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7.3 平行线的证明
题型一 平行线的性质
1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线 ，直线 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，太阳光线 与 是平行的，同一时刻垂直于地面的两根
木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，这利用了全等的性质，其中判断
的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，直线 ，OG是 的平分线， ，则
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学科网（北京）股份有限公司的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，已知 且 ， ，则判定
的依据是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在四边形 中， ， 平分 ，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，已知 ， ，则 度，
度．
7．（14-15七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图， 平分 ， ， ，则
°， °．
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学科网（北京）股份有限公司8．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，四边形 中，点 是 上一点，过点 作 ，
，若 ，则 ．
9．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，四边形 中， ，点E是 上一点，且
， ，若 ， ，则 的长度为 ．
10．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图， 相交于点 ， ．
若 ，则 的度数是 ．
11．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，点A，C，F，B在同一条直线上， ， ，
．求证： ．
12．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，点 、 、 、 在一条直线上， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司．求证： ．
13．（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图， 中， ， ，求证： 平分 ．
14．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）已知：如图， ， ， ．求证：
．
15．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上， ， ，
．
(1)求证： ；
(2)请判断 和 的关系，并说明理由．
16．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在 中， ，延长 至点 使得
．
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学科网（北京）股份有限公司(1)请在图中连接 ，求证： ；
(2) 分别是 上的点，且 ，延长 至点 使得 ，求证： 三点共线．
题型二 平行线的判定
1．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，直线 被直线 所截，下列说法正确的是（ ）
A． 和 是内错角 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．（25-26七年级上·北京·期中）如图，木条 与 被木条 所截 若使木条 与 平
行，木条 过点 逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在 与 之间）
3．（22-23七年级下·陕西铜川·期末）如图，若要使 ，则可以添加的一个条件是 ．
（只填一个）
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学科网（北京）股份有限公司4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，（1）若 ，则 ，理由是 ．（2）若
，则 ，理由是 ．
5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，（1）因为 ，所以 ；（2）因为 ，
所以 ；（3）因为 ，所以 ．
6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线 ， 被直线 所截， 与 互补．求证：
．
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ， ，
．求证： ．
8．（25-26八年级上·山东聊城·期中）如图，已知：在 中， ， ，点 、
分别为边 、 上的点，且 ．求证： ．
证明：∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ （______），
∴ ．
又∵ ，
∴ （______），
∵ ，
______．
∴
∴ （______）．
9．（23-24七年级下·甘肃酒泉·期中）如图，已知： ， ．
求证： ．
证明：∵ （已知），
_________（__________），
∴∴ （________），
∵ （已知），
_________ _________ （________），
∴∴ （_______）．
10．（25-26八年级上·北京·期中）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，
，求证： ．
11．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，若 ，求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司12．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图， ， ， ，求证： ．
13．（25-26七年级上·全国·课后作业）完成下面的证明：已知：如图． 平分 ， 平分 ，
且 ．判断 与 是否平行，并说明理由．
题型三 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行
1．（13-14七年级下·山东泰安·月考）在同一平面内，若 ， ，则 与 的关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对
2．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图， 与 交于点O， 和 关于直线 对称，点
A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·河南信阳·期中）将一副三角尺如图放置， ， ，
，当 所在的直线与AC垂直时，∠CBE的度数是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
4．（24-25七年级上·全国·课后作业）若 ，则A，B，C三点共线，理由是
．
5．（20-21七年级下·辽宁大连·阶段练习）如图， ，那么 三点在同一条直线上．根据
．
6．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图， ， ， ．求证： ．
题型一 平行公理的应用
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数
分别是m条和n条，则 的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．1 B．2 C．3 D．无数条
2．（25-26七年级上·全国·单元测试）下列说法中不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
3．（24-25七年级下·全国·单元测试） 为直线 上的一点， 为 外一点，下列说法不正确的是（ ）
A．过点 可画垂直于 的直线 B．过点 可画 的垂线
C．连接 ，则 D．过点 可画直线与 平行
题型二 平行公理推论的应用
1．（2025·陕西·模拟预测）如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，直线 ，等腰直角三角形 的直角顶点 在直
线 上，点 在直线 上， ，则 的度数为（ ）
A． B．20° C． D．40°
3．（17-18七年级下·湖北·期中）如图， ， ， ， ，
则 为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
4．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）a，b，c是直线，且 ，则 ，理由是
5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知直线 ，若 ，则 的度数是 ．
6．（16-17七年级下·河北·期末）如图，张萌的手中有一张正方形纸片 （ ），点 ， 分
别在 和 上，且 ，此时张萌判断出 ，则张萌判断出该结论的理由是 ．
7．（2025八年级上·全国·专题练习）若两根平行木条与钉子E的位置如图所示，求证：
．
8．（9-10七年级下·云南曲靖·期末）如图， ， ．试说明 与 之间的关系，并说明
理由．
9．（11-12七年级下·天津·阶段练习）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使 ，
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学科网（北京）股份有限公司，试求 的度数．
10．（20-21七年级下·河北保定·期末）（1）发现：
平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添
加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决．
请你根据上述思想解决下列问题：
如图 ， ， 点在 内部时，则 （用“ ”、“ ”或“ ”填空）
（2）探究：
如果（ ）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由．
（3）拓展：
如图 ，已知 ，若点 在直线 外部时， ， ， 满足怎样的数量关系？说明
理由．
11．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知 ，点 为直线 、 所确定的平面内一
点．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图 ， ， ．求 的度数
(2)如图 ，直接写出 ， 和 的数量关系（不用写具体证明过程）
(3)如图 ，点 在直线 上，若 ， ， ，过点 作 ，求
的度数．
题型三 平行线的性质与判定综合
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图， ， ， ．求证：
2．（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图，点 、 在线段 上， ， ， ．
求证： ．
3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，四边形 中，过点 作 于点 ， ，
连接 、 交于点 ，若点 是 的中点．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
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学科网（北京）股份有限公司4．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光 和 分别沿水平方向发
射．一束斜向光线 照射到 上，经过折射后与 相交于点F，并继续折射至 上的点D处，从点
D引出一条新的折射光线 ，且 ．
(1)求证： ．
(2)若命题“已知 ______，则 ”是真命题，请填空，并说明理由．
5．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，有下列三个条件：① ，② ，③
．
(1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择
的条件是 ，结论是 ；
(2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程．
6．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知：如图所示， ， ，求证： ．
7．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知A、D、B、E在一条直线上，且 ， ，
，求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司8．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图， 是 的高，点G在 上， ，垂足是点F，
点E在 上，连接 ，若 ．求证： ．
题型一 平行线的实际应用
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知 ，P是射线AM上一动点（不与点A
重合），BC，BD分别平分 和 ，交射线AM于点C，D．
(1)求 的度数．
(2)当点P运动时， 与 的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找
出变化规律．
(3)当点P运动到使 的位置时，求 的度数．
2．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几
何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构
造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知
识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用．
【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题：
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，在 中， ， ，D是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．经过合作
交流，得到了如下的解决方法：延长 到点E，使 ，连接 ，可以判定 ，从而
得到 ．这样就能把线段 ， ， 集中在 中，再利用三角形的三边关系，即可求
出中线 的取值范围．
请你直接写出 的取值范围：______；
(2)如图2， ，点D为 的中点， ， ，求 ；
(3)如图3，在 和 中， ， ， ．连接 ， ，点F是
的中点，连接 并延长，与 相交于点G．请猜想 和 的数量关系并说明理由．
3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在
笔直且平行的长江两岸河堤 ， 上安装了 两盏激光探照灯如图所示．光线 按顺时针方向以
每秒 的速度从 旋转至 便立即回转；光线 按顺时针方向以每秒 的速度从 旋转至 便立
即回转．
(1)若两灯同时旋转， 灯发出的光线 顺时针旋转到 ，然后回转到 时，两灯同时停止旋转．
① 当两灯旋转 秒时，判断光线 所在直线与光线 所在直线的位置关系，并说明理由；
② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时 灯的
旋转时间；若不能，请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司(2)如果 灯先旋转 秒， 灯才开始旋转．在 灯发出的光束第一次到达 之前，请直接写出 灯旋转
多少秒时，光线 所在直线与光线 所在直线平行．
4．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）在综合实践课上，数学兴趣小组在老师的指导下进行探究活动．
活
动
关于三角板的数学思考
主
题
工
三角板、量角器、直尺等
具
活
动
第一小组 第二小组
过
程
模
型
抽
象
将一个三角板
相
三位同学各测量 的度数一次，求得
关
的平均值为 ，然后又各测量 ，）放在互相平行的直尺 和 之
信
息 的度数一次，求出其平均值． 间，并使直角顶点 在直尺 上，顶
点 在直尺 上．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题：
(1)第一小组选择三位同学各测量 一次，再以三次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的
是___________；图1中 ___________度；
(2)请你帮第一小组想一想，当 摆成___________度时，才能确保 ；
(3)在图2中，当改变直尺 的位置时（始终保持直角顶点 在 上）， 点在 上保持不动，同学们
发现 点的位置会随着直角顶点 的位置的变化而变化．请你猜想： 的值是否会发生改变？
如果不变，它们的和是多少度？请说明理由．
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