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第 01 讲 不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集
课程标准 学习目标
1.了解不等式的概念；将自然语言转化为符号语言．
①不等式的定义 2.经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.
②不等式的基本性质 3.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质把比较简
③不等式的解集 单的不等式转化为“x>a”或“x或 ，空心圆圈表示>，故该不等式的解集
为x>2；
⩾
故选C
【点睛】本题要考查的是在数轴上表示不等式的解集，运用数形结合的思想是本题的解题关键
3．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）下列命题中，正确的是 （ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键；根据不等式的性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边都乘
（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方
向改变．
【详解】解：A、 和 均大于 ，但 不一定大于 ，故选项错误；
B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误；
C、不等式两边乘以负数，不等号方向改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误；
D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，故选项正确；
故选：D
4．（24-25八年级上·广东江门·期中）三角形的三边长分别为5，8， ，则该三角形的周长 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】确定第三边的取值范围、不等式的性质
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，三角形中任意两边之差小于第三边，任
意两边之和大于第三边，据此可求出 ，进而可得 ，即 ．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为5，8， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故选：C．
5．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（ ）
A． 是不等式 的一个解 B． 是不等式 的解集
C． 是不等式 的唯一解 D． 不是不等式 的解
【答案】A
【知识点】不等式的解集
【分析】本题考查了一元一次不等式得解和解集，熟练掌握定义是解题的关键；
根据解集和解得定义去判定即可．
【详解】 ，
，
A、 符合条件 ，是不等式 的一个解，故选项符合题意；
B、解集是一个范围，而 是一个固定值，故选项不符合题意；
C、解集是一个范围，所以 不是不等式 的唯一解，故选项不符合题意；
D、 符合条件 ，是不等式 的一个解，故选项不符合题意；故选：A．
二、填空题
6．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）在下列数学表达式中，属于不等式的是 ．
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】 /
【知识点】不等式的定义
①④ ④①
【分析】本题主要考查了不等式的定义，由不等号 连接的式子叫不等式，据此进行判断，
熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
【详解】解：① 是不等式；
② 不是不等式；
③ 不是不等式；
④ 是不等式．
故答案为：①④．
7．（23-24七年级下·全国·期末）若 ，则 ， ．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．利用不等式的性质，即可
求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ．
故答案为： ， ．
8．（23-24六年级下·上海普陀·期中）a的平方减去2的差不大于a与b的乘积，用不等式表示为 ．
【答案】
【知识点】不等式的定义
【分析】根据题意，选择正确的不等号，列出不等式即可，本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的
应用是解题的关键．
【详解】根据题意，得 ，
故答案为： ．
9．（22-23七年级下·全国·课后作业）在 ， ， ，0，1，3中，是不等式 的解的有
，是不等式 的解的有 ．
【答案】 ，0，1，3 ， ， ，0，1
【知识点】不等式的解集
【解析】略
10．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）若不等式 的解都是不等式 的解，则 的取值范围是
．【答案】
【知识点】不等式的解集
【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键．
根据不等式组的解集意义，若不等式 的解都是不等式 的解，则说明n不能小于2．即 ．
【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式 的解都是不等式 的解，则n的取值范围是 ．
故答案为： ．
三、解答题
11．（2023七年级下·江苏·专题练习）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是
不等式．
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）52；（7） ．
【答案】等式有：（3）（5），不等式有：（2）（4）（7），既不是等式也不是不等式的有：（1）
（6）．
【知识点】不等式的定义、代数式的概念
【分析】根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号（ ）连接的式子叫做不等
式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是
不等式的式子．
【详解】解：等式有：（3）（5），
不等式有：（2）（4）（7），
既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）．
【点睛】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．
12．（23-24八年级下·全国·课后作业）用适当的不等式表示下列关系：
(1)x的 与x的2倍的和是非正数；
(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
(3)三件相同上衣与四条相同长裤的总价钱不高于268元；
(4)小明的体重不比小刚轻．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】列一元一次不等式
【分析】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关
键是要识别常见不等号： ， ， ， ， ．
（1）非正数用“ ”表示；（2）不小于就是大于等于，用“ ”来表示；
（3）不高于就是等于或低于，用“ ”表示；
（4）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“ ”表示．
【详解】（1）根据题意，得 ．
（2）设一枚炮弹的杀伤半径为r米，则应有 ．
（3）设每件上衣为a元，每条长裤为b元，则应有 ．
（4）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有 ．
13．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）先阅读下面的解题过程，再解题．
已知 ，试比较 与 的大小．
解：因为 ，①
所以 ，②
故 ．③
(1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误；
(2)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)②
(2)见解析
【知识点】不等式的性质
【分析】此题主要考查了不等式的解法，熟知不等式的性质是解题的关键．
（1）由题意 ，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故②错误；
（2）根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解．
【详解】（1）由题意得②错误，
根据不等式两边乘以负数，不等式号改变即可判断；
故答案为：②；
（2）因为 ，
所以 ，
故 ．
14．（23-24八年级下·全国·课后作业）利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．
(1)
(2) ；
(3)
(4)
【答案】(1) ，见详解
(2) ，见详解(3) ，见详解
(4) ，见详解
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示解集．
（1）按照解一元一次不等式的步骤解不等式，然后在数轴上表示出解集即可．
（2）按照解一元一次不等式的步骤解不等式，然后在数轴上表示出解集即可．
（3）按照解一元一次不等式的步骤解不等式，然后在数轴上表示出解集即可．
（4）按照解一元一次不等式的步骤解不等式，然后在数轴上表示出解集即可．
【详解】（1）解：
不等式两边同时加9，得 ，即 ，
不等式两边同时除以4，得 ，
在数轴上的表示如下：
（2）
不等式两边同时减x，得 ，
不等式两边同时除以 ，得 ，
在数轴上的表示如下图所示．
（3）
不等式可变为 ，
不等式两边同时除以 ，得 ，
在数轴上的表示如下图所示．
（4）
不等式两边同时乘以6，得 ，
不等式两边同时加1，得 ，
在数轴上的表示如下图所示．15．（24-25七年级上·山东青岛·期中）已知 ．
(1)计算：当 时， ______， ______；当 时， ______， ______；当 时，
______， ______；
(2)猜想：无论a为何值，A______B始终成立（填“＞”，“＜”或“＝”）；
(3)请说明（2）中猜想的合理性．
【答案】(1)1， ， ， ，8，4
(2)＞
(3)见解析
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、不等式的性质、有理数大小比较的实际应用
【分析】本题考查的是求解代数式的值，利用作差法比较代数式的值的大小，熟练掌握整式的加减运算法
则是解本题的关键．
（1）分别将 ， ， 代入A，B的代数式求解即可；
（2）观察（1）中结果即可解答；
（3）利用作差的方法比较A，B的大小．
【详解】（1）解：当 时，
，
；
当 时，
，
；
当 时，
，
；
故答案为：1， ， ， ，8，4
（2）解：由（1）可得，当 时， ；当 时， ；当 时， ；
猜想：无论a为何值， 始终成立．
故答案为：＞
（3）解：
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
16．（2024九年级·河北·学业考试）有一个数学游戏，如图，一个实数从A，B，C三个位置中任选一个位
置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置． 例如：将3按照 (或 ) 的顺序进
行运算，是将数据3经过“乘以 ”的运算得出结果 ．
(1)将 按照 的顺序进行运算， 列出算式并求出运算结果；
(2)将一个大于3的数按照 的顺序进行运算，发现运算结果总小于 1． 请验证这个结论．
【答案】(1) ， 原式
(2)见解析
【知识点】程序流程图与有理数计算、不等式的性质、两个有理数的乘法运算、列代数式
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，不等式的性质，列代数式，根据题意列出算式并准确
计算成为解题的关键．
（1）根据 列出算式，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可；
（2）先根据 的运算顺序列出代数式，然后根据不等式的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：列式为：
．
（2）解：设这个数为x，
则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
