文档内容
7.3 平行线的证明 （第2课时 平行线的性质） 教学设计
1.教学内容
本节课选自北师大版2024八年级上册第七章“证明”中“平行线的性质”的第二课时，核心内
容是掌握两条平行直线被第三条直线所截时，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，以及平行线
的传递性等定理的证明方法与应用。
2.内容解析
本节课主要围绕“平行线性质的证明”展开，重点探讨“两直线平行，同位角相等”“两直线平
行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补”以及“平行于同一条直线的两条直线相互平行”的
相关定理。首先，通过画图、标注、假设等手段，让学生经历从几何事实到逻辑推理的过程，理解转
换文字语言与几何语言在命题表达中的必要性。其次，采用综合法或反证法等多种思路，帮助学生发
现：若假设结论不成立，往往会与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等基本事实相
矛盾，从而肯定原命题成立。再次，学生在“已知—求证—推理”三步式证明过程中，能体会形象直
观与抽象严谨的结合，进一步加深对同位角、内错角、同旁内角等概念的认识。最后，在验证这些定
理的基础上，还需理解判定定理与性质定理之间的互逆关系，体会几何推理的完整闭环与化归思想的
意义。通过本节课的学习，学生不仅能掌握平行线性质的核心知识，更能在实践与讨论中逐步提升几
何推理与逻辑思维的能力。
1.教学目标
•经历平行线的性质定理的证明过程，初步掌握综合法证明的步骤、格式与方法，发展几何推理能力。
•能证明并应用“两直线平行，同位角相等”“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互
补”及“平行于同一条直线的两条直线平行”等定理。
•通过探究和讨论，领会性质定理与判定定理的互逆关系，培养化归和分类讨论思想。
2.目标解析
• 通过多样化的证明方式，让学生亲身体验从条件到结论的推理过程，增强理解与记忆。
• 鼓励学生观察、假设、演绎，培养反证法等多角度思考问题的能力。
• 借助习题自主验证与小组讨论，进一步内化平行线性质定理，夯实空间观念与逻辑思维。
3.重点难点
• 教学重点：掌握同位角、内错角、同旁内角与平行线之间的性质定理，并能运用上述定理解决几何
问题。• 教学难点：运用反证法及因果夹击法分析、证明相关命题，灵活运用性质定理和判定定理进行推理
并互相印证。
学生已掌握了基本的角、直线与平角的概念，也具备了初步的推理意识。本节课难点在于对平
行线中角的对应关系与判定、性质的灵活转换与应用，而几何推理的严谨性和方法多样性对学生来说
仍具挑战，需要教师在例证与讨论环节给予及时指导。
创设情景，引入新课
问题情境：
1.章节导读
2.情景引入
①两条直线平行的判定方法
文字叙述 符号语言 图形
同位角 相等，两
∵ ∠1 =∠2 (已知)，∴ a∥b.
直线平行
_内错角_相等，两直线平行 ∵ ∠3 =∠2 (已知)，∴ a∥b.
同旁内角 互补，两
∵ ∠2 +∠4 = 180° (已知)，∴ a∥b.
直线平行
②平行线的性质有哪些呢？其中哪些是基本事实？
③证明的一般步骤是什么
第一步：根据题意，画出图形．先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母
或符号，以便于叙述或推理过程的表达．
第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
把命题的条件转化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．
第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
【设计意图】通过表格形式复习已学内容，帮助学生明确“判定平行线”的多种方法，为后续学习
“平行线的性质”做好知识衔接。
探究点1：两直线平行，同位角相等
1.议一议
①命题 ： 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，
简单说成：两直线平行，同位角相等
已知：如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2
思考：如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？
证明：假设∠1≠∠2，
过M点作直线GH，使∠EMH =∠2，
如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”
可知GH∥CD.
又因为AB∥CD，这样经过点M存
在两条直线AB和GH都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
所以∠1≠∠2的假设不成立，
所以∠1=∠2.
教师提问：你能说说证明的思路吗？又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.
反证法→提出与结论相反的假设→将假设作为条件，通过推论导出矛盾→假设不成立，从而肯定原命
题成立
②定理： 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，
简单说成：两直线平行，同位角相等
数学语言格式:
∵a∥b（已知）
∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等）
③命题 ： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，
简单说成：两直线平行，内错角相等
已知：如图，直线 l
1
∥ l
2
，∠1和∠2是直线 l
1
， l
2
被直线 l 截出的内错角.求证：∠1=∠2.
证明：∵ l ∥ l （已知），
1 2
∴ ∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）.
∵ ∠2=∠3（对顶角相等），
∴ ∠1=∠2（等量代换）.
定理 ： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，
简单说成：两直线平行，内错角相等
数学语言格式:
∵a∥b，(已知)
∴∠1=∠2. (两直线平行，内错角相等)
④命题 ： 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，
简单说成：两直线平行，同旁内角互补已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角.
求证： ∠1+∠2=180°.
证明：∵a∥b (已知)
∴∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等)
∵∠1+∠3 =180° (平角等于180°)
∴∠1+∠2=180 ° (等量代换) .
定理： 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，
简单说成：两直线平行，同旁内角互补
数学语言格式:
∵a∥b，(已知)
∴∠2+∠4=180 °.(两直线平行，同旁内角互补)
2.知识归纳
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？
平行线的判定定理与性质定理互为逆命题
【设计意图】让学生在已有定理（同位角相等、对顶角相等）的基础之上进行推理，体现出“知识联
系、观点转化”的化归思想。
探究点2：平行线的传递性
1.做一做
命题 ： 平行于同一条直线的两条直线平行
已知：如图，b∥a， c∥a， ∠1，∠2， ∠3是直线 a，b，c 被直线 d 截出的同位角. 求证：b∥c.证明：∵ b∥a（已知）
∴ ∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）
∵ c∥a（已知）
∴ ∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）
∴ ∠2=∠3（等量代换）
∴ b∥c（同位角相等，两直线平行）
定理1:两直线平行,同位角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
定理2:两直线平行,内错角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
定理3:两直线平行,同旁内角互补.
∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
定理4:平行于第三条直线的两直线平行.
∵ a∥b,b∥c ∴a∥c.
2.回顾思考①回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节?
命题证明的一般步骤：
(1) 画图；
(2) 写已知、求证；
(3) 证明
②对于证明思路的分析，你积累了哪些经验?
(1) 从已知条件入手，综合分析探索解题途径(由因导果法)；
(2) 从结论出发，用倒推来寻求证题的思路(执果索因法)；
(3) 综合运用以上两种方法(因果夹击法)
【设计意图】此处强调“平行线具有传递性”，凸显几何中的类似“传递律”的思想。结合判定定理
培养学生的类比、迁移能力。四个探究点的串联让学生系统掌握了平行线的三个性质和一个传递性定
理，丰富了对平行几何现象的认识。
1．如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数为( )
A．100° B．110° C．120° D．130°
解：D．
2.如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一
侧铺设的角度大小应为( )
A．120° B．100° C．80° D．60°
解：D．
3.如图，已知AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是( )
A．∠1＝∠3
B．∠2＋∠3＝180°
C．∠2＋∠4＜180°
D．∠3＋∠5＝180°解：D.
4.如图，AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°,则∠BCD=( )
A. 40° B.30° C.35° D.25°
解：B．
5. 如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截
(1)从 ∠1=110°可以知道∠2 是多少度,为什么？
(2)从∠1=110°可以知道 ∠3是多少度,为什么？
(3)从 ∠1=110°可以知道∠4 是多少度,为什么？
解：（1）∠2=110°
（两直线平行，内错角相等）
（2）∠3=110°
（两直线平行, 同位角相等）
（3）∠4=70°
（两直线平行,同旁内角互补）
6.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行，第一次拐的∠B是142∘，第二次拐的∠C是多少度？
为什么？
解：∠C=142° （两直线平行,内错角相等）
7.如图,若AB∥DE , AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由.解:∠A+∠D=180∘. 理由：
∵ AB∥DE(已知)
∴∠A= _∠CPD_ (两直线平行,同位角相等)
∵AC∥DF(已知)
∴∠D+ _∠CPD_=180∘(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠A+∠D=180∘（等量代换）
8.如图，在三角形 ABC 中，D 是 AB 上一点，E 是 AC 上一点，∠ADE=60°，∠B = 60°，
∠AED=40°.
(1) DE 和 BC 平行吗？为什么？
(2)∠C 是多少度？为什么？
解：(1) DE∥BC. 理由如下：
∵ ∠ADE=60°，∠B = 60°，
∴ ∠ADE=∠B.
∴ DE∥BC. (同位角相等，两直线平行)
(2) ∠C =40°. 理由如下：
由(1)得 DE∥BC，
∴ ∠C=∠AED. (两直线平行，同位角相等）
又∵∠AED=40°，
∴ ∠C=∠AED =40°.
9.如图，若 AB//CD，你能确定∠B、∠D 与∠BED 之间的关系吗？说说你的看法.
解:如图，过点 E 作 EF//AB.∴∠B=∠BEF.
∵AB//CD,∴EF//CD.
∴∠D =∠≝.
∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠≝ ＝∠DEB，
即∠B＋∠D＝∠DEB.
模型总结：如图，AB∥CD，则：
当AB与CD之间有一个拐点时：∠A+∠C= ∠E.
【设计意图】通过“随堂练习”中的典型题型，让学生将本课所学的平行线性质定理、判定定理和证
明方法进行系统化、条理化的运用，扎实掌握基本的几何推理技巧。
主板书 副板书
7.3 平行线的证明 （第2课时平行线的性质） 例题
探究点1 两直线平行，同位角相等
探究点 2 平行线的传递性 学生练习板演
课堂小结教科书习题7.3第5、6题。
