文档文本内容
2.4 一元一次不等式组 导学案
1.理解一元一次不等式组的核心概念，掌握“分别解不等式→数轴找公共部分→表示解集”的完整解法。
2.灵活运用数轴准确判断不等式组的公共部分，尤其是含等号与不含等号、边界点虚实的区别。
学习重点：利用数轴求一元一次不等式组的公共解，形成图形与代数结合的思维。
学习难点：含等号时边界点是否取到以及对应的虚线或实线表示。
第一环节 自主学习
问题情境：
情景引入
经过上节课的学习，你还记得一元一次不等式与一次函数有什么关系吗？
一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解集；
对应一次函数y=kx+b的图像在x轴上方（或 下方）时，所有 x的取值范围。
简单来说，我们可以通过一次函数的图像来判断一元一次不等式的解集.
并且利用这个关系，能够解决实际问题中的决策类问题.
下面我们将从以下情境出发，学习一元一次不等式组.
新知自研：自研课本第71--73页的内容．
【学法指导】
自研课本P71-73页例题上面的内容，思考：
●探究一：一元一次不等式组的概念
◆1.新知探究
某学校举办春季运动会，八（1）班承担制作彩旗的任务，计划用4天的课余时间制作彩旗。如果每天比
原计划多制作5面，那么所制作彩旗总量将超过124面；如果每天比原计划少制作6面，那么所制作彩旗
总量将不足96面。设八（1）班原计划每天制作 x 面彩旗，你能列出哪些不等式？
解： 由题意可列不等式： 4(x+5 ) > 124
由题意可列不等式： 4(x−6)<96
思考：这两个不等式有什么特点？它们都含有同一未知数 x 、都是一元一次不等式
◆2.知识归纳
{4(x+5)>124,
一元一次不等式组：把以上不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组：
4(x-6)<96
一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组
◆3..练一练
在下列各式中，是一元一次不等式组的是（ ）
x+3>2
{
{x+y>4
A. 1 B.
+2≤5 x-y<6
x
{x+4≥-3 {x-6>-2
C. D.
6<12 x+1<8
【分析】几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组
解：选D
●探究二：一元一次不等式组的解
◆1.想一想
你能列出一个不等式组，满足以下题中的两个要求吗？
用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素 C含量及购买这两种原料的价格如下表所示：
（2.1习题第9题）
维生素C的含量 原料价格
原料
（单位/kg） （元/kg）
甲 600 8
乙 100 4
①现配制这种饮料10 kg，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量 x（单位：
kg）应满足的不等式.
②如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，写出 x（单位：kg）应满足的另一个不等式.
【解答】解:①若甲原料质量为 xkg，则乙原料质量为 (10−x)kg。 根据维生素C含量要求：
根据维生素C含量要求，得： 600x+100(10−x)≥4200.
②根据费用不超过72元，可列不等式： 8x+4(10−x)≤72
将以上两个不等式合在一起可得不等式组：{600x+100(10-x)≥4200
，
8x+4(10-x)≤72
尝试找出这个不等式组的解：
解不等式①，得：x≥6.4
解不等式②，得：x≤8
在数轴上表示它们的解集：
公共部分：6.4≤x≤8
故不等式组的解集为：6.4≤x≤8
◆2.知识归纳
（1）一元一次不等式组的解集：
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集
的过程，叫作解不等式组.
（2）解不等式组的步骤：
①分别解 每个不等式 .
②在数轴上表示每个不等式的 解集 .
③确定公共部分，写出不等式组的解集.
④结合实际意义验证解集.
◆3.典例分析
2x-1>-x①
{
例1 解不等式组： 1
x<3 ②
2
1
【解答】解：解不等式①，得：x>
3
解不等式②，得：x<6
在数轴上表示解集，如下图所示：
1
因此，原不等式组的解集为 <x<6
35x-2>3(x+1) ①
{
例2 解不等式组： 1 3
x-1≥7- x ②
2 2
5
【解答】解：解不等式①，得：x>
2
解不等式②，得：x≥4
在数轴上表示解集,如下图：
因此，原不等式组的解集为x≥4
◆4.知识归纳
求一元一次不等式组的解集
①同大取大：解集为 x>较大的数
②同小取小：解集为 x<较小的数
③大小小大中间找：解集为 较小的数<x<较大的数
④大大小小无解了：无解
◆5.练一练
{5x-1>2x+5①
解不等式组：
x-4<3x+1②
【解答】解：解不等式①，得x>2，
5
解不等式②，得x>− ，
2
在数轴上表示解集如下图：
观察图像或利用“同大取大”得：
不等式组的解集为x>2
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨什么是一元一次不等式组以及如何解一元一次不等式组；
B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，强调易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.1．下列不是一元一次不等式组的是（ ）
A． {x>3， x<1
B． {3x>7， 2x-1<5
C． {x-2>3 ，y+2<0
D． {5x-7>3， 2x>1
解：C．
2.下列不等式组，
① {x>-2, x<3
② {x+1>0, y-1<x
③ {2x>0, x+2>0
1
④ {x+3>0, >-7
2
⑤ {x<x+1, x2+2>4
其中是一元一次不等式组的有 _______个．
解：2．
3.解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
(1){x−2≥−3①，2(x−1)<x+3
解：解不等式①得：x≥−1
解不等式②得：x<5
在数轴上表示如下图：
∴原不等式组的解集为−1≤x<5
x x-2
(2){2(x+2)≤3x+6①， < ②
2 3
解：解不等式①得：x≥−2，
解不等式②得：x<−4，
在数轴上表示如下图：∴原不等式无解
5x-2>3(x+1)
{
4.解不等式组： 1 3 ，并写出它的所有整数解
x-7≤1- x
2 2
5
解：解不等式①，得：x> ，
2
解不等式②，得：x≤4，
在数轴上表示如下图：
5
则不等式组的解集为： <x≤4
2
所以不等式组的整数解为：3，4
题型一 一元一次不等式组的识别
1．下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）
A．
{x+2≤3，
) B．{x+ y＜2，)
1−x
＜2 3x+2≥0
x
{3＞2，) {x≤3，)
C． D．
2x≥4 x＞6
【分析】根据一元一次不等式组的定义即用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是
1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式组解答即可．
【解答】解：A、分母中含有未知数，不符合题意；
B、含有两个未知数，不符合题意；
C、第一个不等式中没有未知数，不符合题意；
D、符合一元一次不等式组的定义，符合题意；
故选：D．
【点评】本题比较简单，考查的是一元一次不等式组的定义，只要熟练掌握一元一次不等式组的定义即可轻松解答．
2．下列各式中，是一元一次不等式组的是（ ）
{x+ y＞3，) {x≥3，)
A． B．
x＜1 x＞1
C．{x2=5，) D．
{x＜3，
)
1
x＜2 ＞1
x
【分析】根据一元一次不等式组的定义即用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是
1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式组解答即可．
【解答】解：A、含有二个未知数，不符合题意；
B、符合一元一次不等式组的定义，符合题意；
C、未知数的最高次数是2，不符合题意；
D、分母中含有未知数，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题比较简单，考查的是一元一次不等式组的定义，只要熟练掌握一元一次不等式组的定义即
可轻松解答．
3．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．{ x+ y=1 ) B．{x2+x＞2)
x−y＞1 x+1＞0
{2x+3＞x) {
x+1＞2
)
C． D． 2x+3＞x−1
x+2＞3 y
x＞2
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等
式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B、未知数的次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、是一元一次不等式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了对一元一次不等式组的定义的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力．题型二 确定简单不等式组的解集
4．直接写出下列数轴表示的不等式组的解集
（1） 解集为 ；
（2） 解集为 ；
（3） 解集为 ；
（4） 解集为 ．
【分析】根据数轴上画出的部分写出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1） 解集为空集；
故答案为：空集；
（2） 解集为0＜x≤3；
故答案为：0＜x≤3；
（3） 解集为x＞3；
故答案为：x＞3；
（4） 解集为x≤3．
故答案为：x≤3．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右
画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用
实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．利用数轴直接写出不等式组的解集
{x＞4，)
（1） 解集是 ；
x≥−2；
{x＜4)
（2） 解集是 ；
x≤−2
{ x＜4 )
（3） 解集是 ；
x≥−2；
{x＞4，)
（4） 解集是 ．
x≤−2；
【分析】根据数轴上画出的部分写出不等式组的解集即可．
{x＞4，)
【解答】解：（1） 解集是x＞4；
x≥−2；
故答案为：x＞4；
{x＜4)
（2） 解集是x≤﹣2；
x≤−2
故答案为：x≤﹣2；
{ x＜4 )
（3） 解集是﹣2≤x＜4；
x≥−2；故答案为：﹣2≤x＜4；
{x＞4，)
（4） 解集是无解．
x≤−2；
故答案为：无解．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右
画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不
等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用
实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．直接写出不等式组的解集：
{x＞3) {x≤−6)
{x＜−1
)
（1） ；（2） ；（3） x＞3 ．
x＜8 x≥−6
x＞2
【分析】（1）根据口诀“大小小大中间找”即可确定答案；
（2）找到这两个x的取值范围的公共部分即可；
（3）根据“同大取大”及“大大小小无解了”即可得出答案．
{x＞3)
【解答】解：（1） 的解集为3＜x＜8；
x＜8
{x≤−6)
（2） 的解集为x＝﹣6；
x≥−6
{x＜−1
)
（3） x＞3 无解；
x＞2
故答案为：3＜x＜8，x＝﹣6，无解．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．题型三 求不等式组的解集
{ 2x≤3−x )
7．解不等式组 ，请按下列步骤完成解答．
x−4≥4x+2
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小
找不到确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可．
【解答】解：（1）解不等式①，得x≤1；
（2）解不等式②，得x≤﹣2；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是x≤﹣2．
故答案为：x≤1，x≤﹣2，x≤﹣2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
{ 2x−1≤3① )
8．解不等式组： ．
x−1 x
− ＜1②
3 2
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小
找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣8，
则不等式组的解集为﹣8＜x≤2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．解不等式组： { x−2 +3＞x+1 ) ，并将它的解集在数轴上表示出来．
2
1−3(x−1)≤8−x
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：
{ x−2 +3＞x+1① )
，
2
1−3(x−1)≤8−x②
由①得，x＜2；
由②得，x≥﹣2．
故不等式组的解集为：﹣2≤x＜2．
在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小
找不到”的原则是解答此题的关键．
题型四 求不等式组的特殊解
{−2x＜6)
10．不等式组 的最小整数解是 ．
x−3＞0
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确
定出最小整数解即可．
{−2x＜6①)
【解答】解： ，
x−3＞0②
由①得x＞﹣3，
由②得x＞3，
∴不等式组的解集为x＞3，
则不等式组的最小整数解为4．
故答案为：4．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
11．解不等式组 {
4+3x＜13
)，并写出它的正整数解．
x+2 x−1
− ≤2
3 2
【分析】熟知“比大小，比小大，中间找”的原则．先解出每个不等式的解集，再根据“比大小，比小
大，中间找”求出不等式组的解集，最后求出其非正整数解．
{
4+3x＜13①
)
【解答】解： ，
x+2 x−1
− ≤2②
3 2
解不等式①得x＜3，
解不等式②得x≥﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5≤x＜3
∴不等式组的正整数解为1，2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的基本解法，关键是要熟练掌握一元一次不等式组的基本解法、
12．解不等式组
{4x+8＞x−1
)，并写出它的所有负整数解．
x+2 x
≤ +1
3 2
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，
最后求出不等式组的整数解即可．
{4x+8＞x−1 ①
)
【解答】解： ，
x+2 x
≤ +1 ②
3 2
解不等式①，得x＞﹣3，
解不等式②，得x≥﹣2，
所以不等式组的解集是x≥﹣2，
所以不等式组的负整数解是﹣1，﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律
求出不等式组的解集是解此题的关键．
题型五 根据不等式组的解集求字母范围
{2x−4＞0)
13．若不等式组 无解，则m的值不可能是（ ）
x＜mA．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据不等式组无解求出m的取值范围，即可得出选项．
{x＞2)
【解答】解：解不等式组得 ，
x＜m
∵不等式组无解，
∴m≤2，
∴m的值不可能是3．
故选：D．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
14．若关于x的不等式组{ 5x＞3x+2a )的解集为x＞3，则a的取值范围是（ ）
4(x−1)＞3x−1
A．a≤3 B．a＜3 C．a≥3 D．a＞3
【分析】用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可．
【解答】解：{ 5x＞3x+2a① )
4(x−1)＞3x−1②
解不等式①得：x＞a，
解不等式②得：x＞3，
∵不等式组的解集是x＞3，
∴a≤3．
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间
找；大大小小找不到”的原则．
15．若关于x的一元一次不等式组
{x≥b−1
)的解集为 3，则ab＝ ．
a −3≤x＜
x＜ 2
2
【分析】根据不等式组的解集情况列方程求a，b的值，从而求解．
【解答】解：关于x的一元一次不等式组
{x≥b−1
)的解集为：b﹣1≤x a，
a ＜
x＜ 2
23
又∵该不等式组的解集为﹣3≤x＜ ，
2
a 3
∴b﹣1＝﹣3， = ，
2 2
解得：b＝﹣2，a＝3，
∴ab＝3×（﹣2）＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小
找不到”的原则是解答此题的关键．
题型六 利用整数解求字母的取值范围
{x＜m)
16．不等式组 有4个整数解，则m的取值范围是（ ）
x≥3
A．6≤m≤7 B．6＜m＜7 C．6≤m＜7 D．6＜m≤7
【分析】根据关于x的不等式组的解集和整数解的个数确定关于m的不等式组，再求出解集即可．
{x＜m)
【解答】解：关于x的不等式组 有解，其解集为3≤x＜m，
x≥3
∵关于x的不等式组恰有4个整数解，
∴6＜m≤7，
故选：D．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的解法，理解一元一次不等式组
的整数解的意义是正确解答的前提．
{3x−2＜1)
17．若关于x的不等式组 恰有两个整数解，则m的取值范围是（ ）
m−x＜1
A．﹣1＜m≤0 B．﹣1≤m＜0 C．﹣1＜m＜0 D．﹣1＜m≤1
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
{3x−2＜1①)
【解答】解： ，
m−x＜1②
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＞m﹣1，
∴原不等式组的解集为：m﹣1＜x＜1，
∵不等式组恰有两个整数解，∴﹣2≤m﹣1＜﹣1，
解得：﹣1≤m＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
{2x+5＞0)
18．若关于x的不等式组 只有3个整数解，则k的取值范围为 ．
3x−k＜4
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有 3个整数解可得关于k的不等式组，解不等式
组可得k的范围．
5
【解答】解：解不等式2x+5＞0，得：x＞− ，
2
4+k
解不等式3x﹣k＜4，得：x＜ ，
3
5 4+k
则不等式组的解集为− ＜x＜ ，
2 3
∵不等式组有3个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0．
则﹣4＜k≤﹣1，
故答案为：﹣4＜k≤﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组有3个
整数解得到关于k的不等式组是关键．
题型七 方程（组）与不等式组的综合应用
19．若不等式组 {
2x+3＜1
)的整数解是关于x的方程3x﹣1＝ax的解，求a的值．
1
x＞ (x−3)
2
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集中的公共部分，确定出不等式组的解集，找出
解集中的整数解，确定出x的值，将x的值代入已知方程计算，即可求出a的值．
{
2x+3＜1①
)
【解答】解： ，
1
x＞ (x−3)②
2
由①得：x＜﹣1，
由②得：x＞﹣3，∴不等式组的解集为﹣3＜x＜﹣1，
∴整数解为﹣2，
把x＝﹣2代入已知方程得：﹣6﹣1＝﹣2a，
解得a＝3.5；
∴a的值为3.5．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元二次方程的解，求出不等式组的整数解是解
本题的关键．
{x+3 y=5m+6)
20．已知关于x，y的方程组 的解满足x为负数，y为非负数．
2x−y=3m−2
（1）用含字母m的代数式表示x和y；
（2）若m为整数，求m的值．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）根据题意得出关于m的不等式组，解之可得．
{x+3 y=5m+6①)
【解答】解：（1） ，
2x−y=3m−2②
①+②×3，得7x＝14m，
解得x＝2m，
把x＝2m代入②，得y＝m+2；
{ x=2m )
故方程组的解为 ；
y=m+2
{x+3 y=5m+6)
（2）关于x，y的方程组 的解满足x为负数，y为非负数，
2x−y=3m−2
{2m＜0)
∴ ，
m+2≥0
解得﹣2≤m＜0，
∵m为整数，
∴m的值为﹣2，﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
{x+2y=3m+1)
21．已知关于x、y的方程组满足 ，且它的解x为负数，y为正数．
x−y=m−2
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求实数m的取值范围；（3）化简|m+2|+|m﹣1|．
【分析】（1）根据加减消元法，可以解答此方程组；
（2）根据（1）中的结果和x为负数，y为正数，可以列出相应的不等式组，然后求解即可；
（3）根据（2）中的结果，可以将绝对值符号去掉，然后化简即可．
{x+2y=3m+1 ①)
【解答】解：（1） ，
x−y=m−2 ②
①﹣②，得：3y＝2m+3，
2m+3
解得y= ，
3
2m+3 5m−3
将y= 代入②，得：x= ，
3 3
5m−3
{x= )
∴方程组的解是 3 ；
2m+3
y=
3
5m−3
{x= )
（2）∵x为负数，y为正数， 3 ，
2m+3
y=
3
5m−3
{ ＜0)
∴ 3 ，
2m+3
＞0
3
3 3
解得− ＜m＜ ，
2 5
3 3
即实数m的取值范围是− ＜m＜ ；
2 5
3 3
（3）∵− ＜m＜ ，
2 5
∴m+2＞0，m﹣1＜0，
∴|m+2|+|m﹣1|
＝m+2+1﹣m
＝3．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解答本题的关键是明确解不等式组和二元一次方程组的方法．
▲1、一元一次不等式组的解集：
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集
的过程，叫作解不等式组.
▲2、解不等式组的步骤：
①分别解 每个不等式 .
②在数轴上表示每个不等式的 解集 .
③确定公共部分，写出不等式组的解集.
④结合实际意义验证解集.
▲3、求一元一次不等式组的解集
①同大取大：解集为 x>较大的数
②同小取小：解集为 x<较小的数
③大小小大中间找：解集为 较小的数<x<较大的数
④大大小小无解了：无解
