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7.3 平行线的证明
8大知识点（基础）+能力提升题（10道）+拓展培优练（4道）
一、同位角相等，两直线平行
1．（24-25七年级下·四川成都·期末）将木条a，b与c钉一起，∠1=66°，∠2=50°，要使木条a与b平
行，木条b绕点B按顺时针旋转的度数至少是（ ）
A．16° B．64° C．74° D．116°
2．（23-24七年级下·四川成都·期末）下列四个图中都有 ∠1=∠2， 不能由此判定 a∥b 的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，∠1=∠2，则下列结论正确的是（ ）
A．AE∥BF B．AB∥CD C．AB∥EF D．EF∥CD
二、内错角相等，两直线平行
1．（24-25七年级下·河北唐山·期末）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线AB、CD，诗诗、麦麦、皓皓三位同学的做法如图所示：
上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（ ）
A．仅皓皓同学 B．诗诗和皓皓 C．麦麦和皓皓 D．诗诗和麦麦
2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图．
(1)由∠1=∠2，可以得到哪两条直线平行？
(2)由∠ABC+∠BCD=180°，可以得到哪两条直线平行？
3．（24-25七年级下·广东茂名·期末）如图，点E，F在直线AC上，AF=EC，AB=DE，
AB∥DE，BC与DF平行吗？为什么？
三、同旁内角互补两直线平行
1．（24-25八年级上·北京·期末）如图，直线a,b被c,d所截，∠1+∠2=180°，∠3=60°，则∠4的度
数为（ ）
A．120° B．100° C．60° D．45°
2．（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，已知∠DFB=125°，∠ACB=55°．(1)求证AC∥DE；
(2)若∠D=∠A，∠ACD=120°，求∠B的度数．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，∠A+∠B=180°，求证∠C+∠D=180°．
四、垂直于同一条直线的两直线平行
1．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）已知a，b，c是同一平面内的三条不同直线，且a⊥b，b⊥c，则a，
c的位置关系是（ ）
A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．不能确定
2．（20-21七年级下·福建莆田·期中）已知a，b，c是三条直线，下列结论正确的是（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a∥b，b⊥c，则a∥c D．若a⊥b，b∥c，则a∥c
五、两直线平行，同位角相等
1．（2025·河北邯郸·二模）如图，AB∥CD∥EG,BF∥DE，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是
．
3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）已知：如图，AD是∠BAC的平分线，点E在BC上，点F在CA的
延长线上，EF∥AD，EF交AB于点G．求证：∠AGF=∠F．
六、两直线平行内错角相等
1．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，射线a和射线b分别与直线c相交，且a∥b，已知∠1=70°，
则∠2=（ ）
A．70° B．100° C．105° D．110°
2．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，直线a∥b，AC⊥BC，若∠2＝50°，则∠1的度数为
（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．（2025·河南南阳·三模）将等腰直角三角板ABC按如图所示放置，其直角顶点A落在直线l 上，另一个
1顶点B落在直线l 上，若l ∥l ，∠1=67°，则∠2的度数为（ ）
2 1 2
A．23° B．33° C．45° D．67°
七、两直线平行同旁内角互补
1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，AB∥CD，AC∥DE，∠D=30°，则∠A的度数为
（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
2．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，直线AB∥CD，∠A=40°，∠C=80°，则∠E的度数
是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
3．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）如图，AB∥CD，∠B=120°，∠C=25°，则∠α的度数为
°.
八、根据平行线判定与性质证明1．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，AE与BD相交于点F，点D在CE上，∠B=∠C，
∠1=∠2．求证：AB∥CE．
2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，AC∥DF，点B，E分别是AC，DF上的点，连接BD，
CE，若∠1=80°，∠2=100°．求证：∠C=∠D．
3．（24-25七年级上·吉林长春·期末）根据解答过程填空．
已知：如图，∠D+∠3=180°，AE平分∠BAD交CD于点F，∠4=∠E．
求证：∠B=∠DCE．
证明：∵∠D+∠3=180°（已知）．
∴AD∥BC（ ）
∴∠1= （ ）．
∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠1=∠2（ ）
∴∠2= （等量代换）
∵∠4=∠E（已知），
∴∠2=∠4（等量代换）
∴AB∥CD（ ）
∴∠B=∠DCE（ ）．
4．（22-23七年级上·河南南阳·期末）在下列解题过程的空白处填上恰当的内容（推理的理由或数学表达式）．
已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠4．求证：EF∥GH．
证明：∵∠1+∠2=180°（已知）
∠AEG=∠1（ ），
∴∠AEG+∠ =180°，
∴AB∥CD（ ）
∴∠AEG=∠EGD（ ）
又∵∠3=∠4（已知），
∴∠3+∠AEG=∠4+ （等式的性质）
即∠FEG=∠ ，
∴EF∥GH（ ）
1．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，下列条件中，不能判断直线l ∥l 的是（ ）
1 2
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°
2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABC中，
AB=AC,∠BAC=50°,△ABC≌△ADE,AB,CE相交于点F．当AD∥CE时，则∠BAE的大小是
（ ）A．20° B．25° C．30° D．35°
3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，下列条件中：①∠B+∠BAD=180°；②∠1=∠2；③
∠3=∠4；④∠B=∠5，其中能判定AB∥CD的条件有 （填写序号）
4．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，已知AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，
∠1=70°，求∠2的度数．
5．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，EF⊥AB，CD⊥AB．
(1)判断EF与CD的位置关系，并说明理由；
(2)若∠1=∠2，则∠AGD与∠ACB相等吗？为什么？
6．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知∠1=∠C，EF⊥BC，∠2+∠3=180°．(1)求证：∠2=∠4；
(2)试求出∠ADC的度数
7．（24-25七年级上·吉林长春·期末）把下面解答过程补充完整．如图，AD∥BC
,∠1=∠B,∠2=∠3．
(1)试说明AB∥DE；
说明：∵AD∥BC（已知），
∴∠1=∠__________（_____________）．
又∵∠1=∠B（已知），
∴∠B=∠DEC（等量代换），
∴AB∥DE（________________）．
(2)AF与DC的位置关系如何？为什么？
解：AF与DC的位置关系是________，理由如下：
∵AB∥DE（已知），
∴∠2=∠__________（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠2=∠3（已知），
∴∠__________=∠__________（等量代换），
∴AF∥DC（_________________）．
8．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知：如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OC=OD，E，
F为AB上两点，且AE=BF．猜想CE和DF的关系并说明理由．9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结
AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．
(1)判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
(2)若AB=BC+AD，∠BAE=∠BFE，判断BE与AF的位置关系，并说明理由．
10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，点E,F分别在AB,CD上，AF⊥CE于点
O,∠1=∠B,∠A+∠2=90°．求证：AB∥CD．请填空．
证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE=90°（______）．
∵∠1=∠B（______），
∴______（______），
∴∠AFB=∠AOE（______），
∴∠AFB=90°（______）．
又∵∠AFC+∠AFB+∠2=______（平角的定义），
∴∠AFC+∠2=______°．
又∵∠A+∠2=90°（已知），
∴∠A=∠AFC（______），
∴______（内错角相等，两直线平行）．1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以发
现∠BEC=∠B+∠C．请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∴∠B=∠BEF（①___________）．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD（②___________）．
∴∠C=∠CEF．
∵∠B+∠C=（③___________+④___________）．
∴∠BEC=∠B+∠C．（等量代换）．
（2）探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠C=360°−∠BEC．
（3）解决问题：如图③，AB∥CD，E、F是AB与CD之间的点，直接写出∠B，∠BEF，∠EFD，
∠D之间的数量关系．
2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在
笔直且平行的长江两岸河堤MN，PQ上安装了A，B两盏激光探照灯如图所示．光线AM 按顺时针方向
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以每秒4°的速度从AM旋转至AN便立即回转；光线BP 按顺时针方向以每秒1°的速度从BP旋转至BQ便
1
立即回转．
(1)若两灯同时旋转，A灯发出的光线AM 顺时针旋转到AN，然后回转到AM时，两灯同时停止旋转．
1
① 当两灯旋转30秒时，判断光线AM 所在直线与光线BP 所在直线的位置关系，并说明理由；
1 1
② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时A灯的旋转时间；若不能，请说明理由．
(2)如果B灯先旋转20秒，A灯才开始旋转．在B灯发出的光束第一次到达BQ之前，请直接写出A灯旋转多
少秒时，光线AM 所在直线与光线BP 所在直线平行．
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3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知BA∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BE的延长线交
CD于点F，过点F作FG⊥BF，交BC的延长线于点G．
(1)如图1，求证：EC∥FG；
(2)点M在线段BG上，点N在线段FG上，且∠BEM=k∠MEN，连接EG．若有∠NGE=k∠¬¿成立．
①如图2，当k=1时，求∠MEG的度数．
②当k≠1时，请直接写出∠MEG=________°（用含有k的代数式表示）
4．（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践：如图，AB∥CD，点P为平面内任意一点，连接AP,CP，
某数学兴趣小组对∠APC，∠A，∠C之间的数量关系进行了探究学习．
【探究一】当点P在如图1所示位置时，通过测量，得到猜想结果：∠APC+∠A+∠C=360°．
证明：过点P作PE∥AB，
∴∠APE+∠A=180°．
∵PE∥AB，AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠CPE+∠C=180°．
∴∠APE+∠A+∠CPE+∠C=180°+180°．
∴∠APC+∠A+∠C=360°．
【探究二】当点P在如图2所示位置时，猜想∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并给出证明．【探究三】当点P在如图3所示位置时，请直接写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，不要求给出证
明．
【探究四】若∠APC=∠A−∠C，请在图4中找到一个符合条件的点P，并补全图形，不要求给出证明．
【思维拓展】当点M,N在如图5所示位置时，请直接写出∠1，∠2，∠3，∠4之间的数量关系，不要求
给出证明．
