文档文本内容
2.1 认识实数（第 1 课时） 教学设计
1.教学内容
本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级下上册（以下统称“教材”）第二章“实
数”2.1认识实数（1），内容包括：理解非有理数的存在，掌握无限不循环小数的核心特征．
2.内容解析
学生在学习“认识实数”之前，已经学过了有理数，掌握了有理数的概念与意义；而有理数也是实数
的一部分，这为学生学习认识实数打下了良好的认知基础，本节内容相对有理数有所不同，在本节课中，
我们将学习超越有理数范围之外的数；但你又会发现，本节内容其实和有理数又有一些紧密联系。认识实
数作为整个代数知识最为基础的部分，更是完善学生对数的认识必不可少的知识点；在学习本节内容之后，
学生对数的人认识将进一步扩大，可以帮助学生归纳在以往学习中遇到但无法归纳的数，更能将数的运算
范围推向另一片新天地。.
基于以上分析，确定本节的教学重点是理解无限不循环小数的特征.
1.教学目标
（1）理解非有理数的存在性，掌握无限不循环小数的核心特征.
（2）经历无限不循环小数的概念的探索过程，体会数形结合思想和逼近思想．
（3）在探索无线不循环小数过程中，发展计算与估算能力，培养数学应用意识．
2.目标解析
（1）学生要理解非有理数的存在，明确其特征.同时要能够准确识别一个数是否为无限不循环小数，
并能够进一步理解无限不循环小数的特征，在解答与识别该类型的数时，做到准确无误.
（2）学生在学习的过程中，要通过对比有理数中的有限循环小数何无限不循环小数，自主发现两者
的异同，归纳出无限不循环小数的概念。在探索无限不循环的过程中，明白如何估算无限不循环小数的小
数部分，感受极限思想，提升运算能力与推理能力.
（3）学生在反复运算求无限不循环小数的过程中，提高运算的准确性与运算速度，培养严谨认真的
学习态度.并能够用非有理数表示几何图形中的一些线段，提升学生的数形结合思想，并能运用所学知识解
决实际问题，增强数学应用的能力.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的相关知识，包括概念和意义，这为学习无限不循环小数
奠定了一定基础. 但学生可能会以往所接触到的非有理数影响，在理解无限不循环小数时误认为它就是带
有根号的数. 另外，对于用逼近的方法求出无限不循环小数的小数部分，部分学生可能存在困难，因为这
需要较强的计算能力和估算能力.
1.在用勾股定理求出图形中的非有理数时，不能正确的使用勾股定理，会导致解题错误；而在估算无
限不循环小数的小数部分时，因为计算过程涉及到较大数据的平方，也会导致解题错误.因此，在教学过程
中给出足够的时间，并适当的减轻计算负担，让学生在练习的过程中更多的去做估算这一步，引导学生总
结规律，加深对无限不循环小数的计算的理解.
2.在教学过程中多几何中的案例，如正方形的斜边，正三角形的高等，引导学生逐步分析题目中的已
知量和未知量，找出非有理数，并学会去估算前三位小数部分. 同时，鼓励学生小组合作交流，共同探讨
分析解决问题的方法，培养学生的合作能力和思维能力.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解从非有理数到无限不循环小数的逻辑关系..
1.温故知新
本节课将进入无限不循环小数的学习，先回顾以下问题：
（1）什么是有理数?
整数和分数统称为有理数
（2）有理数包括哪些小数形式?
有限小数和无限循环小数
（3）理数一定都是分数和整数吗？无限循环小数属于整数还是分数？
有理数一定都是整数和分数；所有的无限循环小数都可以表示为分数。
通过以上问题，猜测一下：什么是无限不循环小数？它的是不是有理数？让我们赶紧进入本节课的学习吧！
（设计意图：由学生回忆并回答，为学习本节的知识做铺垫）
（教学建议：教师提问，指定学生代表回答．回顾有理数的有关概念，有利于学生类比有理数展开无限不
循环小数的的学习）
2.情景引入
教师在PPT上放入以及准备好的数学故事情境。
讲述古希腊毕达哥拉斯学派的轶事：
“古希腊数学家坚信‘万物皆数’，且所有数都可表示为整数比（分数）。但学派成员希帕索斯发现：边
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2长为1的正方形对角线长度（√2）无法写成任何分数。这一发现动摇了学派根基，甚至传说他因此被抛入
大海…”
“为什么√2会引发如此大的震动？它为什么不能写成分数？”
(设计意图：融入人文历史，引发学生好奇心，理解概念的革命性意义)
探究点1 非有理数的引入
1.任务：将两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形
① 设大正方形边长为 a，则 a 满足什么条件？ ② a 可能是整数或分数吗？理由：
a满足a2=12+12=2 不可能，1²=1<2<2²=2
2、迁移验证
①如图，以直角三角形的斜边为边长的正方形的面积=5 ；②直角三角形的斜边b满足：b2=22+12=5;
③b是整数或分数吗？b不是整数也不是分数
既不是整数，也不是分数→ 非有理数！
（设计意图：引入非有理数的概念）
（教学建议：教师引导学生通过观察、计算，自行归纳得到非有理数的概念，培养学生主动参与、合作交
流、归纳总结的意识）
典例分析
22
1、在数 1.414，0.333 ，√2， 中：
7
⋯
22
（1）属于整数的是：无 ；（2）属于分数的是：1.414，0.333 ，
7
⋯
（3）既非整数也非分数的是：√2
2、下列数中，既不是整数也不是分数的是（ BC ）
A. 99 B. π
C. 0.1010010001 0.1010010001 （每两个1之间增加一个0）
⋯ ⋯
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D. − E. 1.414
7
探究点2 无限不循环小数的概念
面积为2的正方形边长a的探索
1、例题正方形的面积越大，边长越 大； 因为1 < 2 < 4，所以边长关系为1 <a<2.
2、找出数a的是否为、百分位、千分位…
我们已经知道1<a<2(整数部分是1），接下来探索a的小数部分（十分位、百分位、千分位……）。
（1）找十分位：尝试1.4和1.5的平方（因为1.4是1后面的第一个小数，1.5是1.4的下一个整数）：
1.42= _ 1.96 __ （计算结果），与2比较：1.42 __ < ___ 2（填“<”或“>”）；
1.52= __ 2.25 __ （计算结果），与2比较：1.52 ____ > __ 2（填“<”或“>”）；
结论：1.4<a<1.5，所以a的十分位是 __ 4 __
（2）找百分位：在1.4和1.5之间，尝试1.41和1.42的平方：
1.412= _ 1.9881 ___ （计算结果），与2比较：1.412 ___ < ___ 2；
1.422= _ 2.0164 _ （计算结果），与2比较：1.422 ___ > ___ 2；
结论：1.41<a<1.42，所以a的百分位是 __ 1 __ 。
……
边长a 面积S
1<a<2 1<S<4
1.4<a<1.5 1.96<S<2.25
1.41<a<1.42 1.9881<S<2.0164
1.414<a<1.415 1.999396<S<2.002225
1.4142<a<1.4143 1.99996164<S<2.00024449
3.归纳总结
（1）通过以上的结果，你认为该数还可以算下去吗？a可能是有限小数吗？a的小数部分是否循环？
还可以算下去；但它一定不是有限小数，且小数部分不循环
（2）a是整数吗？是分数吗？为什么？
a不是整数（1 < a < 2），也不是分数（分数的平方不可能是2）
（3）综上可以发现，这样的数的小数部分一定是无限且不循环的，像这样的数就叫无限不循环小数。
（设计意图：通过数形结合，计算等的方式对无限不循环小数部分进行估算，使学生思考与感悟无限
不循环小数的特征，从而理解无线不循环小数的概念.）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4（教学建议：把边长为无理数的正方形与边长为整数的正方形作对比，实现了知识的直观理解，使学生在
自主探索和合作交流的过程中更容易掌握新知识，理解无限不循环小数的特点与概念，教学重点得以基本
达成，教学难点也取得相应突破．在归纳出无限不循环小数的概念之后，引导学生去估算无限不循环小数
的小数部分，加深理解，体会数形结合思想与极限思想．注意强调：书中无限不循环小数的小数部分不一
定要全部估算出来，要灵活选用．要特别注意，当计算量过大的时候，要避免造成过多的时间消耗在此
处．）
典例分析
1.如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是有理数吗？
h不可能是有理数，理由如下：
证明：在等边三角形ABC中，BC边上的高满足“三线合一”
所以BD=CD
在直角三角形ABD中，根据勾股定理：
AB2=AD2+BD2 代入边长AB=2，BD=1，
得：22=h2+12
化简得： 4=h2+1 h2=3 h=√3
√3是无限不循环小
⟹
数，因此
⟹
等边三角形的高h=√3不可能是有理数
1.同一个正方形的边长和对角线是否可能都是整数？
解：设正方形的边长为 （正数），根据勾股定理，对角线长度
a d=√a2+a2=a√2
因此，对角线长度是边长的 √2倍。
假设存在整数 a（边长）和整数 d（对角线），使得 d=a√2
因为√2是无限不循环小数，因此它的整数倍也一定是无限不循环小数
所以同一个正方形的边长和对角线不可能都是整数
（设计意图：对非有理数在几何中应用的强化练习.）
（教学建议：学生分组讨论探究作答，教师汇总后订正．提醒学生：此类求数形结合的题目，先要尝试将
去分析图形中各条边长的关系，在适当的时候使用勾股定理．在结合图形中各条边的关系之后，求出需要
解答的边长，最后分析该边长是否为有理数）
1.观察以下小数，哪些小数是无限不循环小数（ A ）
(A) 0.12112111211112...（每两个2之间1的个数增加） (B) 3.14
(C) 0.333... （D）0.35353535…
2.下列各数中，不是有理数的是（C ）
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（A） （B）
5 7
（C）√15 （D）0.123456
π
3. 已知 π 是无限不循环小数，则 是（ D ）
10
A. 整数 B. 分数
C. 有理数 D. 无限不循环小数
4. 判断正误：
（1）所有无限小数都是无理数； （ × ）
（2）所有无限不循环小数数都是无限小数； （ √ ）
（3）有理数都是有限小数； （ × ）
（4）不是有限小数的数不是有理数。 （ × ）
5. 如图，4×4的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接任意两个格点便可得到一条线段。试分别找
出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。
解；如图，L1，L2的长度分别为2，4，为有理数
L3，L4的长度分别为√5，√8，不是有理数
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知
的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
类型一：辨析无限不循环小数
1.观察以下小数，哪些小数是无限不循环小数（ A ）
(A) 0.12112111211112...（每两个2之间1的个数增加） (B) 3.14
(C) 0.333... （D）0.35353535…
2.下列各数中，不是有理数的是（C ）
3 3
（A） （B）
5 7
（C）√15 （D）0.123456
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6类型二：无限不循环小数的在几何中的应用
1. 大小两个正三角形的面积比为2:1，小三角形边长为1，求大三角形的高h；
1.（2023·四川）下列各数为无限不循环小数的是（C ）
A. -3/5 B. 0.1 2˙ C. π D. √9
2.（2023·内蒙古）若a,b为连续整数，且a<√7<b，则a+b=3
3.（2024·上海）下列运算结果一定是无限不循环小数的是（D ）
A.1+√4 B.π^0 C. √4 D. π/2
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
设计意图：运用思维导图将本节课主要知识点清晰呈现，同时体现无限不循环小数的认识过程，增强
学习的主动性与连贯性.
1.必做题：课后习题1
2.探究性作业：习题2.1 第4题.
2.1.1认识实数
1. 有理数：整数+分数
2. 非有理数：既不是整数，也不是分数
3. 无限不循环小数：小数部分无限且没有循环节的数
4. 例题区：（学生板演区域）
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