文档内容
7.3 平行线的证明
第2课时 平行线的性质
1.经历平行线的性质定理的证明过程，初步掌握综合法证明的步骤、格式与方法，发展几何推理能力。
2.能证明并应用“两直线平行，同位角相等”“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互
补”及“平行于同一条直线的两条直线平行”等定理。
教学重点：掌握同位角、内错角、同旁内角与平行线之间的性质定理，并能运用上述定理解决几何问题。
教学难点：运用反证法及因果夹击法分析、证明相关命题，灵活运用性质定理和判定定理进行推理并互相
印证。
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P192-P194页的内容，思考：
【学法指导】
创设情景：
1.章节导读
2.情景引入
（1）两条直线平行的判定方法
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司文字叙述 符号语言 图形
相
∵ (已知)，∴ a∥b.
等，两直线平行
相等，两直线
∵ (已知)，∴ a∥b.
平行
互补，
∵ (已知)，∴ a∥b.
两直线平行
（2）平行线的性质有哪些呢？其中哪些是基本事实？
（3）证明的一般步骤是什么
第一步：根据题意， ．
第二步：根据条件、 ，结合图形，写出 、求证.
第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出 过程．
●探究一：两直线平行，同位角相等
◆1.议一议
（1）命题 ： 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，
简单说成：两直线平行，同位角相等
已知：如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2
思考：如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？
证明：假设∠1≠∠2，
过M点作直线GH，使 =∠2，
如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”
可知 ∥CD.
又因为AB∥CD，这样经过点M存
在两条直线AB和 都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点 一条直线与这条直线 ”相矛盾.
所以∠1≠∠2的假设不成立，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以
思考：你能说说证明的思路吗？
反证法→提出与结论相反的假设→将 作为条件，通过推论导出矛盾→假设不成立，
从而肯定 成立
（2）定理： 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，
简单说成：
数学语言格式:
∵a∥b（已知）
∴ （两直线平行， ）
（3）命题 ： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，
简单说成：
已知：如图，直线l ∥l，∠1和∠2是直线l ，l 被直线 l 截出的内错角.求证：∠1=∠2.
1 2 1 2
定理 ： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，
简单说成：两直线平行，内错角相等
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司数学语言格式:
∵a∥b，(已知)
∴ (两直线平行， )
（4）命题 ： 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，
简单说成：
已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角.
求证： ∠1+∠2=180°.
定理： 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，
简单说成：两直线平行，同旁内角互补
数学语言格式:
∵a∥b，(已知)
∴ (两直线平行，同旁内角互补)
◆2.知识归纳
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？
平行线的判定定理与性质定理互为 .
●探究二：平行线的传递性
◆1.做一做
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司命题 ： 平行于同一条直线的两条直线平行
已知：如图，b∥a， c∥a， ∠1，∠2， ∠3是直线 a，b，c 被直线 d 截出的同位角. 求证：b∥c.
【解答】
定理1:两直线平行,同位角相等.
∵ a∥b, ∴
定理2:两直线平行,内错角相等.
∵ a∥b, ∴
定理3:两直线平行,同旁内角互补.
∵ a∥b, ∴
定理4:平行于第三条直线的两直线平行.
∵ a∥b,b∥c
∴
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司◆2.回顾思考
（1）回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节?
命题证明的一般步骤：
①画图；
②写 、 ；
③ 证明
（2）对于证明思路的分析，你积累了哪些经验?
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨平行线的性质定理，总结由“线→角”的数学模型.
B.交流习题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1．如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数为( )
A．100° B．110° C．120° D．130°
2.如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺
设的角度大小应为( )
A．120° B．100° C．80° D．60°
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司3.如图，已知AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是( )
A．∠1＝∠3
B．∠2＋∠3＝180°
C．∠2＋∠4＜180°
D．∠3＋∠5＝180°
4.如图，AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°,则∠BCD=( )
A. 40° B.30° C.35° D.25°
5. 如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截
(1)从 ∠1=110°可以知道∠2 是多少度,为什么？
(2)从∠1=110°可以知道 ∠3是多少度,为什么？
(3)从 ∠1=110°可以知道∠4 是多少度,为什么？
6.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行，第一次拐的∠B是142∘，第二次拐的∠C是多少度？ 为
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司什么？
7.如图,若AB∥DE , AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由.
8.如图，在三角形 ABC 中，D 是 AB 上一点，E 是 AC 上一点，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°.
(1) DE 和 BC 平行吗？为什么？
(2)∠C 是多少度？为什么？
9.如图，若 AB//CD，你能确定∠B、∠D 与∠BED 之间的关系吗？说说你的看法.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型一：利用平行线的性质求度数
1．如图，BC⊥AE，垂足为C，CD∥AB，∠A＝50°，则∠BCD的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC交CD于点D，若∠1＝52°，则∠2的度数是（ ）
A．38° B．52° C．62° D．64°
3．如图，DE∥BC，DF∥AC，若∠DFB＝110°，则∠DEC的度数为 ．
4．（2024春•陈仓区期中）如图，已知AB∥CD，∠1＝54°，点E在直线CD上，EF平分∠AED，求∠2
的度数．
题型二：利用平行线的性质证明两直线垂直
5．已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司明DA⊥AB．
6．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．
7．如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．
8．如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型三：利用平行线的性质解决实际问题
9．太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点 O照射到抛物线上的
光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的
度数为（ ）
A．88° B．89° C．90° D．91°
10．如图为某椅子的侧面图，∠DEF＝120°．DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝ ．
11．如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开
工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西
42°，则A地到公路BC的距离是 千米．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司12．（2024秋•北林区校级期中）为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图
（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中BC⊥AB，ED∥AB．经使用发现，当∠DCB＝140°时，
台灯光线最佳，此时∠EDC的大小为 ．
题型四：利用平行线的性质解决折叠问题、
13．如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（ ）
A．58° B．64° C．72° D．60°
14．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠后，∠FEC＝30°，则∠AGE的度数为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．30° B．60° C．80° D．不能确定
15．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝116°，则∠2为（ ）
A．116° B．112° C．122° D．130°
16．（2024春•沈阳期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别
沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若 + ＝118°，则∠EMF的度数为（ ）
α β
A．59° B．58° C．57° D．56°
题型五：平行线的性质与判定的综合应用
17．如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．
（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；
（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司18．（2024春•启东市期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，
（1）求证：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．
19．点D在∠ABC内，点E为边BC上一点，连接DE、CD．
(1)如图1，连接AE，若∠AED=∠A+∠D，求证：AB∥CD；
(2)在（1）的结论下，若过点A的直线MA∥ED，如图2，点E在线段BC上，猜想并验证∠MAB与
∠CDE的数量关系．
20．综合探究
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能．
如图①，已知点A是BC外一点，连接AB,AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作ED∥BC，则∠B=______，∠C=∠DAC，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°．∴∠B+∠BAC+∠C= ；
(2)【方法运用】如图②所示，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC=80°，求∠B−∠C的度数．
(3)【拓展探究】如图③所示，已知AB∥CD，BF、CG分别平分∠ABE和∠DCE，且BF、CG所在直
线交于点F，过F作FH∥AB，若∠BFC=36°，求∠BEC的度数．
▲1．平行线的性质：
性质1：
性质2：
性质3：
▲2． 平行线的判定是通过 关系得到 的位置关系；
平行线的性质是已知 关系得到 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
