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7.3 平行线的证明
8大知识点（基础）+能力提升题（10道）+拓展培优练（4道）
一、同位角相等，两直线平行
1．（24-25七年级下·四川成都·期末）将木条a，b与c钉一起，∠1=66°，∠2=50°，要使木条a与b平
行，木条b绕点B按顺时针旋转的度数至少是（ ）
A．16° B．64° C．74° D．116°
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行
同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等，在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内
错角和同旁内角．要使木条a与b平行，旋转后∠1=∠2，再进一步求解即可．
【详解】解：要使木条a与b平行，
∴旋转后∠1=∠2，
∵∠2=50°，
∴旋转后∠2=66°，
∴木条b至少旋转：66°−50°=16°，
故选A．
2．（23-24七年级下·四川成都·期末）下列四个图中都有 ∠1=∠2， 不能由此判定 a∥b 的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同
旁内角．结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法分别判断即可．
【详解】解：A、∠1和∠2是同位角，∠1=∠2，∴a∥b；
B、∠1和∠2是同位角，∠1=∠2，∴a∥b；
C、∠1和∠2是同位角，但不是a、b被一条直线所截，故不能判定a∥b；
D、如图，∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴a∥b；
故选：C．
3．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，∠1=∠2，则下列结论正确的是（ ）
A．AE∥BF B．AB∥CD C．AB∥EF D．EF∥CD
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定
即可求解．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴AE∥BF（同位角相等，两直线平行）．
故选：A．
二、内错角相等，两直线平行
1．（24-25七年级下·河北唐山·期末）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三
角板画平行线AB、CD，诗诗、麦麦、皓皓三位同学的做法如图所示：上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（ ）
A．仅皓皓同学 B．诗诗和皓皓 C．麦麦和皓皓 D．诗诗和麦麦
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判断，即可得到答案，熟记平行线的判定
定理是解题的关键．
【详解】解：诗诗：∵∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
麦麦：∵∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
皓皓：如图，
∵∠ABE=∠CDB，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
故选：D
2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图．
(1)由∠1=∠2，可以得到哪两条直线平行？
(2)由∠ABC+∠BCD=180°，可以得到哪两条直线平行？
【答案】(1)AD∥BC
(2)AB∥DC
【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握其判定方法是关键．（1）根据内错角相等，两直线平行即可求解；
（2）根据同旁内角互补，两直线平行即可求解．
【详解】（1）解：∵∠1=∠2，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
（2）解：∵∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥DC（同旁内角互补，两直线平行）．
3．（24-25七年级下·广东茂名·期末）如图，点E，F在直线AC上，AF=EC，AB=DE，
AB∥DE，BC与DF平行吗？为什么？
【答案】BC与DF平行，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定．先证明△BCA≌△DFE(SAS)，得到
∠ACB=∠EFD，即可得到BC∥DF．
【详解】解：BC与DF平行，
理由：∵ AB∥DE，
∴∠A=∠E，
∵AF=EC，
∴AC=EF，
在△ABC与△EDF中，
{
AC=EF
)
∠A=∠E ，
AB=DE
∴△BCA≌△DFE(SAS)，
∴∠ACB=∠EFD，
∴BC∥DF．
三、同旁内角互补两直线平行
1．（24-25八年级上·北京·期末）如图，直线a,b被c,d所截，∠1+∠2=180°，∠3=60°，则∠4的度
数为（ ）A．120° B．100° C．60° D．45°
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题先通过平行线的判定证明直线a平行直线b，然后利用平行线的性质即可求解；
【详解】解：如图：
，
∵∠1+∠2=180°，
∴a∥b，
∵∠3=60°，
∴∠5=∠3=60°，
∵∠5+∠4=180°，
∴∠4=180°−∠5=180°−60°=120°；
故选：A；
2．（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，已知∠DFB=125°，∠ACB=55°．
(1)求证AC∥DE；
(2)若∠D=∠A，∠ACD=120°，求∠B的度数．
【答案】(1)见解析
(2)65度
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题关键，（1）根据同旁内角互补两直线平行可得答案；
（2）先说明CD∥AB，再得出∠BCD的度数，再根据平行线的性质得出答案．
【详解】（1）解： ∵∠CFE=∠DFB=125°,∠ACB=55°，
∴∠ACB+∠CFE=180°，
∴AC∥DE；
（2）解：∵AC∥DE，
∴∠A=∠DEB．
∵∠A=∠D，
∴∠D=∠DEB，
∴CD∥AB．
∵∠ACB=55°,∠ACD=120°，
∴∠BCD=∠ACD−∠ACB=65°，
∴∠B=∠BCD=65°．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，∠A+∠B=180°，求证∠C+∠D=180°．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，因为∠A+∠B=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，
可证AD∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补，可证结论成立．
【详解】证明：∵∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠D=180°．
四、垂直于同一条直线的两直线平行
1．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）已知a，b，c是同一平面内的三条不同直线，且a⊥b，b⊥c，则a，
c的位置关系是（ ）
A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理即可确定答案．
【详解】解：在同一平面内，若两条直线分别垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．
∵直线a和直线c均垂直于直线b，如图：
∴∠1=∠2=90°
∴a∥c
即a与c的位置关系为互相平行．
故选：A．
2．（20-21七年级下·福建莆田·期中）已知a，b，c是三条直线，下列结论正确的是（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a∥b，b⊥c，则a∥c D．若a⊥b，b∥c，则a∥c
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线以及垂线的有关性质，熟练掌握它们的基本性质是解题的关键．
根据平行线以及垂直的有关性质逐项判断即可．
【详解】解：A、若a∥b，b∥c，则a∥c，由平行线的性质可得，故该选项正确，符合题意；
B、若在同一平面内，a⊥b，b⊥c，则a∥c，故该选项错误，不符合题意；
C、若a∥b，b⊥c，则a⊥c，故该选项错误，不符合题意；
D、若a⊥b，b∥c，则a⊥c，故该选项错误，不符合题意．
故选：A．
五、两直线平行，同位角相等
1．（2025·河北邯郸·二模）如图，AB∥CD∥EG,BF∥DE，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）有
（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵CD∥EG，
∴∠BCD=∠1，
∵BF∥DE，
∴∠EDC=∠BCD，
∴∠EDC=∠1，
∴图中与∠1相等的角（不包括∠1）有2个．
故选：B
2．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是
．
【答案】50°
【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得∠BCD=∠1=40°，由垂直的定义得
∠CBD=90°，继而得到∠2=90°−∠BCD．解题的关键是掌握：直角三角形两锐角互余．
【详解】解：∵AB∥CD，∠1=40°，
∴∠BCD=∠1=40°，
∵DB⊥BC，
∴∠CBD=90°，
∴∠2=90°−∠BCD=90°−40°=50°，
即∠2的度数是50°．
故答案为：50°．
3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）已知：如图，AD是∠BAC的平分线，点E在BC上，点F在CA的
延长线上，EF∥AD，EF交AB于点G．求证：∠AGF=∠F．【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行
同旁内角互补．在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角．
直接利用平行线的性质得出∠AGF=∠BAD，∠CAD=∠F，再利用角平分线的定义得出
∠CAD=∠BAD，然后等量代换得出答案．
【详解】证明：∵EF∥AD，
∴∠AGF=∠BAD，∠CAD=∠F，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠AGF=∠F．
六、两直线平行内错角相等
1．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，射线a和射线b分别与直线c相交，且a∥b，已知∠1=70°，
则∠2=（ ）
A．70° B．100° C．105° D．110°
【答案】D
【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求出∠3，再根据邻补角的定义，即可求解．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图：∵ a∥b
，
∴∠1=∠3=70°，
∴∠2=180°−∠3=110°，
故选：D．
2．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，直线a∥b，AC⊥BC，若∠2＝50°，则∠1的度数为
（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】本题考查垂线的定义，平行线的性质，掌握知识点是解题的关键．
根据AC⊥BC，求出∠BCA=90°，继而求出∠3=∠BCA−∠2=40°，再由两直线平行，内错角相等，
即可解答．
【详解】解：如图
∵AC⊥BC，∠2=50°，
∴∠BCA=90°，
∴∠3=∠BCA−∠2=40°，
∵a∥b，
∴∠1=∠3=40°．
故选B.
3．（2025·河南南阳·三模）将等腰直角三角板ABC按如图所示放置，其直角顶点A落在直线l 上，另一个
1顶点B落在直线l 上，若l ∥l ，∠1=67°，则∠2的度数为（ ）
2 1 2
A．23° B．33° C．45° D．67°
【答案】A
【分析】本题主要考查了直线平行的性质（两直线平行，内错角相等），掌握直线平行的性质是解题的关
键；先求解∠3=67°，再利用角的和差运算可得答案．
【详解】解：如图，
∵l ∥l ，∠1=67°，
1 2
∴∠3=∠1=67°，
∵∠BAC=90°，
∴∠2=90°−∠3=23°，
故选A．
七、两直线平行同旁内角互补
1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，AB∥CD，AC∥DE，∠D=30°，则∠A的度数为
（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出∠C=∠D=30°，∠A+∠C=180°，即可求出
∠A的度数．
【详解】解：∵AC∥DE，∠D=30°，
∴∠C=∠D=30°，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°−∠C=150°．
故选：D．
2．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，直线AB∥CD，∠A=40°，∠C=80°，则∠E的度数
是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
【答案】A
【分析】本题考查平行线的判定与性质，如图，过点E作EG∥AB，得∠AEC+∠CEG=140°，根据平
行公理的推论得EG∥CD，得∠CEG=180°−∠C=100°，再根据∠AEC=140°−∠CEG可得结论．
解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也
互相平行．
【详解】解：如图，过点E作EG∥AB，
∵∠A=40°，
∴∠AEG=180°−∠A=180°−40°=140°，
即∠AEC+∠CEG=140°，
∵AB∥CD，
∴EG∥CD，∵∠C=80°，
∴∠CEG=180°−∠C=180°−80°=100°，
∴∠AEC=140°−∠CEG=140°−100°=40°，
即∠AEC的度数是40°．
故选：A．
3．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）如图，AB∥CD，∠B=120°，∠C=25°，则∠α的度数为
°.
【答案】85
【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
作EF∥AB，由平行线的性质可得∠BEF和∠CEF的度数，相加即可得∠α的度数．
【详解】解：如图，作EF∥AB，则∠B+∠BEF=180°，
∵∠B=120°，
∴∠BEF=180°−120°=60°，
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FEC=∠C=25°，
∴∠α=∠BEF+∠FEC=60°+25°=85°
故答案为：85．
八、根据平行线判定与性质证明
1．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，AE与BD相交于点F，点D在CE上，∠B=∠C，
∠1=∠2．求证：AB∥CE．【答案】见详解
【分析】本题考查了平行线的证明和性质的应用；解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
由∠1=∠2，依据“同位角相等，两直线平行”证得AC∥BD，依据“两直线平行，同位角相等”可证
得∠BDE=∠C，由等量代换得∠BDE=∠B，最后依据“内错角相等，两直线平行”证得结论．
【详解】证明：∵∠1=∠2，
∴AC∥BD，
∴∠BDE=∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠BDE=∠B，
∴AB∥CE．
2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，AC∥DF，点B，E分别是AC，DF上的点，连接BD，
CE，若∠1=80°，∠2=100°．求证：∠C=∠D．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理．根据∠1=80°，
∠2=100°，证得BD∥CE，根据平行线的性质证得∠D=∠CEF，再根据AC∥DF证得∠C=∠CEF，
进而得出结论．
【详解】证明：∵∠1=80°，∠2=100°，
∴∠1+∠2=180°，
∴BD∥CE，
∴∠D=∠CEF，
∵AC∥DF，
∴∠C=∠CEF，∴∠C=∠D．
3．（24-25七年级上·吉林长春·期末）根据解答过程填空．
已知：如图，∠D+∠3=180°，AE平分∠BAD交CD于点F，∠4=∠E．
求证：∠B=∠DCE．
证明：∵∠D+∠3=180°（已知）．
∴AD∥BC（ ）
∴∠1= （ ）．
∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠1=∠2（ ）
∴∠2= （等量代换）
∵∠4=∠E（已知），
∴∠2=∠4（等量代换）
∴AB∥CD（ ）
∴∠B=∠DCE（ ）．
【答案】同旁内角互补，两直线平行；∠E；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠E；同位角
相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定方法，角平分线的定义，平行线的性质进行作
答即可．
【详解】证明：∵∠D+∠3=180°（已知）．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠1=∠E（两直线平行，内错角相等）．
∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠1=∠2（角平分线的定义）
∴∠2=∠E（等量代换）
∵∠4=∠E（已知），
∴∠2=∠4（等量代换）
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）∴∠B=∠DCE（两直线平行，同位角相等）．
4．（22-23七年级上·河南南阳·期末）在下列解题过程的空白处填上恰当的内容（推理的理由或数学表达
式）．
已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠4．求证：EF∥GH．
证明：∵∠1+∠2=180°（已知）
∠AEG=∠1（ ），
∴∠AEG+∠ =180°，
∴AB∥CD（ ）
∴∠AEG=∠EGD（ ）
又∵∠3=∠4（已知），
∴∠3+∠AEG=∠4+ （等式的性质）
即∠FEG=∠ ，
∴EF∥GH（ ）
【答案】对顶角相等；2；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠EGD；HGE；内
错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了对顶角，平行线的性质和判定等知识．求出∠AEG+∠2=180°，根据平行线的判定
得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠AEG=∠EGD，求出∠3+∠AEG=∠4+∠EGD，根据平
行线的判定得出即可．
【详解】证明：∵∠1+∠2=180°（已知）
∠AEG=∠1（对顶角相等）
∴∠AEG+∠2=180°
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠AEG=∠EGD（两直线平行，内错角相等）
又∵∠3=∠4（已知），
∴∠3+∠AEG=∠4+∠EGD（等式的性质）
即∠FEG=∠HGE∴EF∥GH（内错角相等，两直线平行）
故答案为：对顶角相等；2；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠EGD；HGE；
内错角相等，两直线平行．
1．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，下列条件中，不能判断直线l ∥l 的是（ ）
1 2
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线
平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理逐项进行判断即可．
【详解】解：A、∵∠1=∠3，
∴l ∥l ，故不符合题意；
1 2
B、当∠2=∠3时，无法判断l ∥l ，故符合题意；
1 2
C、∵∠4=∠5，∴l ∥l ，故不符合题意；
1 2
D、∵∠2+∠4=180°，∴l ∥l ，故不符合题意；
1 2
故选：B．
2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABC中，
AB=AC,∠BAC=50°,△ABC≌△ADE,AB,CE相交于点F．当AD∥CE时，则∠BAE的大小是
（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质
和平行线的性质，求出∠EAC的度数是解题的关键．由全等三角形的性质可得∠DAE=∠BAC=50°，
AE=AC，再由平行线的性质得∠DAE=∠AEC=50°，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理
得∠EAC的度数，即可求解．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=50°，AE=AC，
∵AD∥CE，
∴∠DAE=∠AEC=50°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE=50°，
∴∠EAC=180°−50°−50°=80°，
∴∠BAE=∠EAC−∠BAC=80°−50°=30°，
故选：C．
3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，下列条件中：①∠B+∠BAD=180°；②∠1=∠2；③
∠3=∠4；④∠B=∠5，其中能判定AB∥CD的条件有 （填写序号）
【答案】③④
【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练应用平行线的判定方法是解题的关键．
根据平行线的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：∵∠B+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，故①不符合题意；
∵∠1=∠2，
∴AD∥BC，故②不符合题意；
∵∠3=∠4，
∴AB∥CD，故③符合题意；
∵∠B=∠5，
∴AB∥CD，故④符合题意．
故答案为：③④．4．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，已知AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，
∠1=70°，求∠2的度数．
【答案】110°
【分析】本题主要考查平行线的性质.，根据两直线平行，同位角相等和邻补角的定义即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°，
∴∠2=180°−∠3=180°−70°=110°．
5．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，EF⊥AB，CD⊥AB．
(1)判断EF与CD的位置关系，并说明理由；
(2)若∠1=∠2，则∠AGD与∠ACB相等吗？为什么？
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)相等，理由见解析
【分析】本题考查平行线的证明及性质，熟练掌握基础知识是解题关键；
（1）通过垂直得到角度，然后再根据“同位角相等，两直线平行”证明即可；
（2）根据平行线性质得到∠2=∠3，再等量代换得到∠1=∠3，进而DG∥BC，进而可得到结果
∠AGD=∠ACB．
【详解】（1）解：EF∥CD，理由如下：
∵EF⊥AB,CD⊥AB，
∴∠BEF=∠BDC=90°，
∴EF∥CD；
（2）相等，理由如下：∵EF∥CD，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴DG∥BC，
∴∠AGD=∠ACB．
6．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知∠1=∠C，EF⊥BC，∠2+∠3=180°．
(1)求证：∠2=∠4；
(2)试求出∠ADC的度数
【答案】(1)见解析
(2)∠ADC=90°
【分析】本题考查平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．
（1）根据同位角相等，两直线平行得出PD∥CA，再由两直线平行，内错角相等即可证明；
（2）由等量代换得出∠3+∠4=180°，再由平行线的判定和性质得出AD∥EF，∠ADF=∠EFC，利
用垂直的定义即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠C，
∴PD∥CA
∴∠2=∠4；
（2）解：∵∠2=∠4，∠2+∠3=180°，
∴∠3+∠4=180°
∴AD∥EF，
∴∠ADF=∠EFC
又∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∴∠ADC=90°．
7．（24-25七年级上·吉林长春·期末）把下面解答过程补充完整．如图，AD∥BC
,∠1=∠B,∠2=∠3．(1)试说明AB∥DE；
说明：∵AD∥BC（已知），
∴∠1=∠__________（_____________）．
又∵∠1=∠B（已知），
∴∠B=∠DEC（等量代换），
∴AB∥DE（________________）．
(2)AF与DC的位置关系如何？为什么？
解：AF与DC的位置关系是________，理由如下：
∵AB∥DE（已知），
∴∠2=∠__________（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠2=∠3（已知），
∴∠__________=∠__________（等量代换），
∴AF∥DC（_________________）．
【答案】(1)DEC；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行
(2)平行，AGD；两直线平行，内错角相等；3,AGD；内错角相等，两直线平行
【分析】本题主要考查平行的判定和性质，熟练掌握平行的判定和性质是解题的关键．
（1）根据平行的性质得到∠1=∠DEC，再根据同位角相等证明结论；
（2）由题意证明∠3=∠AGD，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵ AD∥BC（已知），
∴∠1=∠DEC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1=∠B（已知），
∴∠B=∠DEC（等量代换），
∴ AB∥DE（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：DEC；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；
（2）AF与DC的位置关系是AF∥DC，理由如下：
∵ AB∥DE（已知），
∴∠2=∠AGD（两直线平行，内错角相等），又∵∠2=∠3（已知），
∴∠3=∠AGD（等量代换），
∴ AF∥DC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：平行，AGD；两直线平行，内错角相等；3,AGD；内错角相等，两直线平行．
8．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知：如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OC=OD，E，
F为AB上两点，且AE=BF．猜想CE和DF的关系并说明理由．
【答案】CE=DF，CE∥DF；理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质和判定定理、全等三角形的判定和性质．根据平行线的性质得出
∠A=∠B，根据全等三角形的判定得出△ACO≌△BDO，根据全等三角形的性质得出OA=OB，推得
OE=OF，根据全等三角形的判定得出△COE≌△DOF，根据全等三角形的性质得出∠OEC=∠OFD，
CE=DF，结合平行线的判定定理即可求解．
【详解】解：CE和DF的关系为：CE=DF，CE∥DF；理由如下：
∵AC∥DB，
∴∠A=∠B，
在△ACO和△BDO中，
{∠AOC=∠BOD
)
∠A=∠B ，
OC=OD
∴△ACO≌△BDO(AAS)，
∴OA=OB，
∵AE=BF，
∴OE=OF，
在△COE和△DOF中，
{
OC=OD
)
∠COE=∠DOF ，
OE=OF
∴△COE≌△DOF(SAS)，
∴CE=DF，∠OEC=∠OFD，∴CE∥DF．
9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结
AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．
(1)判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
(2)若AB=BC+AD，∠BAE=∠BFE，判断BE与AF的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)FC=AD．见解析
(2)BE⊥AF．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
(1)证明△ADE≌△FCE(ASA)即可解决问题；
(2)先证明AB=FB，再证明△ABE≌△FBE(SAS)即可．
【详解】（1）解：FC=AD．理由如下：
∵AD∥BC．
∴∠D=∠FCE
∵E是CD的中点，
∴DE=CE．
在△ADE和△FCE中，¿
∴△ADE≌△FCE(ASA)．
∴FC=AD
（2）解：BE⊥AF．理由如下：
由（1）知△ADE≌△FCE．
∴AE=FE
∵AB=BC+AD,AD=FC，
∴AB=BC+CF，
即AB=FB．
在△ABE和△FBE中，¿
∴△ABE≌△FBE(SAS)，∴∠AEB=∠FEB．
又∵∠AEB+∠FEB=180°，
∴∠AEB=∠FEB=90°，即BE⊥AF．
10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，点E,F分别在AB,CD上，AF⊥CE于点
O,∠1=∠B,∠A+∠2=90°．求证：AB∥CD．请填空．
证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE=90°（______）．
∵∠1=∠B（______），
∴______（______），
∴∠AFB=∠AOE（______），
∴∠AFB=90°（______）．
又∵∠AFC+∠AFB+∠2=______（平角的定义），
∴∠AFC+∠2=______°．
又∵∠A+∠2=90°（已知），
∴∠A=∠AFC（______），
∴______（内错角相等，两直线平行）．
【答案】垂直的定义；已知； CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代
换；180°；90；同角的余角相等；AB∥CD
【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理
依据即可．
【详解】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE=90°（垂直的定义）．
∵∠1=∠B（已知），
∴ CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFB=∠AOE（两直线平行，同位角相等），
∴∠AFB=90°（等量代换）．
又∵∠AFC+∠AFB+∠2=180°（平角的定义），∴∠AFC+∠2=90°．
又∵∠A+∠2=90°（已知），
∴∠A=∠AFC（同角的余角相等），
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以发
现∠BEC=∠B+∠C．请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∴∠B=∠BEF（①___________）．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD（②___________）．
∴∠C=∠CEF．
∵∠B+∠C=（③___________+ ④___________）．
∴∠BEC=∠B+∠C．（等量代换）．
（2）探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠C=360°−∠BEC．
（3）解决问题：如图③，AB∥CD，E、F是AB与CD之间的点，直接写出∠B，∠BEF，∠EFD，
∠D之间的数量关系．
【答案】（1）①两直线平行，内错角相等；②平行于同一直线的两直线平行；③∠BEF， ④∠CEF；
（2）见解析；（3）∠B+∠D+∠EFD=∠BEF+180°
【分析】本题考查平行线的判定及性质，角的和差．
（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（3）过点E作EH∥AB，过点F作FK∥CD，根据平行线的判定及性质，角的和差求解即可．
【详解】（1）证明：过点E作EF∥AB，
∴∠B=∠BEF（两直线平行，内错角相等）．∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD（平行于同一直线的两直线平行）．
∴∠C=∠CEF．
∵∠B+∠C=∠BEF+∠CEF．
∴∠BEC=∠B+∠C．（等量代换）；
（2）证明：过点E作EF∥AB，
∴∠ABE+∠BEF=180°，
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FEC+∠DCE=180°，
∴∠ABE+∠BEF+∠FEC+∠DCE=360°，
∵∠BEC=∠BEF+∠FEC，
∴∠B+∠C=360°−∠BEC；
（3）解：过点E作EH∥AB，过点F作FK∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EH∥FK∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠5+∠D=180°，
∵∠BEF=∠2+∠3，∠EFD=∠4+∠5，
∴∠B+∠D+∠EFD=∠1+180°−∠5+∠4+∠5
=∠2+∠3+180°
=∠BEF+180°．
2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在
笔直且平行的长江两岸河堤MN，PQ上安装了A，B两盏激光探照灯如图所示．光线AM 按顺时针方向
1
以每秒4°的速度从AM旋转至AN便立即回转；光线BP 按顺时针方向以每秒1°的速度从BP旋转至BQ便
1立即回转．
(1)若两灯同时旋转，A灯发出的光线AM 顺时针旋转到AN，然后回转到AM时，两灯同时停止旋转．
1
① 当两灯旋转30秒时，判断光线AM 所在直线与光线BP 所在直线的位置关系，并说明理由；
1 1
② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时A灯的旋
转时间；若不能，请说明理由．
(2)如果B灯先旋转20秒，A灯才开始旋转．在B灯发出的光束第一次到达BQ之前，请直接写出A灯旋转多
少秒时，光线AM 所在直线与光线BP 所在直线平行．
1 1
【答案】(1)① AM ⊥BP ，理由见解析；②能，54秒或90秒
1 1
20 380
(2) 秒或68秒或 秒或140秒
3 3
【分析】（1）①设AM 与BP 相交于点E，过点E作EF∥MN，可得MN∥EF∥PQ，利用平行线的
1 1
性质可得∠AEB=∠AEF+∠BEF=90°，即可求解；②设A灯的旋转时间为t秒，分AM 回转时
1
AM ⊥BP 和AM 回到AM时两种情况解答即可求解；
1 1 1
（2）设A灯旋转t秒，光线AM 所在直线与光线BP 所在直线平行，分四种情况，利用平行线的性质列出
1 1
方程解答即可；
本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：①AM ⊥BP ，理由如下：
1 1
如图，设AM 与BP 相交于点E，过点E作EF∥MN，
1 1
∵MN∥PQ，
∴MN∥EF∥PQ，
两灯旋转30秒时，∠MAM =4°×30=120°，∠PBP =1°×30=30°，
1 1
∵MN∥EF∥PQ，
∴∠AEF=180°−∠MAM =60°，∠BEF=∠PBP =30°，
1 1∴∠AEB=∠AEF+∠BEF=60°+30°=90°，
∴AM ⊥BP ；
1 1
②能．设A灯的旋转时间为t秒，
如图，当AM 回转时，AM ⊥BP ，设AM 与BP 相交于点E，过点E作EF∥MN，
1 1 1 1 1
∵MN∥PQ，
∴MN∥EF∥PQ，
由题意可得，∠NAM =(4t−180)°，∠PBP =t°，
1 1
∵MN∥EF∥PQ，
∴∠AEF=∠NAM =(4t−180)°，∠BEF=∠PBP =t°，
1 1
∵AM ⊥BP ，
1 1
∴∠AEB=90°，
即(4t−180)°+t°=90°，
解得t=54；
当AM 回到AM时，如图，
1
t=360°÷4°=90
，
∴∠PBP =1°×90=90°，此时AM ⊥BP ；
1 1 1
综上，除①中情况之外，当A灯的旋转54秒或90秒时，两灯发出光线所在直线还能垂直；
（2）解：设A灯旋转t秒，光线AM 所在直线与光线BP 所在直线平行，
1 1
如图，当AM 到达AN前与BP 平行，设BP 与MN相交于点G，
1 1 1由题意得，∠MAM =(4t)°，∠PBP =(t+20)°，
1 1
∵AM ∥BP ，
1 1
∴∠AGB=∠MAM =(4t)°，
1
又∵MN∥PQ，
∴∠AGB=∠PBP ，
1
∴(4t)°=(t+20)°，
20
解得t= ；
3
如图，当AM 到达AN后回转时与BP 平行，设BP 与MN相交于点G，
1 1 1
则∠MAM =(360−4t)°，∠PBP =(t+20)°，
1 1
同理上可得，∠MAM =∠PBP ，
1 1
即(360−4t)°=(t+20)°，
解得t=68；
如图，当AM 回转到AM后再次往AN旋转与BP 平行，设BP 与MN相交于点G，
1 1 1
则∠MAM =(4t−360)°，∠PBP =(t+20)°，
1 1
同理可得，∠MAM =∠PBP ，
1 1
即(4t−360)°=(t+20)°，
380
解得t= ；
3
如图，当AM 再次到达AN后回转与BP 平行，设BP 与MN相交于点G，
1 1 1则∠MAM =(720−4t)°，∠PBP =(t+20)°，
1 1
同理可得，∠MAM =∠PBP ，
1 1
即(720−4t)°=(t+20)°，
解得t=140；
20 380
综上，A灯旋转 秒或68秒或 秒或140秒时，光线AM 所在直线与光线BP 所在直线平行．
3 3 1 1
3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知BA∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BE的延长线交
CD于点F，过点F作FG⊥BF，交BC的延长线于点G．
(1)如图1，求证：EC∥FG；
(2)点M在线段BG上，点N在线段FG上，且∠BEM=k∠MEN，连接EG．若有∠NGE=k∠¬¿成立．
①如图2，当k=1时，求∠MEG的度数．
②当k≠1时，请直接写出∠MEG=________°（用含有k的代数式表示）
【答案】(1)见解析
90°
(2)①45°；②
k+1
【分析】本题考查了平行线的性质的应用，角平分线的性质的应用，垂直的定义等知识点，三角形外角性
质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
（1）过点E作EH∥AB，利用平行线的性质得出∠DCE=∠CEH，再由角平分线的性质得出
∠BEC=90°，然后可得∠BEC=∠BFG，进而即可得证；
（2）①当k=1时，∠BEM=∠MEN，∠NGE=∠¬¿，设∠MEC=α，用含α的代数式表示出
∠CEG=∠¬=45°−α，再由平行线得出∠CEG=∠NGE，进而即可得证；
②当k≠1时，∠BEM=k∠MEN，∠NGE=k∠¬¿，重复①的过程，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，过点E作EH∥AB，∴∠ABE=∠BEH
．
∵AB∥CD，
∴EH∥CD，∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠DCE=∠CEH，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
1 1
∴∠ABE= ∠ABC,∠DCE= ∠BCD，
2 2
1 1
∴∠ABE+∠DCE= ∠ABC+ ∠BCD=90°，
2 2
∴∠BEH+∠CEH=90°，即∠BEC=90°，
∵FG⊥BF，
∴∠BFG=90°，
∴∠BEC=∠BFG，
∴EC∥FG；
（2）解：①∠MEG=45°，理由如下：
设∠MEC=α，如图，
当k=1时，∠BEM=∠MEN，∠NGE=∠¬¿，
∵∠BEC=90°，
∴∠BEM=∠MEN=90°−α，
∴∠CEN=∠MEN−∠MEC=90°−2α，
∵CE∥FG，
∴∠CEG=∠NGE，
∵∠¬=∠NGE，
1
∴∠CEG=∠¬= ∠CEN=45°−α，
2∴∠MEG=∠MEC+∠CEG=α+45°−α=45°．
②当k≠1时，∠BEM=k∠MEN，∠NGE=k∠¬¿，
1 90°−α
设∠MEC=α，则∠BEM=90°−α，∠MEN= ∠BEM= ，
k k
90°−α
∴∠CEN=∠MEN−∠MEC= −α，
k
∵CE∥FG，
∴∠CEG=∠NGE，
∵∠NGE=k∠¬¿
k k 90°−α 90°
∴∠CEG=k∠¬= ∠CEN= ( −α)= −α，
k+1 k+1 k k+1
90° 90°
∴∠MEG=∠MEC+∠CEG=α+ −α= ．
k+1 k+1
90°
故答案为： ．
k+1
4．（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践：如图，AB∥CD，点P为平面内任意一点，连接AP,CP，
某数学兴趣小组对∠APC，∠A，∠C之间的数量关系进行了探究学习．
【探究一】当点P在如图1所示位置时，通过测量，得到猜想结果：∠APC+∠A+∠C=360°．
证明：过点P作PE∥AB，
∴∠APE+∠A=180°．
∵PE∥AB，AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠CPE+∠C=180°．
∴∠APE+∠A+∠CPE+∠C=180°+180°．
∴∠APC+∠A+∠C=360°．
【探究二】当点P在如图2所示位置时，猜想∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并给出证明．【探究三】当点P在如图3所示位置时，请直接写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，不要求给出证
明．
【探究四】若∠APC=∠A−∠C，请在图4中找到一个符合条件的点P，并补全图形，不要求给出证明．
【思维拓展】当点M,N在如图5所示位置时，请直接写出∠1，∠2，∠3，∠4之间的数量关系，不要求
给出证明．
【答案】探究二：∠APC=∠A+∠C，见解析；探究三：∠APC=∠C−∠A；探究四：图形见解析；
思维拓展：∠1−∠2+∠3+∠4=180°
【分析】本题考查平行线的判定与性质；
探究二：过点P作PE∥AB，参考探究一的过程求解即可；
探究三：过点P作PE∥AB，参考探究一的过程求解即可；
探究四：根据探究三的结果反方向画图即可；
探究三：过点M、N分别作作AB的平行线，根据探究的结果求解即可．
【详解】解：探究二：∠APC=∠A+∠C，证明如下：
过点P作PE∥AB，∴∠APE=∠A
．
∵PE∥AB，AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠CPE=∠C．
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠A+∠C．
探究三: ∠APC=∠C−∠A，证明如下：
过点P作PE∥AB，
∴∠APE=∠A
．
∵PE∥AB，AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠CPE=∠C．
∴∠APC=∠CPE−∠APE=∠C−∠A．
探究四: 若∠APC=∠A−∠C，如图点P符合条件，
思维拓展: ∠1−∠2+∠3+∠4=180°，证明如下：
过点M作ME∥AB，点N作NF∥CD，如图，
∴∠1=∠AME ∠FND+∠4=180°
． ，
∵AB∥CD，
∴ME∥NF∥AB∥CD，∴∠EMN=∠MNF．
∴∠2=∠AMF+∠NME=∠1+∠MNF，
∴∠MNF=∠2−∠1，
∵∠3=∠CNF+∠MNF，
∴∠CNF=∠3−∠MNF=∠3−(∠2−∠1)=∠3−∠2+∠1，
∵∠FND+∠4=180°，
∴∠1−∠2+∠3+∠4=180°．
