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（3）设P点坐标为（t，0），利用三角形面积公式得到 ×|t﹣2|×1＝4，然后求出t得到P点
坐标．
【解答】解：（1）如图，△ABC和△DEF为所作；
（2）△ABC的面积＝4×3﹣ ×2×1﹣ ×2×3﹣ ×2×4＝4；
故答案为4；
（3）设P点坐标为（t，0），
第16页（共24页）∵△ABP的面积为4，
∴ ×|t﹣2|×1＝4，
解得t＝﹣6或10，
∴P点坐标为（﹣6，0）或（10，0）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图
形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了三角形面积公式．
19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD
＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明
△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定
理即可求出∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
第17页（共24页）∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝ （180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三
角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．
20．（9分）为了进一步落实国务院《关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》
的精神，提高学生的身体素质，某校计划购买篮球和排球，为学生课间体育锻炼提供充足
的器材．已知篮球的单价是排球的1.5倍，用3600元单独购买篮球或排球，所购篮球的数
量比排球少20个．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）若该校计划购买篮球和排球共200个，筹备资金不多于15700元，那么该校最多购买
篮球多少个？
【分析】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为1.5x元，由题意：用3600元单独购买篮
球或排球，所购篮球的数量比排球少20个．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买篮球m个，则购买排球（200﹣m）个，由题意：筹备资金不多于15700元，列出
一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为1.5x元，
由题意得： ﹣ ＝20，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，
第18页（共24页）则1.5x＝90，
答：篮球的单价为90元，排球的单价为60元；
（2）设购买篮球m个，则购买排球（200﹣m）个，
由题意得：90m+60（200﹣m）≤15700，
解得：m≤123 ，
答：该校最多购买篮球123个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准
等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．（10分）八年级数学上册教材第80页有如下“探究”栏目：
探究．
如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的
直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
（1）图中直角边BC与斜边AB的数量关系是 AB ＝ 2 BC ；
（2）爱动脑子的小明同学又用不同的方法对（1）中的结论进行了证明．如图，在Rt△ABC
中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，作边AC的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点P，连接
CP．
①根据以上叙述在图中作出相应的辅助线：（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
②帮助小明完成证明过程．
证明：
第19页（共24页）【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝AD，∠B＝∠D＝60°，BC＝CD＝ BD，推
出△ABD是等边三角形，于是得到AB＝2BC，
（2）①根据题意作出图形即可；
②根据三角形的内角和定理得到∠B＝90°﹣∠A＝60°，根据线段垂直平分线的性质得到
AP＝CP，求得∠ACP＝∠A＝30°，根据等边三角形的性质得到BP＝BC＝CP，于是得到结
论．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△ADC，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝60°，BC＝CD＝ BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB，
∴AB＝2BC，
故答案为：AB＝2BC；
（2）①如图所示；
②证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∵PD垂直平分AC，
∴AP＝CP，
第20页（共24页）∴∠ACP＝∠A＝30°，
∴∠PCB＝∠ACB﹣∠ACP＝60°，
∴∠B＝∠PCB＝60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴BP＝BC＝CP，
∴BP＝BC＝CP＝AP，
∵AB＝AP+BP，
∴AB＝2BC．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，线段的垂直平分线的性质．含30°的角的直角三角
形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．（10分）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b
的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方
形．观察图形并解答下列问题．
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积（答案直接填写到横线上）；
方法1： （ a + b ） 2 ；方法2： a 2 + 2 a b + b 2 ；从而可以验证我们学习过的一个乘法公式
（ a + b ） 2 ＝ a 2 + 2 a b + b 2 ．
（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸
片各多少张；
（3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形
ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S +S ＝20，利用（1）中得到的
1 2
结论求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）先表示面积，再求关系．
（2）先表示大长方形的面积，再确定三种纸片张数．
（3）通过（1）中结论计算．
第21页（共24页）【解答】解：（1）大正方形的边长为：a+b，面积为（a+b）2；
还可以用1张A，B，两张C拼出，
∴面积还可以为：a2+2ab+b2；
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
∴所需A、B两种纸片各2张，C种纸片5张．
（3）设AC＝a，BC＝CF＝b则a+b＝6，
∵S +S ＝20，
1 2
∴a2+b2＝20
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴20＝62﹣2ab，∴ab＝8，
∴ ．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题
的关键．
23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以线段OA为边在第四象限内
作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞2），连接BC，以线段BC为边在第
四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．
（1）若AD＝7，求AC的长；
（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；
如果改变，请说明理由；
（3）若以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点C的坐标．
第22页（共24页）【分析】（1）由SAS判定△OBC≌△ABD，得OC＝AD＝7，再由点A的坐标为（2，0），得
OA＝2，即可得出答案；
（2）由等边三角形的性质得∠BOA＝∠OAB＝60°，再由全等三角形的性质得∠BAD＝
∠BOC＝60°，然后由∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD可得答案；
（3）先由全等三角形的性质和等边三角形的性质求得∠EAC＝120°，进而得出以A，E，C
为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，然后由含30°角的直角三角形的性质得
AC＝AE＝4，据此得到OC＝6，即可得出点C的坐标．
【解答】解：（1）∵△AOB、△CBD都是等边三角形，
∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC，
∴∠ABO+∠ABC＝∠DBC+∠ABC，
即∠OBC＝∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
，
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴OC＝AD＝7，
又∵点A的坐标为（2，0），
∴OA＝2，
∴AC＝OC﹣OA＝7﹣2＝5；
（2）点C在运动过程中，∠CAD的度数不会变化，∠CAD＝60°，理由如下：
∵△AOB是等边三角形，
∴∠BOA＝∠OAB＝60°
由（1）可知，△OBC≌△ABD，
∴∠BAD＝∠BOC＝60°，
∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°；
（3）由（1）可知，△OBC≌△ABD，
∴∠BOC＝∠BAD＝60°，
又∵∠OAB＝60°，
∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，
第23页（共24页）∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，
∴AC＝AE，
∵点A的坐标为（2，0），
∴OA＝2，
在Rt△AOE中，∠OEA＝30°，
∴AE＝2OA＝4，
∴AC＝AE＝4，
∴OC＝OA+AC＝2+4＝6，
∴C的坐标为（6，0），
即以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形，点C的坐标为（6，0）．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、坐
标与图形性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角
形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
第24页（共24页）
