文档文本内容
2.1 认识实数第一课时 导学案
1.理解非有理数的存在性，掌握无限不循环小数的核心特征.
2.经历无限不循环小数的概念的探索过程，体会数形结合思想和逼近思想．
3.在探索无线不循环小数过程中，发展计算与估算能力，培养数学应用意识．
重点：理解无限不循环小数的本质特征.
难点：理解从非有理数到无限不循环小数的逻辑关系.
第一环节 自主学习
温故知新：
有理数的概念：有理数 =分数+整数．
p
特征①：可写为_ 形式（p,q为整数，q≠0）；
q
特征②：小数形式为有限小数或无限不循环小数
新知自研：自研课本第25--26页的内容
【学法指导】
自研课本P25页内容，思考：
1、任务：将两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形
① 设大正方形边长为 a，则 a 满足什么条件？ ② a 可能是整数或分数吗？理由：
a满足a2=12+12=2 不可能， 1²=1< 2 < 2²= 2
满足a2 =2的 a 既不是整数，也不是分数→ 这是一种新数！
2、你能再列举一个这样的数吗？ √7（答案不唯一）
【自研自探】
自研课本25页尝试思考内容，回答问题：
1、迁移验证
①如图，以直角三角形的斜边为边长的正方形的面积=5 ；②直角三角形的斜
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1边b满足：b2=22+12 =5;
③b是整数或分数吗？ b 不是整数也不是分数
22
2、在数 1.414，0.333 ，√2， 中：
7
⋯
22
（1）属于整数的是：无 ；（2）属于分数的是： 1.414 ， 0.333 ，
7
⋯
（3）既非整数也非分数的是：√2
3、下列数中，既不是整数也不是分数的是（ BC ）
A. 99 B. π
C. 0.1010010001 0.1010010001 （每两个1之间增加一个0）
3
D. − ⋯ ⋯ E. 1.414
7
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.仔细观察例题中的图形，完成以下问题。
例：面积为2的正方形边长a的探索
1、例题正方形的面积越大，边长越 大（填“大”或“小”）； 因为1 < 2 < 4，所以边长关系为 1
<a<2。 （填1、a、2）
B.小组合作分析，找出数a的是否为、百分位、千分位…
2、我们已经知道1<a<2(整数部分是1），接下来探索a的小数部分（十分位、百分位、千分位……）。
（1）找十分位：尝试1.4和1.5的平方（因为1.4是1后面的第一个小数，1.5是1.4的下一个整数）：
1.42= _ 1.96 __ （计算结果），与2比较：1.42 __ < ___ 2（填“<”或“>”）；
1.52= __ 2.25 __ （计算结果），与2比较：1.52 ____ > __ 2（填“<”或“>”）；
结论：1.4<a<1.5，所以a的十分位是 __ 4 __
（2）找百分位：在1.4和1.5之间，尝试1.41和1.42的平方：
1.412= _ 1.9881 ___ （计算结果），与2比较：1.412 ___ < ___ 2；
1.422= _ 2.0164 _ （计算结果），与2比较：1.422 ___ > ___ 2；
结论：1.41<a<1.42，所以a的百分位是 __ 1 __ 。
……
C.小组合作总结新数的特点
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2（1）通过以上的结果，你认为该数还可以算下去吗？a可能是有限小数吗？a的小数部分是否循环？
还可以算下去；但它一定不是有限小数，且小数部分不循环
（2）a是整数吗？是分数吗？为什么？
a 不是整数（ 1 < a < 2 ），也不是分数（分数的平方不可能是 2 ）
（3）综上可以发现，这样的数的小数部分一定是无限且不循环的，像这样的数就叫无限不循环小数。
D.以数a的探究为基础，小组尝试探究面积为5的正方形的边长b为多少？b可能是有限小数吗?
b=2.236.6 7 … ，且 b 不是有理数，同样是无限不循环小数
E,即时训练
4. 下列数中，与a属于同一类（无限不循环小数）的是（ B ）
5
A. 0.333⋯ B. π C. D. √9
2
5.如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是有理数吗？
h不可能是有理数，理由如下：
证明：在等边三角形ABC中，BC边上的高满足“三线合一”
所以BD=CD
在直角三角形ABD中，根据勾股定理：
AB2=AD2+BD2 代入边长AB=2，BD=1，
得：22=h2+12
化简得： 4=h2+1 h2=3 h=√3
√3是无限不循环小
⟹
数，因此
⟹
等边三角形的高h=√3不可能是有理数
6、总结归纳无限不循环小数的特点并说明与有理数的区别.（完成在随堂笔记处）
F,拓展提升
7.同一个正方形的边长和对角线是否可能都是整数？
解：设正方形的边长为 （正数），根据勾股定理，对角线长度
a d=√a2+a2=a√2
因此，对角线长度是边长的 √2倍。
假设存在整数 a（边长）和整数 d（对角线），使得 d=a√2
因为√2是无限不循环小数，因此它的整数倍也一定是无限不循环小数
所以同一个正方形的边长和对角线不可能都是整数
1.观察以下小数，哪些小数是无限不循环小数（ A ）
(A) 0.12112111211112...（每两个2之间1的个数增加） (B) 3.14
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3(C) 0.333... （D）0.35353535…
2.下列各数中，不是有理数的是（C ）
3 3
（A） （B）
5 7
（C）√15 （D）0.123456
π
3. 已知 π 是无限不循环小数，则 是（ D ）
10
A. 整数 B. 分数
C. 有理数 D. 无限不循环小数
4. 判断正误：
（1）所有无限小数都是无理数； （ × ）
（2）所有无限不循环小数数都是无限小数； （ √ ）
（3）有理数都是有限小数； （ × ）
（4）不是有限小数的数不是有理数。 （ × ）
5. 如图，4×4的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接任意两个格点便可得到一条线段。试分别找出
两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。
解；如图，L1，L2的长度分别为2，4，为有理数
L3，L4的长度分别为√5，√8，不是有理数
4. 同一个正方形的边长和对角线是否可能都是整数？
解：设正方形的边长为 （正数），根据勾股定理，对角线长度
a d=√a2+a2=a√2
因此，对角线长度是边长的 √2倍。
假设存在整数 a（边长）和整数 d（对角线），使得 d=a√2
因为√2是无限不循环小数，因此它的整数倍也一定是无限不循环小数
所以同一个正方形的边长和对角线不可能都是整数
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4类型一：辨析无限不循环小数
1.观察以下小数，哪些小数是无限不循环小数（ A ）
(A) 0.12112111211112...（每两个2之间1的个数增加） (B) 3.14
(C) 0.333... （D）0.35353535…
2.下列各数中，不是有理数的是（C ）
3 3
（A） （B）
5 7
（C）√15 （D）0.123456
类型二：无限不循环小数的在几何中的应用
1. 大小两个正三角形的面积比为2:1，小三角形边长为1，求大三角形的高h；
解：如图，分别给两个正三角形作高，已知小正方形边长为1，设其高为h1
在正三角形中，满足“三线合一”的性质，
故三角形的高将正三角形分为两个完全一样的含30°的直角三角形，
√3 √3
故h1=1× = ；
2 2
√3 √6
因为两个三角形的面积比为2：1，所以它们的高的比为√2：1，所以大三角形的高h=√2× =
2 2
1.（2023·四川）下列各数为无限不循环小数的是（C ）
A. -3/5 B. 0.1 2˙ C. π D. √9
2.（2023·内蒙古）若a,b为连续整数，且a<√7<b，则a+b=3
3.（2024·上海）下列运算结果一定是无限不循环小数的是（D ）
A.1+√4 B.π^0 C. √4 D. π/2
1、无限不循环小数的特点：无限性和不循环性
2、有理数与无限不循环小数的区别
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5维度 有理数 无限不循环小数（无理数）
定义
整数和分数的统称 不能表示为分数的实数
小数形式
有限小数或无限循环小数 无限不循环小数
分数表示
p 不能表示为分数
能表示为 （p,q为整数，q≠0）
q
循环节
有限小数无循环节，无限循环小数有固定循 无循环节
环节
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6
