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2021-2022学年贵州省六盘水市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题.以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确请用2B铅笔在答
题卡相应位置作答，每小题3分，共36分
1．（3分）在实数 ， ， ，3.1415926中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．3.1415926
2．（3分）下列图象表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）若一个正方形的面积是21，则可估计它的边长在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
4．（3分）若a﹣3是16的平方根，则a的值为（ ）
A．4 B．±4 C．256 D．﹣1或7
5．（3分）若点A（a，a+5）在x轴上，则点A到原点的距离为（ ）
A．﹣5 B．0 C．5 D．不能确定
6．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（a，1）与点Q（﹣4，b）关于x轴对称，则（ ）
A．a＝4，b＝﹣1 B．a＝4，b＝1 C．a＝﹣4，b＝1 D．a＝﹣4，b＝﹣1
7．（3分）如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从
一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（ ）
第1页（共24页）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
8．（3分）已知A、B两点的坐标分别是（﹣2，3）和（2，3），则下面四个结论：①点A在第四象
限；②点B在第一象限；③线段AB平行于y轴；④点A、B之间的距离为4．其中正确的
有（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
9．（3分）如图，一圆柱高12cm，底面半径为3cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B处吃
食物，要爬行的最短路程（ 取3）是（ ）
π
A．15cm B．21cm C．24cm D． cm
10．（3分）已知如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y
＝x+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）
第2页（共24页）A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
12．（3分）甲、乙两辆摩托车分别从A、B两地出发相向而行，图中l 、l 分别表示两辆摩托车
1 2
与A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系，则下列说法：
①A、B两地相距24km；
②甲车比乙车行完全程多用了0.1小时；
③甲车的速度比乙车慢8km/h；
④两车出发后，经过0.3小时，两车相遇
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：每小题4分，共16分.
13．（4分）已知一次函数y＝﹣x+3，当0≤x≤2时，y的最大值是 ．
14．（4分）观察下列各组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，26……
请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： ．
15．（4分）实数a，b在数轴上的位置，如图，那么化简 的结果是 ．
16．（4分）在平面直角坐标系中，若线段AB∥x轴，AB＝4，点A的坐标为（3，4），则点B的坐
标为 ．
三、解答题，本大题共9小题，共98分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）计算：
（1） ÷ + × ．
（2）（ ﹣2 ）×2 +5 ．
第3页（共24页）18．（10分）已知m+8的算术平方根是3，m﹣n+4的立方根是﹣2，试求 的值．
19．（10分）（1）在平面直角坐标系中，顺次连接下列各点，并画出图形．
（﹣5，2），（﹣1，4），（﹣5，6），（﹣3，4），（﹣5，2）
（2）不改变这些点的纵坐标，将它们的横坐标都乘以﹣1，写出新的点的坐标．
（3）在同一坐标系中，描出这些新点，并顺次连接起来；
（4）新图形与原图形有什么关系？
20．（10分）如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝CD＝2，AD＝3．
（1）求AC的长．
（2）试判断△ACD的形状．
21．（10分）甲乙两地相距500千米，汽车从甲地以每小时100千米的速度开往乙地，到达乙
地后汽车停止．
（1）写出汽车离乙地的距离s（千米）与开出时间（t 小时）之间的函数关系式，并指出是不
是一次函数；
（2）写出自变量的取值范围；
（3）汽车从甲地开出多久，离乙地为100千米？
22．（10分）我们将（ + ），（ ﹣ ）称为一对“对偶式“．因为（ + ）（ ﹣
）＝（ ）2﹣（ ）2＝a﹣b．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将（ +
第4页（共24页））和（ ﹣ ）中的“ ”去掉．例如： ＝ ＝ ＝
＝2+ ．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分
母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．
（1）分母有理化 的值为 ．
（2）如图所示，数轴上表示1， 的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表
示的数为x．求x+ 的值．
23．（12分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气
候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海
港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝
500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20千米/小时，台风影响该海港持续的时间有多长？
24．（12分）已知直线y＝kx+b经过点（0，6），且平行于直线y＝﹣2x．
（1）求该函数解析式；
（2）如果这条直线经过点P（m，2），求m的值；
（3）求OP所在直线的解析式；
（4）求直线y＝kx+b和直线OP与x轴所围成的图形的面积．
25．（12分）综合与实践
第5页（共24页）问题背景：
（1）已知A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个点，
并分别找到线段AB和CD中点P 、P ，然后写出它们的坐标，则P ，P ．
1 2 1 2
探究发现：
（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x ，y ），（x ，y ），则线
1 1 2 2
段的中点坐标为 ．
拓展应用：
（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H（x，
y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重
合，求点H的坐标．
第6页（共24页）2021-2022学年贵州省六盘水市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题.以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确请用2B铅笔在答
题卡相应位置作答，每小题3分，共36分
1．（3分）在实数 ， ， ，3.1415926中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．3.1415926
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，
有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、 是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、 是无理数，故此选项符合题意；
C、 ＝2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、3.1415926是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开方
开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． π π
2．（3分）下列图象表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关
第7页（共24页）系，据此即可确定函数．
【解答】解：A、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合
题意；
B、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意；
C、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意；
D、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的图象，函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两
个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自
变量．
3．（3分）若一个正方形的面积是21，则可估计它的边长在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【分析】先求出边长，然后再估计无理数的大小．
【解答】解：一个正方形的面积是21，它的边长为： ．
∵16＜21＜25，
∴4＜ ＜5，
故边长在4与5之间．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数大小的估计，熟悉无理数的估计方法是解答此题的关键．
4．（3分）若a﹣3是16的平方根，则a的值为（ ）
A．4 B．±4 C．256 D．﹣1或7
【分析】直接根据平方根的概念解答即可．
【解答】解：∵a﹣3是16的平方根，
∴（a﹣3）2＝16，
∴a﹣3＝±4，
∴a＝7或﹣1．
故选：D．
【点评】此题考查的是平方根，掌握平方根的概念：如果一个数的平方等于a，这个数就叫
做a的平方根是解答此题关键．
5．（3分）若点A（a，a+5）在x轴上，则点A到原点的距离为（ ）
A．﹣5 B．0 C．5 D．不能确定
第8页（共24页）【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列式求出a，从而得到点A的坐标，然后解答即可．
【解答】解：∵点A（a，a+5）在x轴上，
∴a+5＝0，
解得a＝﹣5，
所以，点A的坐标为（﹣5，0），
所以，点A到原点的距离为5．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
6．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（a，1）与点Q（﹣4，b）关于x轴对称，则（ ）
A．a＝4，b＝﹣1 B．a＝4，b＝1 C．a＝﹣4，b＝1 D．a＝﹣4，b＝﹣1
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．关于x轴的对称点
的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【解答】解：在平面直角坐标系中，若点P（a，1）与点Q（﹣4，b）关于x轴对称，则a＝﹣4，b
＝﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，掌握关于x轴的对称点的坐标特点是解
题关键．
7．（3分）如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从
一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
【分析】图所示，AB，CD为树，且AB＝13，CD＝7，BD为两树距离8米，过C作CE⊥AB于
E，则CE＝BD＝8，AE＝AB﹣CD＝6米，在直角三角形AEC中利用勾股定理即可求出
AC．
【解答】解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝13米，CD＝7米，BD为两树距离8米，
过C作CE⊥AB于E，
第9页（共24页）则CE＝BD＝8米，AE＝AB﹣CD＝6米，
在直角三角形AEC中，
AC＝10米，
答：小鸟至少要飞10米．
故选：C．
【点评】本题关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角
形的性质解题．
8．（3分）已知A、B两点的坐标分别是（﹣2，3）和（2，3），则下面四个结论：①点A在第四象
限；②点B在第一象限；③线段AB平行于y轴；④点A、B之间的距离为4．其中正确的
有（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
【分析】根据点的坐标特征，结合A、B两点之间的距离进行分析即可．
【解答】解：∵A、B两点的坐标分别是（﹣2，3）和（2，3），
∴①点A在第二象限；②点B在第一象限；③线段AB平行于x轴；④点A、B之间的距
离为4，
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质，关键是掌握点的坐标特征．
9．（3分）如图，一圆柱高12cm，底面半径为3cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B处吃
食物，要爬行的最短路程（ 取3）是（ ）
π
A．15cm B．21cm C．24cm D． cm
第10页（共24页）【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，
∵底面半径为3cm，
∴BC＝ ＝3 ≈9（cm），
π
在Rt△ABC中，
∵AC＝12cm，BC＝9cm，
∴AB＝ ＝ ＝15（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，熟知两点之间，线段最短是解答此类问
题的关键．
10．（3分）已知如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y
＝x+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一
次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵b＝k＞0，
第11页（共24页）∴一次函数y＝kx+k的图象经过一、二、三象限．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k
＞0，b＞0时函数的图象在一、二、三象限．
11．（3分）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
【分析】本题应分两种情况进行讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD
的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；
（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD
的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
【解答】解：此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD＝ ＝ ＝9，
在Rt△ACD中，
CD＝ ＝ ＝5
∴BC＝5+9＝14
∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；
（2）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD＝ ＝ ＝9，
在Rt△ACD中，CD＝ ＝ ＝5，
∴BC＝9﹣5＝4．
∴△ABC的周长为：15+13+4＝32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的
周长为32．
故选：C．
第12页（共24页）【点评】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，
易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．
12．（3分）甲、乙两辆摩托车分别从A、B两地出发相向而行，图中l 、l 分别表示两辆摩托车
1 2
与A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系，则下列说法：
①A、B两地相距24km；
②甲车比乙车行完全程多用了0.1小时；
③甲车的速度比乙车慢8km/h；
④两车出发后，经过0.3小时，两车相遇
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据纵坐标判断①正确，根据横轴计算判断出②正确，根据速度＝路程÷时间计
算出甲乙两车的速度，判断出③正确，根据相遇问题的等量关系列式求解即可判断出④
错误．
【解答】解：①x＝0时，S＝24，所以A、B两地相距24千米，故①正确；
②甲车比乙车行完全程多用了0.6﹣0.5＝0.1小时，故②正确；
③甲的速度为：24÷0.6＝40千米/小时，
乙的速度为：24÷0.5＝48千米/小时，
48﹣40＝8千米/小时，
所以，甲车的速度比乙车慢8千米/小时错误，故③正确；
第13页（共24页）④24÷（48+40）＝ 小时，
所以，两车出发后，经过 小时相遇，故④错误；
综上所述，正确的有①②③共3个正确，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，准确
识图获取必要的信息是解题的关键．
二、填空题：每小题4分，共16分.
13．（4分）已知一次函数y＝﹣x+3，当0≤x≤2时，y的最大值是 3 ．
【分析】先根据一次函数的性质判断出函数y＝﹣x+3的增减性，再根据x取最小值时y最
大进行解答．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+3中k＝﹣1＜0，
∴一次函数y＝﹣x+3是减函数，
∴当x最小时，y最大，
∵0≤x≤2，
∴当x＝0时，y最大 ＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x
的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
14．（4分）观察下列各组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，26……
请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： 1 6 ， 6 3 ， 6 5 ．
【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组
数，则这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1．根据
这个规律即可解答．
【解答】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2（n+1）；第二个是：n（n+2）；第三个
数是：（n+1）2+1．
所以第⑦组勾股数：16，63，65．
故答案为：16，63，65．
【点评】考查了勾股数，规律型：数字的变化类，观察已知的几组数的规律，是解决本题的
第14页（共24页）关键．
15．（4分）实数a，b在数轴上的位置，如图，那么化简 的结果是 2 a + b ．
【分析】根据数轴上a、b的位置，可开方、求出绝对值的值，根据整式的加减，可得答案．
【解答】解： ＝a﹣（﹣a﹣b）
＝a+a+b
＝2a+b，
故答案为：2a+b．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，根据a、b的值化简是解题关键．
16．（4分）在平面直角坐标系中，若线段AB∥x轴，AB＝4，点A的坐标为（3，4），则点B的坐
标为 （ 7 ， 4 ）或（﹣ 1 ， 4 ） ．
【分析】根据题意可知，点B的纵坐标和点A的纵坐标相等，横坐标是3+4或3﹣4，然后即
可写出点B的坐标．
【解答】解：∵线段AB∥x轴，AB＝4，点A的坐标为（3，4），
∴点B的横坐标为3+4＝7或3﹣4＝﹣1，纵坐标为4，
∴点B的坐标为（7，4）或（﹣1，4），
故答案为：（7，4）或（﹣1，4）．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确平行于x轴的点的坐标特点
是纵坐标相等．
三、解答题，本大题共9小题，共98分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）计算：
（1） ÷ + × ．
（2）（ ﹣2 ）×2 +5 ．
【分析】（1）直接利用二次根式乘除运算法则化简，再合并得出答案；
（2）直接将括号里面二次根式化简，再利用二次根式乘法运算法则化简，再合并得出答案．
【解答】解：（1）原式＝4+ ﹣2
＝4﹣ ；
第15页（共24页）（2）原式＝（ ﹣4 ﹣ ）×2 +5
＝（﹣3 ﹣ ）×2 +5
＝﹣3 ×2 ﹣ ×2 +5
＝﹣18﹣6 +5
＝﹣18﹣ ．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（10分）已知m+8的算术平方根是3，m﹣n+4的立方根是﹣2，试求 的值．
【分析】根据m+8的算术平方根是3，m﹣n+4的立方根是﹣2，可求出m、n的值，代入求值
即可．
【解答】解：∵m+8的算术平方根是3，
∴m+8＝32＝9，解得，m＝1，
∵m﹣n+4的立方根是﹣2，
∴m﹣n+4＝（﹣2）3＝﹣8，
解得，n＝13，
∴ ＝ ＝ ＝4．
【点评】考查平方根、立方根的意义，理解和掌握平方根和立方根的意义是解决问题的前
提，正确的解答是关键．
19．（10分）（1）在平面直角坐标系中，顺次连接下列各点，并画出图形．
（﹣5，2），（﹣1，4），（﹣5，6），（﹣3，4），（﹣5，2）
（2）不改变这些点的纵坐标，将它们的横坐标都乘以﹣1，写出新的点的坐标．
（3）在同一坐标系中，描出这些新点，并顺次连接起来；
（4）新图形与原图形有什么关系？
第16页（共24页）【分析】（1）根据各个点的坐标作出图形即可；
（2）横坐标乘以﹣1，即可得出新的点的坐标的横坐标，进而得出坐标；
（3）先在坐标系上描出四点，再依次连接即可．
（4）通过观察图象即可发现新图形与原图形的关系．
【解答】解：（1）如图，图形即为所求；
（2）不改变这些点的纵坐标，将它们的横坐标都乘以﹣1，新的点的坐标为（5，2），（1，
4），（5，6），（3，4）；
（3）图形如图所示：
（4）所得的图案与原图案关于y轴对称．
【点评】本题综合考查了直角坐标系的知识和轴对称图形的性质．正确得出对应点位置是
解题关键．
20．（10分）如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝CD＝2，AD＝3．
（1）求AC的长．
第17页（共24页）（2）试判断△ACD的形状．
【分析】（1）直接根据勾股定理求出AC的长即可；
（2）在△ACD中，由勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状．
【解答】解：（1）在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝CD＝2，
∴AC＝ ＝ ＝ ；
（2）∵ ，
∴△ACD为直角三角形．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之
和一定等于斜边长的平方是解答（1）题的关键．同时考查了勾股定理的逆定理：如果三角
形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
21．（10分）甲乙两地相距500千米，汽车从甲地以每小时100千米的速度开往乙地，到达乙
地后汽车停止．
（1）写出汽车离乙地的距离s（千米）与开出时间（t 小时）之间的函数关系式，并指出是不
是一次函数；
（2）写出自变量的取值范围；
（3）汽车从甲地开出多久，离乙地为100千米？
【分析】（1）根据剩下路程＝总路程﹣已经行驶的路程，建立等量关系就．再根据一次函
数的条件就可以判断是否为一次函数．
（2）根据路程是个定值就可以求出时间的最大值，从而求出取值范围．
（3）用总路程﹣100的差除以速度就可以求出时间．
【解答】解：（1）由题意，得：
s＝500﹣100t，是一次函数；
（2）汽车到达乙地所用时间为：500÷100＝5（小时），
∴自变量的取值范围为0≤t≤5；
（3）（500﹣100）÷100，
第18页（共24页）＝400÷100
＝4小时
答：汽车从甲地开出4小时，离乙地100千米．
【点评】本题考查了一次函数的综合运用，涉及了求一次函数的解析式，自变量的取值范
围．在解答中要注意运用解析式解答问题．
22．（10分）我们将（ + ），（ ﹣ ）称为一对“对偶式“．因为（ + ）（ ﹣
）＝（ ）2﹣（ ）2＝a﹣b．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将（ +
）和（ ﹣ ）中的“ ”去掉．例如： ＝ ＝ ＝
＝2+ ．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分
母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．
（1）分母有理化 的值为 3+ 2 ．
（2）如图所示，数轴上表示1， 的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表
示的数为x．求x+ 的值．
【分析】（1）先根据材料分子分母同时乘以 +1，然后得到结果；
（2）先根据点C是点B关于点A的对称点求得x的值，然后再代入计算得到结果．
【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝3+2 ，
故答案为：3+2 ．
（2）∵点B关于点A的对称点为C，
∴x＝2﹣ ，
∴x+ ＝2﹣ + ＝2﹣ + ＝2﹣ + ＝2﹣ +2+
第19页（共24页）＝4．
【点评】本题考查了二次根式的化简、数轴上点的特征，解题的关键是会进行二次根式的
分母有理化计算．
23．（12分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气
候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海
港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝
500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20千米/小时，台风影响该海港持续的时间有多长？
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出
CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝ ＝70（km），
∴EF＝140km，
第20页（共24页）∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20＝7（小时），
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角
三角形，再利用勾股定理解答．
24．（12分）已知直线y＝kx+b经过点（0，6），且平行于直线y＝﹣2x．
（1）求该函数解析式；
（2）如果这条直线经过点P（m，2），求m的值；
（3）求OP所在直线的解析式；
（4）求直线y＝kx+b和直线OP与x轴所围成的图形的面积．
【分析】（1）根据两直线平行的问题得到k＝﹣2，然后把（0，6）代入y＝﹣2x+b得求出b
即可得到该函数解析式为y＝﹣2x+6；
（2）把P（m，2）代入y＝﹣2x+6即可得到m的值；
（3）利用待定系数法求直线OP的解析式；
（4）先求出直线y＝﹣2x+6与x轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝﹣2x平行，
∴k＝﹣2，
把（0，6）代入y＝﹣2x+b得b＝6，
∴该函数解析式为y＝﹣2x+6；
（2）把P（m，2）代入y＝﹣2x+6得﹣2m+6＝2，解得m＝2；
（3）设OP所在直线解析式为y＝px，
把P（2，2）代入得2p＝2，解得p＝1，
∴直线OP的解析式为y＝x；
（4）当y＝0时，﹣2x+6＝0，解得x＝3，则直线y＝﹣2x+6与x轴的交点A的坐标为（3，
0），
所以直线y＝kx+b和直线OP与x轴所围成的图形的面积＝ ×3×2＝3．
第21页（共24页）【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相
对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他
们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
25．（12分）综合与实践
问题背景：
（1）已知A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个点，
并分别找到线段AB和CD中点P 、P ，然后写出它们的坐标，则P （ 2 ， 2 ） ，P （﹣
1 2 1 2
1 ，﹣ 2 ） ．
探究发现：
（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x ，y ），（x ，y ），则线
1 1 2 2
段的中点坐标为 ．
拓展应用：
（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H（x，
y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重
合，求点H的坐标．
第22页（共24页）【分析】（1）根据坐标的确定方法直接描点，：分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点
的坐标；
（2）根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律；
（3）利用（2）中的规律进行分类讨论即可答题．
【解答】解：（1）如图：A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描
出它们如下：
线段AB和CD中点P 、P 的坐标分别为（2，2）、（﹣1，﹣2）
1 2
故答案为：（2，2）、（﹣1，﹣2）．
（2）若线段的两个端点的坐标分别为（x ，y ），（x ，y ），则线段的中点坐标为
1 1 2 2
．
故答案为： ．
（3）∵E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），
∴EF、FG、EG的中点分别为：（1， ）、（2， ）、（0，3）
∴①HG过EF中点（1， ）时， ＝1， ＝
解得：x＝1，y＝﹣1，故H（1，﹣1）；
第23页（共24页）②EH过FG中点（2， ）时， ＝2， ＝
解得：x＝5，y＝3，故H（5，3）；
③FH过EG的中点（0，3）时， ＝0， ＝3
解得：x＝﹣3，y＝5，故H（﹣3，5）．
∴点H的坐标为：（1，﹣1），（5，3），（﹣3，5）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质．通过此题，要熟记平面直角坐标系中线段中点的横
坐标为对应线段的两个端点的横坐标的平均数，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的
纵坐标的平均数．
第24页（共24页）
