文档内容
7.2认识证明 （第1课时定义与命题） 教学设计
1.教学内容
本节课选自北师大版2024八年级上册第七章《证明》的“第1课时：定义与命题”。教材从
“为什么要证明”入手，引导学生认识数学结论的准确性与可靠性，初步体会到证明在数学学习中的
重要意义。主要围绕定义、命题这两个概念展开，包括命题的条件与结论结构、真命题与假命题以及
反例的运用，为后续研究平行线的判定和性质奠定逻辑推理基础。
2.内容解析
本节课的核心在于让学生准确理解并区分“定义”和“命题”，掌握命题的基本结构——“如
果……，那么……”，以及判断命题真假时的思维方法。教材编排先通过日常语言情景和数学语言的
对比，引出“判断事实”的表述即为命题，再结合实例区分真命题和假命题。“定义”用来对概念下
精确规定；“命题”用来表达数学判断。在此基础上，学生还要学会举反例验证命题真假的方法，加
深对逻辑推理和数学严谨性的认识。本课的重点在“如果…那么…”结构以及判定假命题时构造反例
的思维训练，难点在于学生初次接触形式化的逻辑分析，对“条件—结论”以及“真命题—假命题”
的辨析尚需反复练习。教学设计需通过多类型实例和讨论，帮助学生逐步积累对逻辑思维与数学表达
的信心。全课紧扣“证明”的核心，目标是让学生对数学中严谨的推理方式产生直观体会与初步应用
能力，从而为后续几何证明做好铺垫。
1.教学目标
•从具体的语句中了解定义、命题、真命题、假命题、反例的概念。掌握命题的“条件”与“结论”结
构，能将命题改写成“如果……，那么……”的形式，并准确识别其中的条件和结论。
•在判断命题真假、分析“条件—结论”结构、构造反例的过程中，发展演绎推理能力，学会用严谨的
逻辑链条表达数学判断。学会用“反例”的数学语言清晰论证假命题，增强数学表达的说服力。
•通过对定义、命题的辨析过程，发展逻辑推理素养，提升分析、归纳、抽象的思维能力。感受数学的
严谨性，体会“有理有据”的证明意识，培养求真务实的科学态度。
2.目标解析
•教学中需引导学生辨别句子是否为命题，并能够拆分“若……则……”的逻辑形式。
•在具体案例中引导学生体验反例推翻假命题的过程，体会演绎推理的价值。
•要让学生回顾定义和命题的学习过程，逐步体会到数学推理的严密性与重要性，形成科学、求真态度。
3.重点难点•教学重点：命题的结构（条件与结论）以及运用反例验证命题真假。
•教学难点：将一般语句转化为“如果……，那么……”的形式时，准确提取条件和结论；针对假命题
构造反例时的发散思维与严谨性。
学生已学过一元一次方程组、一次函数等内容，具备对数学语句进行基本分析的能力，也见过
“补角”“对顶角”“平行线”等几何概念，对简单空间与图形的判断问题虽有一定经验，但在形式
化的逻辑表达和严格推理上经验不足。本节需在已有感性认识基础上，利用具体实例和生活情境让学
生更易接受“定义”“命题”“真命题”“假命题”等抽象概念，再结合适量的练习与讨论，帮助他
们理解反例的构造要点与演绎推理思路，为后续几何推理学习夯实基础
创设情景，引入新课
问题情境：
1.章节导读
2.课堂引入
宋丹丹：他就是 主动和我接近，没事儿和我唠嗑，不是给我割草就是给我朗诵诗歌，还总找机会向我
暗送秋波呢！
赵本山：别瞎说，我记着我给你送过笔，送过桌，还给你家送一口大黑锅，我啥时给你送秋波了？秋
波是啥玩意？
宋丹丹：秋波是啥玩意你咋都不懂呢,这么没文化.
赵本山：啥呀？
宋丹丹：秋波就是秋天的菠菜。【设计意图】通过幽默的生活情景，引导学生思考“秋波”一词的本义与延伸含义，体会到在数学中
我们常常需要“准确、统一、明晰”的描述，这正是“定义”的重要作用。进一步激发学生对“定
义”与“命题”的兴趣，为进入新知学习做好准备。
探究点1：定义
1.我说你猜
(1)“具有中华人民共和国国籍的人”，叫作“_________”
(2)“两点之间线段的长度“，叫作“_________”
(3)“无限不循环小数”叫做“_________”
(4)“由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形“，叫作“_________”
(5)“有两边相等的三角形”叫做“_________”
解：中华人民共和国公民，两点之间的距离，无理数，多边形，等腰三角形
2.归纳总结
为了进行有理有据的证明，必须对某些名称和术语形成共同的认识。为此，就要对名称和术语的含义
加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。
注：定义就像标签，把事物与事物区别开。
3.回顾复习
回忆一下：从本册教材中，有哪些定义？
实数、平方根、算术平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、平面直角坐标系、一次函数、二元
一次方程组……
4.尝试思考
下面的语句中，是否对事情作出了判断？与同伴进行交流.
（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；
（2）对顶角相等；
（3）无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数；
（4）如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（5）你喜欢数学吗？
（6）作线段 AB=CD.
解：是，是，是，是，否，否
【设计意图】通过回顾《定义》的重要性，让学生意识到要想进行严谨的推理和证明，必须对基本概
念有清晰的界定。由此，学生能够更好地区分“名词解释”与“判断性语句”的区别，感受数学理论
体系的基础严谨性。
探究点 2：命题
1.新知探究：判断一件事情的语句，叫做命题。
例：（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；
（2）对顶角相等；
（3）无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数；
（4）如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。
例：（5）你喜欢数学吗？
（6）作线段AB=CD.
方法技巧：
1.命题必须是一个完整的句子，常为陈述句。这个句子只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，
都是命题.
2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。
2.练一练
下列语句在表述形式上，哪些是命题？哪些不是命题？
（1） 等角的余角相等；
（2） 画一个角等于已知角；
（3） 两直线平行，内错角相等；
（4） a ,b两条直线平行吗？
（5）温柔的李明明；
（6） 玫瑰花是动物；
（7） 若a2＝4，求a的值；
（8） 若a2＝b2，则a＝b.
解：是，否，是，否，否，是，否，是
3.思考交流
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴进行交流。
1 如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
2 如果 a=b，那么 a2=b2；
3 如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。
解：这些命题都有“如果……那么……”的结构特征。
4.归纳总结
数学中的命题一般是由条件和结论两部分组成。
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项结构特征:都可以写成“如果…那么…”的形式
方法技巧：
命题的条件部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；
命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.
5.习题练习
1.“两负数的商为正数”的条件是_________，结论是_________．
2.命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是_________，结论是_________．
3.命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是_________，结论是_________．
4.改写命题“等角的补角相等”：如果_________，那么_________．
5.把命题：对顶角相等．改写“如果…那么…”的形式为：_________．
解：1.两负数，商为正数；2.两个数的绝对值相等，这两个数互为相反数；3.直角三角形中的两个锐角，
这两个锐角互余；4.两个角是等角的补角，这两个角相等；5.如果两个角是对顶角，那么它们相等。
【设计意图】让学生通过实例，掌握“命题”的内涵，了解命题的一般结构“如果……那么……”，
并能识别何谓“条件”，何谓“结论”。通过自己动手改写命题、判断命题真假，为后续在证明中的
条理表达打下基础，培养了学生的推理与表达素养。
探究点3：真命题、假命题
1.尝试思考
指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果 a ≠ b，b ≠ c，那么 a ≠ c；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）三角形三个内角的和等于180°.
解：（1）条件：两个角相等，结论：它们是对顶角；错误命题（2）条件：a ≠ b，b ≠ c，结论：a ≠
c；错误命题（3）条件：全等三角形，结论：面积相等；真命题（4）条件：三角形三个内角的和，结
论：等于180°；真命题。
2.新知归纳
判断命题的真假：
正确的命题称为真命题；不正确的命题称为假命题.
真命题——可以用推理的方法
假命题——可以举反例来说明
要说明一个命题是真命题，可以用推理的方法。
反例：指具备命题的条件，而不具备命题的结论的例子.
3.习题练习
指出下列各命题的条件和结论，并通过反例说明其中的假命题.
（1）在同一年内，如果 5 月 4 日是星期一，那么 5 月11 日也是星期一；
（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；
x-5 3-x
（3）如果 = ， 那么x=4；
2 3
（4）两个锐角之和一定是钝角；
解：（1）条件：在同一年内，5 月 4 日是星期一；结论：5 月 11 日也是星期一.
（2）条件：一个三角形的三个内角都相等；结论：这个三角形是等边三角形.
x-5 3-x
（3）条件： = 结论：x=4.
2 3
21 x-5 2 3-x 2 x-5 3-x
当x= ， =- ， =- ， =
5 2 5 3 5 2 3
但x≠4，所以这个命题是假命题。
（4）条件：有两个锐角；结论：它们的和一定是钝角.当两个锐角分别是20°，30°时，它们的和是
50°，但50°不是钝角，所以这个命题是假命题.
（5）条件：x2>0；结论：x>0.
当x=-2时，x2=(-2)2=4>0，但 x<0，所以这个命题是假命题.
（6）条件：两个三角形中，两边分别相等且其中一组等边的对角相等；结论：这两个三角形全等.
如图，在△ABC 与△ABD 中，AC = AD，AB = AB，∠ABC = ∠ABD，但 △ABC 与 △ABD 不全
等，所以这个命题是假命题.
【设计意图】学生在此部分进一步熟悉“真命题”和“假命题”的概念，并通过寻找反例等方式加深
对假命题的辨别方法。培养他们善于质疑、认真验证的态度，同时也为后续“如何证明真命题”为核
心的学习内容埋下伏笔。
1.下列属于定义的是（ ）A.两点确定一条直线
B.两直线平行，同位角相等
C.等角的补角相等
D.线段是直线上的两点和两点之间的部分
解：D．
2.下列是命题的是( )
A.两直线平行，内错角相等
B.线段AB＝5cm
C.画一个菱形ABCD
D.平行于同一条直线的两直线平行吗？
解：A.
3．把命题“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”的形式_________.
解：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
4．命题“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的条件是_________，结论是_________.
解：两个三角形的两角及其夹边分别相等,这两个三角形全等.
5.指出下列命题的条件和结论．
(1) 若 a > 0，b > 0，则 ab > 0；
解：(1) 条件：a > 0，b > 0；结论：ab > 0.
(2)同角的补角相等；
解：(2) 条件：两个角是同一个角的补角；结论：这两个角相等.
6.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例.
(1)如果ab＞0，那么a＞0，b＞0；
(2)互为相反数的两个数相加得0；
(3)一个钝角与一个锐角的差一定是锐角.
解：(1)该命题是假命题，反例：当a＝－1，b＝－2时，ab＝2＞0，但a＜0，b＜0；(反例不唯一)
(2)该命题是真命题；
(3)该命题是假命题，反例：当∠1＝102°，∠2＝2°时，∠1－∠2＝100°，为钝角.(反例不唯一)
7.课外阅读 .
❑√2是无理数的经典反证法
在之前，我们已经学习过面积为2的正方形，其边长的整数部分是1，但是小数部分我们没有计算出
所有的位数，现在我们已经知道，这种无限不循环小数叫做无理数。❑√2是无理数的经典反证法，最早由古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯在公元前5世纪提出并证明，
a
其证明思路为：先假设❑√2是有理数，即存在互质整数a，b使得❑√2= ，同时平方得a2=2b2，说明a2
b
是偶数，那么a也是偶数（设a=2k），代入得4k2=2b2，说明b2也是偶数，那么b也是偶数，与“互
质”的假设矛盾，因此证明了❑√2不是有理数。
【设计意图】本环节旨在让学生在已有“定义、命题、真命题、假命题、反例”基础上更深层次地感
受数学语言的严谨。通过阅读与思考，将“判断”与“推理”的方法迁移到其它相关情境中，进一步
提升逻辑思维能力，初步感受数学中“反证法”等证明思路的魅力。
主板书 副板书
7.2认识证明 （第1课时定义与命题） 例题
探究点1 定义
探究点2 命题 学生练习板演
探究点3 真命题、假命题
课堂小结
1. 必做题：教科书习题7.2第2，3题。
2. 探究性作业：收集欧几里得和《几何原本》的有关资料，在班级里分享。
