文档内容
7.3 平行线的证明
第2课时 平行线的性质
1.经历平行线的性质定理的证明过程，初步掌握综合法证明的步骤、格式与方法，发展几何推理能力。
2.能证明并应用“两直线平行，同位角相等”“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互
补”及“平行于同一条直线的两条直线平行”等定理。
教学重点：掌握同位角、内错角、同旁内角与平行线之间的性质定理，并能运用上述定理解决几何问题。
教学难点：运用反证法及因果夹击法分析、证明相关命题，灵活运用性质定理和判定定理进行推理并互相
印证。
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P192-P194页的内容，思考：
【学法指导】
创设情景：
1.章节导读
2.情景引入
（1）两条直线平行的判定方法
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司文字叙述 符号语言 图形
同位角 相等，两
∵ ∠1 =∠2 (已知)，∴ a∥b.
直线平行
内错角相等，两直线平行 ∵ ∠3 =∠2 (已知)，∴ a∥b.
同旁内角 互补，两
∵ ∠2 +∠4 = 180° (已知)，∴ a∥b.
直线平行
（2）平行线的性质有哪些呢？其中哪些是基本事实？
（3）证明的一般步骤是什么
第一步：根据题意，画出图形．
第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
●探究一：两直线平行，同位角相等
◆1.议一议
（1）命题 ： 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，
简单说成：两直线平行，同位角相等
已知：如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2
思考：如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？
证明：假设∠1≠∠2，
过M点作直线GH，使 ∠ EMH =∠2，
如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”
可知GH∥CD.
又因为AB∥CD，这样经过点M存
在两条直线AB和GH 都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
所以∠1≠∠2的假设不成立，
所以 ∠ 1=∠2 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司思考：你能说说证明的思路吗？
又因为 AB∥CD ，这样经过点 M 存在两条直线 AB 和 GH 都与直线 CD 平行 .
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾 .
这说明∠ 1≠∠2 的假设不成立，所以∠ 1=∠2 .
反证法→提出与结论相反的假设→将假设作为条件，通过推论导出矛盾→假设不成立，从而肯定原命题成
立
（2）定理： 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，
简单说成： 两直线平行，同位角相等 .
数学语言格式:
∵a∥b（已知）
∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等）
（3）命题 ： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，
简单说成： 两直线平行，内错角相等 .
已知：如图，直线l ∥l，∠1和∠2是直线l ，l 被直线 l 截出的内错角.求证：∠1=∠2.
1 2 1 2
证明：∵ l∥l（已知），
1 2
∴ ∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）.
∵ ∠2=∠3（对顶角相等），
∴ ∠1=∠2（等量代换）.
定理 ： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，
简单说成：两直线平行，内错角相等
数学语言格式:
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∵a∥b，(已知)
∴∠1=∠2. (两直线平行，内错角相等)
（4）命题 ： 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，
简单说成： 两直线平行，同旁内角互补 .
已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角.
求证： ∠1+∠2=180°.
证明：∵a∥b (已知)
∴∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等)
∵∠1+∠3 =180° (平角等于180°)
∴∠1+∠2=180 ° (等量代换) .
定理： 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，
简单说成：两直线平行，同旁内角互补
数学语言格式:
∵a∥b，(已知)
∴∠2+∠4=180 °.(两直线平行，同旁内角互补)
◆2.知识归纳
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司平行线的判定定理与性质定理互为 逆命题 .
●探究二：平行线的传递性
◆1.做一做
命题 ： 平行于同一条直线的两条直线平行
已知：如图，b∥a， c∥a， ∠1，∠2， ∠3是直线 a，b，c 被直线 d 截出的同位角. 求证：b∥c.
证明：∵ b∥a（已知）
∴ ∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）
∵ c∥a（已知）
∴ ∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）
∴ ∠2=∠3（等量代换）
∴ b∥c（同位角相等，两直线平行）
定理1:两直线平行,同位角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
定理2:两直线平行,内错角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司定理3:两直线平行,同旁内角互补.
∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=180 ° .
定理4:平行于第三条直线的两直线平行.
∵ a∥b,b∥c
∴a∥c.
◆2.回顾思考
（1）回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节?
命题证明的一般步骤：
①画图；
②写已知、求证；
③ 证明
（2）对于证明思路的分析，你积累了哪些经验?
① 从已知条件入手，综合分析探索解题途径 ( 由因导果法 ) ；
② 从结论出发，用倒推来寻求证题的思路 ( 执果索因法 ) ；
③ 综合运用以上两种方法 ( 因果夹击法 )
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨平行线的性质定理，总结由“线→角”的数学模型.
B.交流习题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1．如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数为( )
A．100° B．110° C．120° D．130°
解：D．
2.如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺
设的角度大小应为( )
A．120° B．100° C．80° D．60°
解：D．
3.如图，已知AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是( )
A．∠1＝∠3
B．∠2＋∠3＝180°
C．∠2＋∠4＜180°
D．∠3＋∠5＝180°
解：D.
4.如图，AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°,则∠BCD=( )
A. 40° B.30° C.35° D.25°
解：B．
5. 如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截
(1)从 ∠1=110°可以知道∠2 是多少度,为什么？
(2)从∠1=110°可以知道 ∠3是多少度,为什么？
(3)从 ∠1=110°可以知道∠4 是多少度,为什么？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解：（1）∠2=110°
（两直线平行，内错角相等）
（2）∠3=110°
（两直线平行, 同位角相等）
（3）∠4=70°
（两直线平行,同旁内角互补）
6.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行，第一次拐的∠B是142∘，第二次拐的∠C是多少度？ 为
什么？
解：∠C=142° （两直线平行,内错角相等）
7.如图,若AB∥DE , AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由.
解:∠A+∠D=180∘. 理由：
∵ AB∥DE(已知)
∴∠A= _∠CPD_ (两直线平行,同位角相等)
∵AC∥DF(已知)
∴∠D+ _∠CPD_=180∘(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠A+∠D=180∘（等量代换）
8.如图，在三角形 ABC 中，D 是 AB 上一点，E 是 AC 上一点，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°.
(1) DE 和 BC 平行吗？为什么？
(2)∠C 是多少度？为什么？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解：(1) DE∥BC. 理由如下：
∵ ∠ADE=60°，∠B = 60°，
∴ ∠ADE=∠B.
∴ DE∥BC. (同位角相等，两直线平行)
(2) ∠C =40°. 理由如下：
由(1)得 DE∥BC，
∴ ∠C=∠AED. (两直线平行，同位角相等）
又∵∠AED=40°，
∴ ∠C=∠AED =40°.
9.如图，若 AB//CD，你能确定∠B、∠D 与∠BED 之间的关系吗？说说你的看法.
解:如图，过点 E 作 EF//AB.
∴∠B=∠BEF.
∵AB//CD,∴EF//CD.
∴∠D =∠≝.
∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠≝ ＝∠DEB，
即∠B＋∠D＝∠DEB.
模型总结：如图，AB∥CD，则：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当AB与CD之间有一个拐点时：∠A+∠C= ∠E.
题型一：利用平行线的性质求度数
1．如图，BC⊥AE，垂足为C，CD∥AB，∠A＝50°，则∠BCD的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】由垂线可得∠ACB＝90°，从而可求得∠B的度数，再结合平行线的性质即可求∠BCD的度数．
【解答】解：∵BC⊥AE，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°，
∵CD∥AB，
∴∠BCD＝∠B＝40°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
2．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC交CD于点D，若∠1＝52°，则∠2的度数是（ ）
A．38° B．52° C．62° D．64°
1
【分析】由邻补角的性质得到∠BAC＝180°﹣52°＝128°，由角平分线定义求出∠BAD= ∠BAC＝64°，
2
由平行线的性质推出∠2＝∠BAD＝64°．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解答】解：∵∠1＝52°，
∴∠BAC＝180°﹣52°＝128°，
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠BAD= ∠BAC＝64°，
2
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BAD＝64°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠2＝∠BAD．
3．如图，DE∥BC，DF∥AC，若∠DFB＝110°，则∠DEC的度数为 ．
【分析】先根据DF∥AC得出∠C的度数，再由DE∥BC即可得出结论．
【解答】解：∵DF∥AC，∠DFB＝110°，
∴∠C＝∠DFB＝110°，
∵DE∥BC，
∴∠DEC＝180°﹣∠C＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
4．（2024春•陈仓区期中）如图，已知AB∥CD，∠1＝54°，点E在直线CD上，EF平分∠AED，求∠2
的度数．
【分析】根据平行线的性质可求出∠AEC＝54°，进而求出∠AED＝126°，根据角平分线的定义得到
1
∠GED= ∠AED=63°，最后根据平行线的性质即可求解．
2
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝54°，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴∠AEC＝∠1＝54°，
∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝180°﹣54°＝126°，
∵EF平分∠AED，
1
∴∠GED= ∠AED=63°，
2
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠GED＝63°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
题型二：利用平行线的性质证明两直线垂直
5．已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说
明DA⊥AB．
【分析】由角平分线的定义和条件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可证明DA∥BC，再由平行线的性质可得
到∠A＝90°，可证明DA⊥AB．
【解答】证明：
∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，
∴DA⊥AB．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平
行 同位角相等，②两直线平行 内错角相等，③两直线平行 同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
6．已⇔知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝⇔∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⇔⊥AB．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，
根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．
【解答】证明：FH⊥AB（已知），
∴∠BHF＝90°．
∵∠1＝∠ACB（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．
∵∠2＝∠3（已知），
∴∠3＝∠BCD（等量代换），
∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），
∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）
∴CD⊥AB．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
7．如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．
【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，即
可得出答案．
【解答】解：过E作EF∥AD，交CD于F，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则∠ADE＝∠DEF，
∵DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠ADE，
∴∠1＝∠DEF，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEF+∠FEC＝90°，
∴∠2＝∠FEC，
∵CE平分∠DCB，
∴∠2＝∠BCE，
∴∠FEC＝∠BCE，
∴BC∥EF，
∴BC∥AD，
∵DA⊥AB，
∴BC⊥AB．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，能正确作出辅助
线，并综合运用定理进行推理是解此题的关键．
8．如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．
【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定
1 1 1 1
义可得：∠BAE= ∠BAD，∠FCG= ∠DCE，进而得出：∠CGF= ∠BAD，∠FCG= ∠B，可推出：
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1 1
∠CGF+∠FCG= （∠BAD+∠B）= ×180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂
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直定义可证得结论．
【解答】证明：∵AD∥BE，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∴∠CGF＝∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
1
∴∠BAE= ∠BAD，
2
1
∴∠CGF= ∠BAD，
2
∵CF平分∠DCE，
1
∴∠FCG= ∠DCE，
2
1
∴∠FCG= ∠B，
2
1 1
∴∠CGF+∠FCG= （∠BAD+∠B）= ×180°＝90°，
2 2
∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，
∴CF⊥AE．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题
的关键是掌握平行线判定定理和性质定理．
题型三：利用平行线的性质解决实际问题
9．太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点 O照射到抛物线上的
光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的
度数为（ ）
A．88° B．89° C．90° D．91°
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】依题意得AB∥OP∥CD，进而根据平行线的性质得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，
从而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，进而可得∠OCD的度数．
【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°，
∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，
∵∠BOC＝133°，
∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°，
∴∠OCD＝∠POC＝89°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
10．如图为某椅子的侧面图，∠DEF＝120°．DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝ ．
【分析】根据平行得到∠ABD＝∠EDC＝50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．
【解答】解：由题意得：DE∥AB，
∴∠ABD＝∠EDC＝50°，
∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝120°，
∴∠DCE＝70°，
∴∠ACB＝∠DCE＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
11．如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开
工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西
42°，则A地到公路BC的距离是 千米．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．
【解答】解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，
∴AB⊥BC，
∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，
故答案为：8．
【点评】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应
用于实际生活的思想．
12．（2024秋•北林区校级期中）为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图
（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中BC⊥AB，ED∥AB．经使用发现，当∠DCB＝140°时，
台灯光线最佳，此时∠EDC的大小为 ．
【分析】过C作CF∥AB，得到CF∥DE∥AB，根据平行线的性质和角的和差关系即可得出结果．
【解答】解：∵BC⊥AB，
∴∠B＝90°，
过点C作CF∥AB，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∵DE∥AB，
∴CF∥DE∥AB，
∴∠EDC＝180°﹣∠DCF，
∠BCF＝180°﹣∠B＝180°﹣90°＝90°，
∵∠DCF＝∠DCB﹣BCF＝140°﹣90°＝50°，
∴∠EDC＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是过 C作CF∥AB，得到CF∥ED，由平行线的性质来解
决问题．
题型四：利用平行线的性质解决折叠问题、
13．如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（ ）
A．58° B．64° C．72° D．60°
【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义
求出∠AEG即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠1＝58°，
由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°，
∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°；
故选：B．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的
性质和翻折变换的性质是解题的关键．
14．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠后，∠FEC＝30°，则∠AGE的度数为（ ）
A．30° B．60° C．80° D．不能确定
【分析】先由翻折变换的性质求出∠FEG的度数，再根据平行线的性质求出∠AGE的度数即可．
【解答】解：由翻折变换的性质可知∠FEG＝∠FEC，
∵∠FEC＝30°，
∴∠FEG＝30°，
∴∠CEG＝∠FEC+∠FEG＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠AGE＝∠CEG＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质以及翻折的性质，解题的关键是根据平行线的性质找到相等的角．
15．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝116°，则∠2为（ ）
A．116° B．112° C．122° D．130°
【分析】由平行线的性质可求∠FCD＝180°﹣∠1＝64°，进而可得∠FCB＝58°，再由平行线的性质可求
解．
【解答】解：如图，先标注字母，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∵EF∥CD，
∴∠1+∠FCD＝180°，而∠1＝116°，
∴∠FCD＝180°﹣∠1＝64°，
∵2∠FCB+∠FCD＝180°，
∴∠FCB＝58°，
∵AB∥CF，
∴∠2+∠FCB＝180°，
∴∠2＝180°﹣58°＝122°，
故选：C．
【点评】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、明确折叠前后相关角的数量
关系是解题的关键．
16．（2024春•沈阳期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别
沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若 + ＝118°，则∠EMF的度数为（ ）
α β
A．59° B．58° C．57° D．56°
【分析】根据平行线的性质得到∠DEG+∠AFH＝118°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝
2∠AFH，从而得到∠DEM与∠AFH的和，利用两个平角求出∠FEM与∠EFM的和，最后根据三角形
内角和等于180°即可求出答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEG＝ ，∠AFH＝ ，
∴∠DEG+∠αAFH＝ + ＝β118°，
由折叠得：∠DEM＝α2∠β DEG，∠AFM＝2∠AFH，
∴∠DEM+∠AFM＝2×118°＝236°，
∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣236°＝124°，
在△EFM中，
∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣124°＝56°，
故选：D．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【点评】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
题型五：平行线的性质与判定的综合应用
17．如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．
（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；
（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠BAC＝∠ACF＝80°，根据∠CAD＝20°，求出∠BAD＝60°，
根据∠BAD+∠ADE＝180°，即可得出结论；
（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠CED＝71°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝29°．
【解答】解：（1）DE∥AB；理由如下：
∵AB∥CF，∠ACF＝80°，
∴∠BAC＝∠ACF＝80°，
∵∠CAD＝20°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，
∵∠ADE＝120°，
∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°，
∴DE∥AB．
（2）DE∥AB，∠CED＝71°，
∴∠B＝∠CED＝71°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行
线的判定．
18．（2024春•启东市期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，
（1）求证：AD∥EF；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠1，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2+∠BAD＝180°，
∴AD∥EF；
（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝150°，
∴∠1＝30°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠GDC＝∠1＝30°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠GDC＝30°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟记性质与判定方法并判断出EF∥AD是解题的关键．
19．点D在∠ABC内，点E为边BC上一点，连接DE、CD．
(1)如图1，连接AE，若∠AED=∠A+∠D，求证：AB∥CD；
(2)在（1）的结论下，若过点A的直线MA∥ED，如图2，点E在线段BC上，猜想并验证∠MAB与
∠CDE的数量关系．
【分析】（1）证明∠B+∠BCD=180°，即可证明AB∥CD；
（2）过点B作BG∥AM，EG∥AB，两线交于点G，利用平行线的判定和性质，角的关系解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，角的关系计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】（1）证明：∵∠B=180°−∠A−∠AEB，∠BCD=180°−∠D−∠CED
∴∠B+∠BCD=180°−∠D−∠CED+180°−∠A−∠AEB
=360°−(∠D+∠CED+∠A+∠AEB)，
∵∠AED=∠A+∠D，
∴∠B+∠BCD=360°−(∠CED+∠AED+∠AEB)=360°−180°=180°
∴AB∥CD．
（2）解：∠MAB=∠CDE．
理由如下：
过点B作BG∥AM，EG∥AB，二线交于点G，
∵AB∥CD，MA∥ED，
∴BG∥ED，EG∥CD，
∴∠MAB=∠ABG，∠BGE=∠ABG，∠BGE=∠GED，∠CDE=∠GED
∴∠MAB=∠CDE．
20．综合探究
(1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能．
如图①，已知点A是BC外一点，连接AB,AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作ED∥BC，则∠B=______，∠C=∠DAC，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°．∴∠B+∠BAC+∠C= ；
(2)【方法运用】如图②所示，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC=80°，求∠B−∠C的度数．
(3)【拓展探究】如图③所示，已知AB∥CD，BF、CG分别平分∠ABE和∠DCE，且BF、CG所在直
线交于点F，过F作FH∥AB，若∠BFC=36°，求∠BEC的度数．
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司用转化思想解答是解题的关键．
（1）过点A作ED∥BC，如图①，根据平行线的性质得到∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，然后利用平角
的定义得到∠B+∠BAC+∠C=180°；
（2）过点E作ME∥AB，如图②，利用平行线的性质得到ME∥AB，则∠B+∠BEM=180°，
∠MEC=∠C，然后把两式相加可得∠B−∠C=100°；
（3）过E点作EM∥AB，根据平行线的性质得到AB∥ME∥CD∥FH，根据角平分线的定义得到
∠ABF=∠EBF，∠ECG=∠DCG，设∠ABF=∠EBF=α，∠ECG=∠DCG=β，结合平行线的性
质得到α−β=36°，利用∠BEC=∠BEM+∠MEC代入求解即可．
【详解】（1）解：过点A作ED∥BC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°；
故答案为：∠EAB，180°；
（2）解：过点E作ME∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴ME∥CD，
∴∠B+∠BEM=180°，∠MEC=∠C，
∴∠B+∠BEM+∠MEC=180°+∠C
∴∠B−∠C=180°−∠BEC=180°−80°=100°.
（3）解：过E点作EM∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴AB∥ME∥CD∥FH，
∵BF平分∠ABE，CG平分∠ECD，
∴∠ABF=∠EBF，∠ECG=∠DCG，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司设∠ABF=∠EBF=α，∠ECG=∠DCG=β，
∵AB∥FH，CD∥FH，
∴∠BFH=∠ABF=α，∠CFH=∠GCD=β，
∵∠BFH−∠CFH=∠BFC，
∴α−β=36°，
∵AB∥ME∥CD，
∴∠BEM=180°−∠ABE=180°−2α，∠MEC=∠ECD=2β，
∵∠BEC=∠BEM+∠MEC
=180°−2α+2β=180°−2(α−β)=180°−2×36°=108°．
▲1．平行线的性质：
性质1： 两直线平行，同位角相等 .
性质2： 两直线平行，内错角相等 .
性质3： 两直线平行，同旁内角互补 .
▲2． 平行线的判定是通过 两角的数量 关系得到 两直线 的位置关系；
平行线的性质是已知 两直线的位置 关系得到 两角的数量 .
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