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第二章 不等式与不等式组
2.1 不等式及其性质
第 3 课时 不等式的基本性质
【素养目标】
1. 通过活动探究和实例操作，经历观察、分析，理解并掌握不等式的性质，培
养自主学习的习惯和观察推理能力。(重点)
2. 会用不等式的基本性质解简单的不等式， 培养应用意识；在解题的过程中
发展数感和运算能力， 渗透数形结合思想。(难点)
【情境导入】
小明和小丽在学习不等式之后对不等式提出了一些问题：
(1) 若 a > b ，则有 b < a ；
(2) 若 a > b , b > c ，则有 a > b > c 。
请同学举例说明他们的说法是否正确？
【合作探究】
探究点一、不等式的解及解集
活动1：用不等号填空：
(1) 5___−3,5+2___−3+2,5−2___−3−2 ;
(2) 2___4,2+1___4+1,2−1___4−1 .
(3) 水果店的小王从水果批发市场购进 100 kg梨和84kg苹果，在卖出akg梨和
akg苹果后，又购进了梨和苹果各bkg ，请用“ < ”或“ > ”填空：
100 − a ___ 84− a100 − a + b ___ 84 − a + b
问题1：观察上面的式子，你发现了什么规律？
【归纳总结】
一般地，不等式有如下性质：
不等式的基本性质1:
不等式的两边都加(或减)同一个代数式， 不等号的方向不变。
用字母表示：如果 a > b ，那么 a ± c > b ± c 。
活动2：用不等号填空：
(1) 6 ___ 4 6×2 ___ 4×2 6÷2 ___ 4÷2
(2) −4 ___ −2−4×2 ___ −2×2−4÷2 ___ −2÷2
第 1 页(3) 已知苹果的价格是 a 元/kg，梨的价格是 b 元/kg， 且 a > b 。小李买
了苹果和梨各3kg ，则买哪种水果花钱较多？ 用不等号填空： 3a ___ 3b 。
(4) 在某次知识抢答赛中，甲乙两队的总得分分别为 a , b ，其中 a < b 。
已知每队人数均为3名，则哪队的平均得分高？
用不等号填空： a ÷ 3 ___ b ÷ 3 。
问题2: 你发现了什么规律？
【归纳总结】
不等式的性质2: 不等式两边都乘 (或除以) 同一个正数，不等号的方向不变。
用字母表示：如果 a > b, c > 0 ，那么 ac > bc , a÷c > b÷c 。
活动3：用不等号填空：
(1) 6 _____ 4 6×(-2) _____ 4×(-2) 6÷(-2) _____4÷(-2)
(2) -4_____-2 -4×(-2)_____-2×(-2) -4÷(-2) _____-2÷(-2)
问题3: 类比问题2你能得出什么结论？
【归纳总结】
不等式的性质3:
不等式两边都乘 (或除以) 同一个负数， 不等号的方向改变。
用 字 母 表 示 ： 如 果 a > b , c < 0 ， 那 么 ac < bc ,
a ÷ c ≤ b ÷ c .
例1 已知a < b ，则下列不等式不成立的是( )
A. a+c < b+c B. 3a < 3b C.− a < −b D.
a b
<
2 2
例2 已知m < n ，利用不等式的性质比较 −2m−1和−2n−1的大小。
【练一练】
1. 设 a > b ，用“ < ”“ > ”填空，并回答是根据不等式的哪一条基本性
质。
(1) a−3 > b−3 ; (2) a÷3 ≥ b÷3 ;
(3) 0.1a > 0.1b ; (4) −4a < −4b ;
(5) 2a+3 > 2b+3 ； (6) (m2+1)a > (m2+1)b ( m为常数)
2. 已知 a < 0 ，用“ < ”“”填空：
第 2 页a
(1) a+2 ____ 2 ; (2) a−1 ____ −1 ;(3) 3a ____ 0 ; (4) − ____ 0 ;
4
(5) a2 ____ 0 ; (6) a3 ____ 0 ; (7) a−1____ 0 ; (8) |a| ____ 0 .
思考： 上节课，我们猜想，无论绳长l取何值，所围成的圆的面积总大于正方
l2 l2
形的面积，即 > . 你相信这个结论吗？你能用不等式的性质证明吗？
4π 16
探究点二、不等式的基本性质的应用
例3 根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上：
(1) x−5 > −1 ; (2) −2x ≥ 3 .
【练一练】
3.根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上：
2
(1) x− 1<− 2 ; (2) x ≤ −1; (3)−2x ≤ 6.
3
4. 根据不等式的基本性质解下列不等式。
(1) x−7 < 8 ; (2) 3x < 2x−3 .
第 3 页当堂反馈
1.已知x＞y，则下列不等式成立的是( )
x y
A.x+5bc2 C. a c>b c D. a c+1>b c+1
3.若x＞－2，则下列各式中错误的是( )
x 1
A.3x>-6 B. x+9>7 C. >- D.-7x>14
4 2
4.已知－x＜－y，用“＜”或“＞”填空：
(1) -2x ______ -2y;
(2) 2x ______ 2y;
2 2
(3) x+1 ______ y+1.
3 3
5.由ac＞bc得到a＜b的条件是：c ______ 0.(填“＞”“＜”或“＝”)
6.利用不等式的性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。
(1) x-1>2; (2) 1-x > 3;
1 3
(3)2x>- 3; (4) - x ≤ x+ .
2 2
第 4 页参考答案
情境导入
例：5>3 , 3<5 成立 ，(1) 正确；
6>4,4>2 ，且 6>4>2 , (2) 正确。
探究点一、不等式的解及解集
活动1: (1) ＞ ＞ ＞ ; (2) ＜ ＜ ＜ . (3) ＞ ＜
活动 2: (1) ＞ ＞ ＞ ; (2) ＜ ＜ ＜ . (3) ＞ (4) ＜
活动 3: (1) ＞ ＜ ＜ ; (2) ＜ ＞ ＞ .
问题3: 不等式两边乘(或除以)同一个负数， 不等号方向改变
例1 C.
例2 解：∵m < n ,∴−2 m > −2n 。∴ −2m−1 > −2n−1 .
【练一练】1.
(1) ＞ 不等式的性质 1
(2) ＞ 不等式的性质 2
(3) ＞ 不等式的性质 2
(4) ＜ 不等式的性质 3
(5) ＞ 不等式的性质 1，2
(6) ＞ 不等式的性质 2
2. (1) < ; (2) <; (3) <; (4) > (5) > (6) < ; (7) < ; (8) >
4
思考： 解：不等式的两边都乘16 , 由不等式基本性质2 , 得 l2 > l2
π
4
不等式的两边都除以 l 2 ，由不等式基本性质 2，得 > 1
π
l2 l2
因为上式恒成立，所以 > 也恒成立。
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探究点二、不等式的基本性质的应用
第 5 页例 3 解 ： (1) 根 据 不 等 式 基 本 性 质 1 ， 两 边 都 加 5 ， 得
x > −1+5，即x > 4。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。
3
(2) 根据不等式基本性质3，两边都除以 -2，得x ≤ − .
2
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。
【练一练】3.
解：(1) 根据不等式性质1 ，不等式两边都加上1 ，x < −1
这个不等式的解集在数轴上的表示如图。
2 2
(2) 根据不等式的性质2，不等式两边都除以 ，得 x ≤ −
3 3
这个不等式的解集在数轴上的表示如图。
(3) 根据不等式的性质3，不等式两边同时除以 -2，得x ≥ −3
这个不等式的解集在数轴上的表示如图。
4. 解： (1) 根据不等式的基本性质1, 两边都加上7,
得x−7+7 < 8+7，即x < 15。
(2) 根据不等式的基本性质1 ，两边都减去2x ，
得3x−2x < 2x− 3−x2，即x < −3。
第 6 页当堂反馈
1.D. 2.B. 3. D.
4.(1) < (2) > (3) >
5. <
3
6.解：(1) x＞3. (2) x＜－2. (3) x＞－ . (4) x≥－1.
2
(解集在数轴上表示略)
第 7 页
