文档内容
第 2 章第 04 讲 二次根式（第 1 课时 定义与性质）
1.了解二次根式的概念；理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；
2.掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简；
3.掌握二次根式的乘法（除法）法则，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简.
知识点01 二次根式的相关概念
1.二次根式的定义：我们把形如 （ ） 的式子叫做根式； 叫做被开方数； 叫做二次根号；
根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；如果所给式子中含有分母，则除了保
证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
知识点02 二次根式的性质
二次根式的性质： ① ， （双重非负性）
知识点03 二次根式的乘除法
二次根式的乘法法则及逆用： ；二次根式的除法法则及逆用： ；
二次根式的乘法法则的推广：
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，
即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
题型01 二次根式有意义的条件
【典例1】（2023春·广东肇庆·八年级统考期末）若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是
．
【答案】 /
【分析】由 在实数范围内有意义，列不等式 ，再解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得：，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次根式的有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解本题的关键．
【变式1】（2023春·吉林·八年级统考期中）若式子 在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是
．
【答案】 /
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解
题的关键．
【变式2】（2023春·江苏·八年级期末）使得 有意义的x的取值范围是 ．【答案】 /
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的
关键．
题型02 求二次根式的值
【典例1】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）当 时，二次根式 的值是 ．
【答案】
【分析】直接把 的值代入进而得出答案．
【详解】解：当 时，二次根式 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．
【变式1】（2023春·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）当 时，二次根式
的值为 ．
【答案】1
【分析】直接将 代入 进行计算即可．
【详解】解：当 时，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了代数式的值，二次根式的计算，题目比较简单．
【变式2】（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）当 时，二次根式 的值为 ．
【答案】1
【分析】直接把 代入 中进行求解即可．
【详解】解：把 代入 中得： ，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，求算术平方根，正确计算是解题的关键．
题型03 求二次根式中的参数
【典例1】（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习） 是一个正整数，则 的最小正整数是 ．
【答案】3【分析】根据二次根式的定义可得 ，解得 ，再根据 是一个正整数，可得 或4
或9，即可得到答案．
【详解】解：由二次根式的定义可得 ，
解得： ，
是一个正整数，
或4或9，
解得： 或8或3，
的最小正整数是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，求得 或4或9是解题的关键．
【变式1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）若 为整数，则x的最小正整数值为
．
【答案】2
【分析】对被开方数进行分解，得 ，要使 为整，则 最小要保证被开方式能开尽，得出
答案．
【详解】解：
的最小正整数值是2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了最简二次根式的内容，其中对被开方数的分解是解决本题的关键．
【变式2】（2022秋·八年级单元测试） 是整数，则正数 的最小值是
【答案】 /0.05
【分析】根据 是整数，n为正数，得出 的最小值为1，得出 的最小值为 ，即可求出答案．
【详解】解：∵ 是整数，n为正数，
∴ 的最小值为1，
∴ 的最小值为 ，
∴正数 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次
根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．题型04 利用二次根式的性质化简
【典例1】（2023春·新疆塔城·八年级校考期末） ； ．
【答案】 5 3
【分析】根据二次根式的性质即可解答．
【详解】解： ， ．
故答案为：5，3．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握 是解答本题的关键．
【变式1】（2023春·江苏·八年级期末）计算： ； ．
【答案】 2 2
【分析】利用二次根式的乘法的法则及化简的法则进行求解即可．
【详解】解： ；
．
故答案为：2，2．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式2】（2023春·河南信阳·八年级校考阶段练习）化简： ．
【答案】 /
【分析】根据二次根式的性质即可化简．
【详解】解：由 得：
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式的性质．掌握相关化简法则是解题关键．
题型05 二次根式的乘法
【典例1】（2023春·山东东营·八年级统考期末）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则化简即可求解．
【详解】 ，
故答案为： ．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题的关键．
【变式1】（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）计算 的结果是
【答案】 /1.5
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式2】（2023春·湖北恩施·八年级校联考期中）计算 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练运用二次根式的乘法法则解题是本题的关键．
题型06 二次根式的除法
【典例1】（2023春·北京朝阳·八年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的除法计算即可．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
【变式1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）计算： ．
【答案】 /
【分析】根据二次根式的除法运算法则即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的除法运算．分母有理化是解题的关键．【变式2】（天津市河西区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的除法运算法则即可求出答案．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式的除法运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
题型07 二次根式的乘除混合运算
【典例1】（2023春·吉林·八年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘除法法则即可得．
【详解】原式
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解题关键．
【变式1】（2023春·吉林·八年级统考期中）计算： ．
【答案】
【分析】把除法化为乘法运算，再化简即可．
【详解】解： ．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．
【变式2】（2023春·上海松江·七年级统考期末）计算：
【答案】
【分析】根据二次根式的乘除混合运算计算即可．
【详解】 ．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式3】（2023·全国·八年级假期作业）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】 ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握混合运算的法则是解题的关键．题型08 复合二次根式的化简
【典例1】（2022秋·八年级单元测试）观察下面的运算，完成计算：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）被开方数 ，据此即可开方；
（2）首先化简 ，然后代入原式利用相同的方法化简即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）
则原式
【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键．
【变式1】（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成
是一个数的平方，如 ， ，下面我们观察：
；反之 ，∴
．
(1)直接写出答案： = ； = ．
(2)化简： ．
(3)若 ，则a与 的关系是什么？b与 的关系又是什么？
【答案】(1) ；
(2) -
(3)a与 的关系是： ，b与 的关系是： ．
【分析】（1）将3拆分为 ，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；将4拆分为 ，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；
（2）将5拆分为 ，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；
（3）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可．
【详解】（1）解： ；
．
故答案为： ； ．
（2） ．
（3）
两边平方得：
∴a与 的关系是： ，
b与 的关系是： ．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键．
【变式2】（2023春·全国·八年级期中）像 ， ……这样的根式叫做复合二次根式．有
一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如： ；
再如： ．请用上述方法探索并解
决下列问题：
(1)请你尝试化简：
① ______；
② ______．
(2)若 ，且 ， ， 为正整数，求 的值．
【答案】(1)① ；②
(2)46或14
【分析】（1）将被开方数写成完全平方式，再化简．
（2）变形已知等式，建立 ， ， 的方程组求解．
【详解】（1）解：① ；
② ；
故答案为：① ；② ；（2）解：
，
，
， ， 均为正整数．
或 ，
或 ．
或14．
【点睛】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键．
一、单选题
1．（2023秋·山西吕梁·九年级校考期末）计算 的结果为（ ）
A．1 B． C． D．5
【答案】A
【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果．
【详解】解： ，
故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）若 有意义，则 可以取（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得．
【详解】解：由题意得： ，解得 ，
即 可以取的值是0．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
3．（2023春·山东济宁·八年级统考阶段练习）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘除法法则进行计算，判断即可．
【详解】A、 ，所以本项错误；
B、 ，所以本项正确；
C、 ，故错误；
D、 ，所以此项错误.
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则是解题的关键．
4．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）当 时，二次根式 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】将 代入计算即可得．
【详解】解：当 时， ，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．
5．（2023·全国·八年级假期作业）已知 是正整数，则自然数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质以及结果为整数可确定 的值．
【详解】解：∵ 是正整数， 是整数，
∴ 的最小值是 ．
故选： ．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
6．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图， ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简
的结果是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得出 ，进而化简求出即可．
【详解】解：由数轴可得：
， ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出 的符号是解题关键．
二、填空题
7．（2023春·福建厦门·八年级统考期末）计算：（1） ；（2） ．
【答案】
【分析】（1）二次根式的性质 解答即可；
（2）根据二次根式的除法法则解答即可．
【详解】解：（1） ；
（2） ．
【点睛】本题考考查了二次根式的性质 ，二次根式的除法法则，掌握二次根式的除法法则
是解题的关键．
8．（2022秋·八年级单元测试）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
9．（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）当 时，二次根式 的值是 ．
【答案】
【分析】将已知条件代入所求的代数式，然后开平方求值．
【详解】解：根据题意，得
当 时， ．
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，掌握定义是解题的关键．
10．（2023春·山东威海·八年级统考期末）对于 ， 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据被开方数非负及分母不为零的条件得到关于x的不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、分母不为零的条件，解不等式等知识，掌握二次根式非负、
分母不为零是解题的关键．
11．（2022秋·八年级单元测试）若 是整数，则整数n的所有可能的值为 ．
【答案】1，4，9，36
【分析】 是整数，则 ，且 是完全平方数，即可求出n的值．
【详解】解：∵ 是整数，
∴ ，且 是完全平方数，
∴① ，即 ；
② ，即 ；
③ ，即 ；④ ，即 ；
综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36．
故答案是：1，4，9，36．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解 是整数的条件是解题的关键．
12．（2023春·内蒙古乌兰察布·八年级统考期末）若x，y满足条件： ，化简代数式
．
【答案】5
【分析】根据二次根式有意义的条件求得 ， ，得到 ，再对原式化简即可求解．
【详解】解：在 中，
∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．
三、解答题
13．（2023春·上海·七年级统考期中）计算：
【答案】
【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则．
14．（2023春·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）计算： ．【答案】
【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则．
15．（2022春·八年级课时练习）当x分别取下列值时，求二次根式 的值．
(1)x＝0．
(2)x＝2．
(3)x＝﹣ ．
【答案】(1) ；
(2)3；
(3)2；
【分析】（1）把x的值代入，计算求值即可；
（2）把x的值代入，计算求值即可；
（3）把x的值代入，计算求值即可．
【详解】（1）解：把x＝0，代入二次根式得：
＝ ；
（2）解：把x＝2，代入二次根式得：
＝ ＝ ＝3；
（3）解：把x＝﹣ ，代入二次根式得：
＝ ＝2；
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质 是解题关键．
16．（2022秋·八年级单元测试）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的乘除运算法则及二次根式性质计算即可．【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键，注意需要把
结果化为最简二次根式．
17．（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）（1） ；
（2） ；
（3）已知 ，求代数式 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（3）直接把 代入 中，利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后
合并同类二次根式即可得到答案．
【详解】解：（1）原式 ；
（2）原式
（3）原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，二次根式的乘除混合计算，熟知相
关计算法则是解题的关键．
18．（2020秋·广东深圳·八年级校考阶段练习）已知 在数轴上的对应点如图所示，化简：．
【答案】
【分析】根据数轴上点的位置判断式子的符号，进而根据二次根式的性质以及绝对值的意义化简，最后合
并同类项即可求解．
【详解】解：根据点在数轴上的位置可得 ，且 ，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了数轴上的点判断式子的符号，二次根式的性质，绝对值的意义，整式的加减，数形结
合是解题的关键．
19．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知实数x、y满足 ．
(1)求x与y的值；
(2)符号 表示一种新的运算，规定 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据二次根式成立的条件，即可求得x、y的值；
（2）根据新的运算及x、y的值，进行运算，即可求解．
【详解】（1）解： 实数x、y满足 ，
，
；
（2）解：根据新的运算，可得：．
【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，利用二次根式的性质化简及运算，熟练掌握和运用二次根式成
立的条件是解决本题的关键．
20．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数 ，是
且 ，则把 变成 开方，从而使得 化简．
例如：化简
解：∵
∴ ；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照例题，根据 ，即可求解；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【详解】（1）解：∵ ，
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
