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第 04 讲 一元一次不等式组
课程标准 学习目标
①一元一次不等式组的定义 1.掌握一元一次不等式组的定义；
②解一元一次不等式组 2.掌握解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示；
③一元一次不等式组的应用 3.会运用一元一次不等式组解决简单的实际问题。
知识点01 一元一次不等式组的定义
（1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析
形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也
有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的
任意几个．【即学即练1】（2024八年级上·全国·专题练习）下列不等式组：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【即学即练2】（22-23七年级下·四川凉山·期末）下列是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点02 解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组
的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些
解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
【即学即练1】（24-25七年级下·全国·期中）解不等式组： 并把解集表示在数轴上．
【即学即练2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）解不等式组： ’并在数轴上表示
出不等式组的解集．
【即学即练3】（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）以下是小新解不等式组 的解答过程．
解：由①得 ，第一步
所以 ，第二步
由②得 ，第三步
所以 ，第四步
故原不等式组的解集是 ．第五步
小新的解答过程从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来．知识点03 一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一
步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结
果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
【即学即练1】（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式组 的整数解是 ．
【即学即练2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）不等式组 的整数解的和是 ．
【即学即练3】（24-25八年级上·湖南衡阳·开学考试）若关于x的不等式组 ，恰好有三
个整数解，则m的取值范围是 ．
知识点04 一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
【即学即练1】（2025七年级下·全国·专题练习）认真阅读下面三个人的对话．
小朋友：阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上10元钱）．
售货员：本来你用10元钱买一盒饼干是有剩余的，但再买一袋牛奶就不够了．不过今天是儿童节，我给你
买的饼干打9折，两样东西请拿好，还有找你的8角钱．
旁观者：一盒饼干的标价可是整数哦！
根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少？
【即学即练2】（24-25八年级上·重庆·期末）新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春
联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元．
(1)求每副春联、每对窗花的进价各是多少元；
(2)小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总
进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多
少副春联时销售利润最大，并求出最大利润．题型01 一元一次不等式组的定义
例题：（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：① ；② ；③ ；④
；⑤ ，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有( )
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型02 求一元一次不等式组的解集
例题：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）解不等式组 请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得______．
(2)解不等式②，得______．
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集是______．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川成都·期中）解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来
(1) ；(2) ．
2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）解下列不等式组．
(1)
(2)
题型03 求一元一次不等式组的整数解
例题：（2025九年级下·全国·专题练习）不等式组 的整数解有 个．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不等式组 的整数解是 ．
2．（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）不等式组 的正整数解是 ．
题型04 解一元一次不等式组中错解复原问题
例题：（2024九年级下·山西·专题练习）下面是小李解不等式组 ，的部分过程，请认真阅
读并完成相应任务．
解：令
解不等式①，得 ．
去分母，得 ． 第一步
移项、合并同类项，得 ． 第二步
系数化为1，得 ． 第三步
……
任务一：上述解不等式①的过程第______步出现了错误，其原因是______；
任务二：请你写出解此不等式组的正确过程．
【变式训练】
1．（2024·宁夏银川·二模）下面是小林同学解一元一次不等式组 的过程，请认真阅读
并完成相应的任务．
解：由①去分母，得 ．………………第一步
去括号，得 ．…………………………第二步
移项，得 ．………………………… 第三步
合并同类项，得 ．…………………………………第四步
系数化为1，得 ．…………………………………第五步
任务一：
（1）以上解题过程中，第一步的依据是_____________________________；
（2）第_______________步开始出现错误，错误的原因是_______________________；
任务二：
（1）解不等式②得___________________；
（2）把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，并写出该不等式组的正确解集_____________．
2．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下面是小明作业本上解不等式组 的部分过程，
请认真阅读，完成相应任务．
解：由不等式①得，
第1步
∴ 第2步
∴ 第3步
∴ 第4步
∴ 第5步
任务一：小明的解答过程中，第______步是依据乘法分配律进行变形的；第 步开始出现错误，这一步错
误的原因是 ；
任务二：不等式②的解集是 ；直接写出这个不等式组的整数解是 ．
任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式组需要注意的事项给其他同学分享一下．（至少说两条）
题型05 由一元一次不等式组的解集求参数例题：（23-24九年级上·浙江·期末）关于x的一元一次不等式组 的解为 ，则m的取值范围
为 ．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·四川成都·期中）若关于x的不等式组 有且仅有 个整数解，则实数 的取
值范围为
2．（23-24七年级下·全国·单元测试）若关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是 ．
题型06 一元一次不等式组和方程组结合的问题
例题：（23-24七年级下·北京·期末）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，
则 的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知 ，且 ，则k的取值范围是 ．
2．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于 的一元一次不等式组 的解集是
，且关于 的方程 有正整数解，则符合条件的所有整数 的和为 ．
题型07 列一元一次不等式组
例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增
购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球
150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球 个，可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·全国·假期作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按
每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为 千米，则 应满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每
人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x
名学生，则可列不等式组为 ．
题型08 用一元一次不等组解决实际问题
例题：（23-24七年级下·四川内江·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，
生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测
算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元．
(1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
(2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的
生产方案有哪几种？
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，
文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书
法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格
比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求
购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问哪有几种购买方案？
2．（24-25八年级上·广东江门·开学考试）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安
全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售 ， 两种头盔，
批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题．
种头
名称 种头盔
盔
批发价（元/个） 60 40
零售价（元/个） 80 50
(1)该商店第一次批发 ， 两种头盔共120个，用去5600元钱，求 ， 两种头盔各批发了多少个；
(2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发 种头盔不高
于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批
发方案．一、单选题
1．（24-25八年级上·重庆·期末）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·浙江温州·期末）若点 在第二象限，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D．
3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，
则空一间还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25八年级上·重庆·期末）关于x的方程 的解是非负整数，且关于y的不等式组
有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．8 B．12 C．15 D．18
5．（24-25八年级上·浙江温州·期末）按图中的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值 ”到“结
果是否 ？”为一次操作，如图操作四次才停止，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
操作次
1 2 3 4
数输出结
果
二、填空题
6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组 的解集为 ．
7．（22-23七年级下·甘肃庆阳·阶段练习）下列不等式组：① ② ③ ④
⑤ ．其中是一元一次不等式组的有 个．
8．（24-25八年级上·全国·期末）若方程组 的解 满足 ，则 的取值范围是
．
9．（24-25八年级上·浙江·期中）如果一元一次不等式组 的解集为 ，则m的取值范围是
．
10．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若线段 ， ， 能构成三角形，且使关于 的不等式组
有解的所有整数 和为 ．
三、解答题
11．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
12．（2023·江苏扬州·一模）解不等式组： 并求出它的所有整数解的和．
13．（23-24七年级下·新疆昌吉·期末）解不等式组： ，并在数轴上表示出它的解集．
14．（22-23九年级下·四川攀枝花·阶段练习）解不等式组： ，在数轴上表示它的解集，
并写出所有整数解．
15．（23-24七年级下·广西百色·期中）【阅读理解】下面是某同学解不等式组 的部分解答过程，请认真阅读并完成任务．
解：解不等式①：
移项，得 第1步，
合并同类项，得 第2步，
两边都除以 ，得 第3步．
【任务一】
（1）该同学的解答过程中第______步出现了错误，错误的原因是______，不等式①的正确解集是______；
【任务二】
（2）解不等式②；
（3）写出该不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解．
16．（24-25八年级上·全国·期末）若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，求 的取
值范围．
17．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于x、y的方程组 ，且满足 的值大于
且小于2，求m的取值范围．
18．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某中学开学初到商场购买 、 两种品牌的足球，购买 种品牌的
足球50个， 种品牌的足球 个，共花费 元，已知购买一个 种品牌的足球比购买一个 钟品牌的
足球多花 元．
(1)求购买一个 种品牌、一个 种品牌的足球各需多少元．
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进 、 两种品牌足球共50个，正好赶上商
场对商品价格进行调整， 品牌足球售价比第一次购买时提高 元， 品牌足球按第一次购买时售价的
折出售，如果学校此次购买 、 两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的 %，且保证这次购买的
种品牌足球不少于21个，则这次学校有哪几种购买方案？
(3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
19．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）某公司有A型产品80件，B型产品120件，分配给下属甲、乙
两个商店销售，其中140件给甲店，60件给乙店，且都能卖完．甲店销售A型产品利润每件400元，销售
B型产品利润每件340元；乙店销售A型产品利润每件320元，销售B型产品利润每件300元．
(1)若公司要求总利润不低于70280元，求出公司能采用几种不同的分配方案？
(2)为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利m元，但让利后A型产品的每件利润仍高于
甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的 型产品的每件利润不变，问该公司又如何设
计分配方案，使总利润达到最大？
20．（2023·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物 吨和乙种货物 吨，准备租用A、B两种型号的汽车共40辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任
务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表：
一汽 二汽
A型每辆费用（元）
B型每辆费用（元）
(1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多 元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5
辆B型汽车的总费用为 元．求表格中 ， 的值；
(2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙
种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有
多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由．
