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第 01 讲 不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集
课程标准 学习目标
1.了解不等式的概念；将自然语言转化为符号语言．
①不等式的定义 2.经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.
②不等式的基本性质 3.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质把比较简
③不等式的解集 单的不等式转化为“x>a”或“x<a”的形式.
4.理解不等式的解与解集的意义.
知识点01 不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不
等关系的式子也是不等式．
特别说明：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
读作“小于或等 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≤”
于”
读作“大于或等 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
“≥”
于”
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，
对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我
们说不等式成立，否则，不等式不成立．
【即学即练1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列数学表达式中，不等式有（ ）．
① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】不等式的定义
【分析】本题主要考查了不等式．根据不等式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：不等式有①②⑤⑥，共4个．
故选：C
【即学即练2】（23-24六年级下·上海松江·期中）用不等式表示“ 的倒数与2的差是非负数”：
．
【答案】
【知识点】不等式的定义
【分析】本题考查了列不等式，倒数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义，
根据倒数的定义，和非负数的性质即可解答；
【详解】解：依题意得： ，
故答案为： ．
知识点02 不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或 )．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或 )．
特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，
又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，
必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
【即学即练1】（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）已知 ，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方
向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）
同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质解答．
【详解】解：A、在不等式 的两边同时加3，不等式仍成立，即 ，故本选项不符合题意；
B、在不等式 的两边同时加 ，不等式仍成立，即 ，故本选项不符合题意；
C、在不等式 的两边同时乘以 ，不等号方向改变，即 ，再两边同时加3，不等式仍成立，
即 ，故本选项不符合题意；
D、在不等式 的两边同时乘以3，不等式仍成立，即 ，故本选项符合题意；
故选：D．
【即学即练2】（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）已知 ，下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐一进行判断即可．
【详解】解：A．当 时， ，原式错误，故此选项不符合题意；
B．不等式 的两边同时除以一个正数（ ），不等号的方向不变，即 ，原式正确，
故此选项符合题意；
C．不等式 的两边同时乘 ，不等号的方向改变，即 ，原式错误，故此选项不符合题意；
D．不等式 ，例如 ， ，则 不一定成立，原式错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
知识点03 不等式的解与解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
注意：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
是一个集合，是一个范围．其含义：
不等式的解集 ①解集中的每一个数值都能使不等式成立；
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
【即学即练1】（23-24七年级·全国·专题练习）下列说法错误的是（ ）
A． 是不等式 的解 B． 是不等式 的解
C． 的解集是 D． 的解集就是 、 、
【答案】D
【知识点】不等式的解集
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：A选项， 是不等式 的解，把 代入不等式，不等式成立，故正确；
B选项， 是不等式 的解，把 代入不等式，不等式成立，故正确；
C选项， 的解集是 ，解不等式 得 ，故正确；
D选项， 的解集就是 、 、 ， 不是不等式的解，故错误．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键．
题型01 不等式的定义
例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式： ； ； ；
； ．其中不等式有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【知识点】不等式的定义
【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义进行判断即可，熟知用不等号连接的式子是不
等式是解本题的关键．
【详解】解： 是不等式；
是不等式；是整式；
是等式；
是不等式；
综上： 是不等式，共 个，
故选： ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·全国·期中）在下列数学表达式中∶ ⑤
．不等式的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】不等式的定义
【分析】由不等号 ， ， ， ， 连接的式子叫不等式．本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式
的定义是解题的关键．
【详解】解：不等式有：① ；② ；④ ；⑤ ；
∴共有4个．
故选：C．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
．其中是不等式的有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】不等式的定义
【分析】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫作不等式．解答此类题关键
是要识别常见不等号： ．
【详解】解：① ；② ；⑤ ；⑥ 是不等式，
∴共 个不等式．
故选： ．
题型02 列不等式
例题：（23-24八年级上·浙江杭州·期中）“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ．
【答案】 /
【知识点】不等式的定义
【分析】本题考查了把文字语言转化为数学语言，理解好题意是解题关键．
根据x与5的差不小于x的3倍，可知x与5的差大于等于x的3倍，从而可以用相应的不等式表示出来.
【详解】解：“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ，
故答案为： .【变式训练】
1．（23-24八年级下·福建漳州·阶段练习）列不等式表示下列数量关系：c的一半与d的差不小于 ：
．
【答案】
【知识点】不等式的定义
【分析】本题考查了列不等式．读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字
语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．c的一半即 ，与d的差即 ，不小于用 连接，
然后可得不等式．．
【详解】解：根据题意得： ，
故答案为： ．
2．（2024八年级下·全国·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为 ．
【答案】
【知识点】不等式的定义
【分析】本题考查了列不等式，根据“x与a的平方差不是正数”，即“x与a的平方差小于等于0”即可．
【详解】解：x与a的平方差不是正数可表示为：
故答案为：
题型03 不等式的基本性质
例题：（23-24七年级下·四川内江·期末）已知 ，那么下列各式中，不一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【分析】根据不等式性质2，可判断A，根据不等式性质3与不相似性质1可判断B，根据不等式性质1可
判断C，根据m的符号分类讨论可判断D．
【详解】解：A. ∵ ，∴ ，故该选项正确，不符合题意；
B. ∵ ，∴ ，∴ ，故该选项正确，不符合题意；
C. ∵ ，∴ ，故该选项正确，不符合题意；
D. 当 ， ∴ ，
当 ， ，∴ ，
当 ， ，∴ ，
故选项D不一定成立，故选：D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知 ，下列式子中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一
个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两
边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．根据不等式的基本性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、由 ，可得 ，原不等式不成立，不符合题意；
B、由 ，可得 ，原不等式不成立，不符合题意；
C、由 ，可得 一定成立，符合题意；
D、由 ，可得 ，原不等式不成立，不符合题意；
故选：C．
2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键；
根据不等式的性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不
等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变．
【详解】解：A、 和 均大于 ，但 不一定大于 ，故选项错误
B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误；
C、不等式两边乘以负数，不等号方向改变，加减法不改变不等号的符号，故选项正确；
D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，故选项错误；
故选：C
题型04 不等式的解与解集
例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A． 是不等式 的解 B． 是不等式 的唯一解C． 是不等式 的解集 D． 是不等式 的一个解
【答案】D
【知识点】不等式的定义、不等式的解集
【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集， ( 是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是
满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解
有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项
即可选出正确答案．
【详解】解：解不等式 ，
可得 ．
A.由于 ，故 不是不等式 的解，故选项错误；
B.由于 ，故 是不等式 的一个解，但不是唯一解，故选项错误；
C.由于 ，故 不是不等式 的一个解，但不是解集，故选项错误；
D.由于 ，故 不是不等式 的一个解，故选项正确；
故选D．
【变式训练】
1．（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式 的解是 B．不等式 的解是
C． 是不等式 的一个解 D． 是不等式 的一个解
【答案】D
【知识点】不等式的解集
【分析】本题考查不等式的解和解集的定义．根据不等式的解集的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、 不是不等式 的解，故本选项不符合题意；
B、不等式 的解是所有小于0的数，故本选项不符合题意；
C、 不满足 ，故本选项不符合题意；
D、 是不等式 的一个解，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（ ）
① 不是不等式 的解；
②不等式 的解集是 ；
③不等式 的负数解有无限多个；④不等式 的负数解有无限多个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】不等式的解集、求一元一次不等式的解集
【分析】此题主要考查了不等式的解的定义，以及不等式的解集的定义，关键是熟练掌握两个定义．根据
不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集的定义：能使不等式成立
的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析即可得到答案．
【详解】①不等式 的解集为： ，
∴ 不是不等式 的解，正确；
②不等式 的解集是 ，正确；
③不等式 的负数解有无限多个，正确；
④不等式 的负数解有无限多个，正确．
综上分析可知，此题正确的说法有4个．
故选：D．
题型05 利用不等式的基本性质解不等式并在数轴上表示
例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）将下列不等式化成 或 的形式，并将解集在数轴上表示
出来：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1) ，见解析
(2) ，见解析
(3) ，见解析
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集
【详解】（1）解：
两边都减3，得 ，
在数轴上表示解集为：
（2）解： ，
两边都除以3，得 ，
在数轴上表示解集为：（3）解： ，
两边都乘 ，得 ，
在数轴上表示解集为：
【变式训练】
1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）将下列不等式化为“ ”或“ ”的形式．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的基本性质：
（1）不等式两边同时减去6，即可求解；
（2）不等式两边同时除以 ，即可求解；
（3）不等式两边同时减去 ，即可求解；
熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【详解】（1）解：不等式两边同时减去6，
得： ，
解得： ．
（2）不等式两边同时除以 ，
得： ，
解得： ．
（3）不等式两边同时减去 ，
得： ，
解得： ．
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“ ”或“ ”
的形式．
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同
一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（1）根据不等式的性质变形即可．
（2）根据不等式的性质变形即可．
（3）根据不等式的性质变形即可．
（4）根据不等式的性质变形即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴
（2）∵ ，
∴ ，
∴
（3）∵
∴
∴ ，
∴
（4）∵
∴ ，
∴ ，
∴ ．
3.（23-24七年级下·全国·课后作业）把下列不等式的解集在数轴上表示出来．(1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－ .
【答案】
(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】不等式的解集
【详解】试题分析：
将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可.
试题解析：
（1）将 表示在数轴上为：
（2）将 表示在数轴上为：
（3）将 表示在数轴上为：
（4）将 表示在数轴上为：
点睛：将不等式的解集表示在数轴上时，需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右，小于（小于或
等于）向左”；（2）“ 或（ ）时”，数轴上表示数“ ”的点用“空心圆圈”，“ （或
）时”，数轴上表示数“ ”的点用“实心圆点”.一、单选题
1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下列式子中，是不等式的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】不等式的定义
【分析】本题考查的是不等式的定义：用不等号连接的式子都叫做不等式．根据不等式的定义对各式子进
行解答即可．
【详解】解：① ，不含有不等号，不是不等式，不符合题意；
② ，是不等式，符合题意；
③ ，是不等式，符合题意；
④ ，是不等式，符合题意；
⑤ ，是不等式，符合题意；
⑥ 不含有不等号，不是不等式，不符合题意．
故选：C．
2．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）解集在数轴上表示为如图所示的不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【分析】根据数轴可以得到不等式的解集．
【详解】解：根据不等式的解集在数轴上的表示，向右画表示>或 ，空心圆圈表示>，故该不等式的解集
为x>2；
⩾
故选C
【点睛】本题要考查的是在数轴上表示不等式的解集，运用数形结合的思想是本题的解题关键
3．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）下列命题中，正确的是 （ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键；根据不等式的性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边都乘
（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方
向改变．
【详解】解：A、 和 均大于 ，但 不一定大于 ，故选项错误；
B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误；
C、不等式两边乘以负数，不等号方向改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误；
D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，故选项正确；
故选：D
4．（24-25八年级上·广东江门·期中）三角形的三边长分别为5，8， ，则该三角形的周长 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】确定第三边的取值范围、不等式的性质
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，三角形中任意两边之差小于第三边，任
意两边之和大于第三边，据此可求出 ，进而可得 ，即 ．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为5，8， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故选：C．
5．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（ ）
A． 是不等式 的一个解 B． 是不等式 的解集
C． 是不等式 的唯一解 D． 不是不等式 的解
【答案】A
【知识点】不等式的解集
【分析】本题考查了一元一次不等式得解和解集，熟练掌握定义是解题的关键；
根据解集和解得定义去判定即可．
【详解】 ，
，
A、 符合条件 ，是不等式 的一个解，故选项符合题意；
B、解集是一个范围，而 是一个固定值，故选项不符合题意；
C、解集是一个范围，所以 不是不等式 的唯一解，故选项不符合题意；
D、 符合条件 ，是不等式 的一个解，故选项不符合题意；故选：A．
二、填空题
6．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）在下列数学表达式中，属于不等式的是 ．
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】 /
【知识点】不等式的定义
①④ ④①
【分析】本题主要考查了不等式的定义，由不等号 连接的式子叫不等式，据此进行判断，
熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
【详解】解：① 是不等式；
② 不是不等式；
③ 不是不等式；
④ 是不等式．
故答案为：①④．
7．（23-24七年级下·全国·期末）若 ，则 ， ．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．利用不等式的性质，即可
求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ．
故答案为： ， ．
8．（23-24六年级下·上海普陀·期中）a的平方减去2的差不大于a与b的乘积，用不等式表示为 ．
【答案】
【知识点】不等式的定义
【分析】根据题意，选择正确的不等号，列出不等式即可，本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的
应用是解题的关键．
【详解】根据题意，得 ，
故答案为： ．
9．（22-23七年级下·全国·课后作业）在 ， ， ，0，1，3中，是不等式 的解的有
，是不等式 的解的有 ．
【答案】 ，0，1，3 ， ， ，0，1
【知识点】不等式的解集
【解析】略
10．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）若不等式 的解都是不等式 的解，则 的取值范围是
．【答案】
【知识点】不等式的解集
【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键．
根据不等式组的解集意义，若不等式 的解都是不等式 的解，则说明n不能小于2．即 ．
【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式 的解都是不等式 的解，则n的取值范围是 ．
故答案为： ．
三、解答题
11．（2023七年级下·江苏·专题练习）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是
不等式．
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）52；（7） ．
【答案】等式有：（3）（5），不等式有：（2）（4）（7），既不是等式也不是不等式的有：（1）
（6）．
【知识点】不等式的定义、代数式的概念
【分析】根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号（ ）连接的式子叫做不等
式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是
不等式的式子．
【详解】解：等式有：（3）（5），
不等式有：（2）（4）（7），
既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）．
【点睛】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．
12．（23-24八年级下·全国·课后作业）用适当的不等式表示下列关系：
(1)x的 与x的2倍的和是非正数；
(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
(3)三件相同上衣与四条相同长裤的总价钱不高于268元；
(4)小明的体重不比小刚轻．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】列一元一次不等式
【分析】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关
键是要识别常见不等号： ， ， ， ， ．
（1）非正数用“ ”表示；（2）不小于就是大于等于，用“ ”来表示；
（3）不高于就是等于或低于，用“ ”表示；
（4）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“ ”表示．
【详解】（1）根据题意，得 ．
（2）设一枚炮弹的杀伤半径为r米，则应有 ．
（3）设每件上衣为a元，每条长裤为b元，则应有 ．
（4）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有 ．
13．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）先阅读下面的解题过程，再解题．
已知 ，试比较 与 的大小．
解：因为 ，①
所以 ，②
故 ．③
(1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误；
(2)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)②
(2)见解析
【知识点】不等式的性质
【分析】此题主要考查了不等式的解法，熟知不等式的性质是解题的关键．
（1）由题意 ，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故②错误；
（2）根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解．
【详解】（1）由题意得②错误，
根据不等式两边乘以负数，不等式号改变即可判断；
故答案为：②；
（2）因为 ，
所以 ，
故 ．
14．（23-24八年级下·全国·课后作业）利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．
(1)
(2) ；
(3)
(4)
【答案】(1) ，见详解
(2) ，见详解(3) ，见详解
(4) ，见详解
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示解集．
（1）按照解一元一次不等式的步骤解不等式，然后在数轴上表示出解集即可．
（2）按照解一元一次不等式的步骤解不等式，然后在数轴上表示出解集即可．
（3）按照解一元一次不等式的步骤解不等式，然后在数轴上表示出解集即可．
（4）按照解一元一次不等式的步骤解不等式，然后在数轴上表示出解集即可．
【详解】（1）解：
不等式两边同时加9，得 ，即 ，
不等式两边同时除以4，得 ，
在数轴上的表示如下：
（2）
不等式两边同时减x，得 ，
不等式两边同时除以 ，得 ，
在数轴上的表示如下图所示．
（3）
不等式可变为 ，
不等式两边同时除以 ，得 ，
在数轴上的表示如下图所示．
（4）
不等式两边同时乘以6，得 ，
不等式两边同时加1，得 ，
在数轴上的表示如下图所示．15．（24-25七年级上·山东青岛·期中）已知 ．
(1)计算：当 时， ______， ______；当 时， ______， ______；当 时，
______， ______；
(2)猜想：无论a为何值，A______B始终成立（填“＞”，“＜”或“＝”）；
(3)请说明（2）中猜想的合理性．
【答案】(1)1， ， ， ，8，4
(2)＞
(3)见解析
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、不等式的性质、有理数大小比较的实际应用
【分析】本题考查的是求解代数式的值，利用作差法比较代数式的值的大小，熟练掌握整式的加减运算法
则是解本题的关键．
（1）分别将 ， ， 代入A，B的代数式求解即可；
（2）观察（1）中结果即可解答；
（3）利用作差的方法比较A，B的大小．
【详解】（1）解：当 时，
，
；
当 时，
，
；
当 时，
，
；
故答案为：1， ， ， ，8，4
（2）解：由（1）可得，当 时， ；当 时， ；当 时， ；
猜想：无论a为何值， 始终成立．
故答案为：＞
（3）解：
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
16．（2024九年级·河北·学业考试）有一个数学游戏，如图，一个实数从A，B，C三个位置中任选一个位
置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置． 例如：将3按照 (或 ) 的顺序进
行运算，是将数据3经过“乘以 ”的运算得出结果 ．
(1)将 按照 的顺序进行运算， 列出算式并求出运算结果；
(2)将一个大于3的数按照 的顺序进行运算，发现运算结果总小于 1． 请验证这个结论．
【答案】(1) ， 原式
(2)见解析
【知识点】程序流程图与有理数计算、不等式的性质、两个有理数的乘法运算、列代数式
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，不等式的性质，列代数式，根据题意列出算式并准确
计算成为解题的关键．
（1）根据 列出算式，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可；
（2）先根据 的运算顺序列出代数式，然后根据不等式的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：列式为：
．
（2）解：设这个数为x，
则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
