文档内容
第 03 讲 解题技巧专题：平行线中有关拐点问题(4 类热点题型讲练)
目录
【考点一 平行线中一个拐点问题】........................................................................................................................1
【考点二 平行线中两个拐点问题】........................................................................................................................8
【考点三 平行线中多个拐点问题】......................................................................................................................12
【考点四 平行线中在生活上的拐点问题】..........................................................................................................18
【考点一 平行线中一个拐点问题】
例题：如图， ，若 ， ，则∠E=______．
【答案】 ##66度
【分析】如图所示，过点E作 ，则 ，根据两直线平行内错角相等分别求出
，则 ．
【详解】解：如图所示，过点E作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出 是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．【答案】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案．
【详解】如下图所示，过点C作 ，
∵ ，
∴ （两直线平行，同旁内角互补），
∵ ， ，
∴ ，
∴ （两直线平行，同旁内角互补），
∴ ，
∴ ，
∴在原图中 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
2．如图，AB CD， 为平行线间一点，若 ， ，则 ______度．
【答案】100
【分析】过点 作 的平行线，由平行线的判定与性质即可求解．
【详解】解：过点 作 ，则 ，
， ，
，
， ，．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是过拐点 准确作出 的平行线．
3．如图，若AB CD，则 ， ，则 ______．
【答案】 ##20度
【分析】过点 作 ，利用平行线的性质可得 的度数，进而可得 的度数，再结合 可
得 ，进而可得 的度数．
【详解】解：如图，过点 作 ，则 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键．
4．已知直线 ， 和 ， 分别交于 ， 点，点 ， 分别在线 ， 上，且位于 的左侧，点 在
直线 上，且不和点 ， 重合．
(1)如图 ，有一动点 在线段 之间运动时，求证： ；
(2)如图 ，当动点 在 点之上运动时，猜想 、 、 有何数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2) ，理由见解析．
【分析】 过点 作 ，根据 可知 ，故可得出 ， 再由
即可得出结论；
过 作 ，依据 ，可得 ，进而得到 ， ，再根据
，即可得出 ．
（1）
证明：如图 ，过点 作 ，
，
，
， ．
又 ，
；
（2）
解： ．
理由如下：如图 ，过 作 ，
，
，
， ，
，
．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
5．已知：AB EF，在平面内任意选取一点C．利用平行线的性质，探究∠B、∠F、∠C满足的数量关系．图形 ∠B、∠F、∠C满足的数量关系
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
图（5）
图（6）
(1)将探究∠B、∠C、∠F之间的数量关系填写下表：
(2)请选择其中一个图形进行说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用平行线的性质即可求解．
（2）过点C作CG AB，利用平行线的判定和性质即可求解．
（1）
解：∠B、∠C、∠F之间的数量关系如下表：
图形 ∠B、∠F、∠C满足的数量关系
图（1） ∠B+∠F=∠C
图（2） ∠F-∠B=∠C
图（3） ∠B-∠F=∠C
图（4） ∠B+∠F+∠C=360°
图（5） ∠B-∠F=∠C图（6） ∠F-∠B=∠C
（2）
解：图（1） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F=∠C．
理由：过点C作CG AB，
∴∠BCG=∠B，
∵AB EF，
∴CG EF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠BCG+∠GCF=∠B+∠F，
∴∠B+∠F=∠BCF；
图（2） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．
理由：过点C作CG AB，
∴∠BCG=∠B，
∵AB EF，
∴CG EF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，
∴∠F-∠B=∠BCF；
图（3） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．理由：过点C作CG AB，
∴∠BCG=∠B，
∵AB EF，
∴CG EF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠BCG-∠GCF =∠B-∠F，
∴∠B-∠F=∠BCF；
图（4） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F+∠C=360°．
理由：过点C作CG AB，
∴∠BCG+∠B=180°，
∵AB EF，
∴CG EF，
∴∠GCF+∠F=180°，
∴∠BCG+∠B+∠GCF+∠F=180°+180°，
∴∠B+∠F+∠BCF=360°；
图（5） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．
理由：过点C作CG AB，∴∠BCG=∠B，
∵AB EF，
∴CG EF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠BCG-∠GCF =∠B-∠F，
∴∠B-∠F=∠BCF；
图（6） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．
理由：过点C作CG AB，
∴∠BCG=∠B，
∵AB EF，
∴CG EF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，
∴∠F-∠B=∠BCF；
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
【考点二 平行线中两个拐点问题】
例题：如图所示， 、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【答案】
【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到
∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论．
【详解】解：连接BD，如图，∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，
∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．
故答案为：540°．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，
内错角相等．
【变式训练】
1．如图，直线 l∥l，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
1 2
【答案】30°##30度
【分析】过A点作AB 直线l1，过C点作CD 直线l2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，
∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．
【详解】解：过A点作AB 直线l1，过C点作CD 直线l2，
∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，
∵直线l1 l2，
∴AB CD，
∴∠6=∠7，
∵∠2比∠3大10°，
∴∠2-∠3=10°，
∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，
∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，∴40°-∠4=10°，
解得∠4=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．
2．如图， ，则∠1、∠2、∠3的关系为______________．
【答案】
【分析】根据 可得 ， ，又因为 ，所以可得
．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，正确判断角之间的关系是解答本题的关键．
3．①如图1，AB CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB CD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若AB
EF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，AB CD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【答案】②③④
【分析】①过点E作EF AB，由平行线的性质即可得出结论；
②过点点E作EF AB，由平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点C作CD AB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；
④过点P作PF AB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．
【详解】解：①如图1，过点E作EF AB，
∵AB CD，
∴AB EF CD，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；②如图2，过点E作EF AB，
∵AB CD，
∴AB EF CD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点C作CD AB，延长AB到G，
∵AB EF，
∴AB EF CD，
∴∠DCF=∠EFC，
由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，
又∵ ，∠HCD=∠HCF-∠DCF
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，
∴ ，故③正确；
④如图4，过点P作PF AB，
∵AB CD，
∴AB PF CD，
∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，
∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故答案为：②③④．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
【考点三 平行线中多个拐点问题】
例题：如图，直线 ，则 的度数为___________°．
【答案】360
【分析】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，根据平行线的判定得出
EF∥GH∥MN∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．
【详解】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，如图所示：
∵CD∥AB，
∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD，
∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5，
∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC，
∴
．
故答案为：360．
【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
【变式训练】
1．探究：(1)如图①，已知AB CD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
(2)如图②，已知AB CD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
(3)如图③，已知AB CD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；
【答案】(1)∠1＋∠3＝∠2；
(2)∠1＋∠3＝∠2＋∠4；
(3)∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．
【分析】（1）过点E作EM AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）过点F作NF AB，结合（1）并根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（3）过点G作GM AB，结合（2）并根据平行线的性质及角的和差求解即可．
（1）
解：如图①，过点E作EM AB，
∵AB CD，
∴AB CD EM，
∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEF，
∴∠1＋∠3＝∠NEM＋∠MEF，
即∠1＋∠3＝∠2；
（2）
如图②，过点F作NF AB，∵AB CD，
∴AB CD FN，
∴∠4＝∠NFH，
由（1）知，∠1＋∠EFN＝∠2，
∴∠1＋∠EFN＋∠NFH＝∠2＋∠4，
即∠1＋∠3＝∠2＋∠4；
（3）
如图③，过点G作GM AB，
∵AB CD，
∴AB CD GM，
∴∠5＝∠MGN，
由（2）得，∠1＋∠3＝∠2＋∠FGM，
∴∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠FGM＋∠MGN，
即∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
2. 如图：
(1)如图1， ， 若 ， 计算并直接写出 的大小．
(2)如图2， 在图1的基础上， 将直线 变成折线 ， 证明：(3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线 变成折现 ．请你写出一条关于 、
的数量关系（无需证明直接写出）
【答案】(1)65°
(2)见解析
(3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4
【分析】（l）过P作PE∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论；
（2）过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4，根据平行线的性质和等量代换即可得到结论；
（3）分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．
（1）
解：过P作PE∥l1
∵l1∥l2
∴PE∥l2∥l1
∴∠A=∠1，∠B=∠2
∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°
即∠A+∠B=65°；
（2）
证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4
∵l1∥l2
∴l1∥l2∥l3∥l4
∵l1∥l3（已知）
∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）
∵l3∥l4（已知）
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）
∵l2∥l4（已知）
∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°
又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q
∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°．（3）
解：如图，分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，
∵ ，
∴
∴∠1=∠APC，∠QPC=∠PQD，∠DQM=∠EMQ，∠EMB=∠5，
∴∠2=∠1+∠PQD，∠4=∠5+∠DQM，
∴∠2+∠4=∠1+∠PQD+∠5+∠DQM=∠1+∠3+∠5，
∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．
【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．猜想说理：
（1）如图， ，分别就图1、图2、图3写出 ， ， 的关系，并任选其中一个
图形说明理由：
拓展应用：
（2）如图4，若 ，则 度；（3）在图5中，若 ，请你用含n的代数式表示 的度数．
【答案】（1） ； ；
（2）
（3）
【分析】（1）根据平行线的性质可直接得到结论；
（2）过点F作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出 的度数；
（3）过点E作AB的平行线，过点F作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出
度数；通过前面的计算，找出规律．利用规律得到有n个折点的结论；
【详解】解：（1）如图1： ，
如图2： ，
如图3： ，
如图1说明理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（2）如下图：
过F作 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
故答案为： ；
（3）如下图： ，
过E作 ，过F作 ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ；
综上所述：
由当平行线AB与CD间没有点的时候， ，
当A、C之间加一个折点F时， ；
当A、C之间加二个折点E、F时，则 ；
以此类推，如图5， ，
当 、 之间加三个折点 时，
则 ；
…
当 、 之间加n个折点 时，
则 ，
即 的度数是 ．
【点睛】本题是探索型试题，主要考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用平行线的性质及三角
形外角的性质等知识求解是解答此题的关键．
【考点四 平行线中在生活上的拐点问题】
例题：某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知
， ， ，则 的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长 交 于 ，依据 ， ，可得 ，再根据三角形外角性质，
即可得到 ．
【详解】解：如图，延长 交 于 ，∵ ， ，
，
又 ， ，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
【变式训练】
1．如图，某县积极推进“乡村振兴计划”，要对一段水渠进行扩建．如图，已知现有水渠从A地沿北偏
东50°的方向到B地，又从B地沿北偏西20°的方向到C地．现要从C地出发修建一段新渠CD，使
，则∠BCD的度数为_____度．
【答案】110
【分析】根据方向角和平行线的性质：内错角相等即可求出．
【详解】解：B点在A点的北偏东50°，C点在B点北偏西20°，
∴ ，
∵
∴ ，
故答案为：110．
【点睛】本题考查平行线的性质：内错角相等，利用方位角进行角度的转化计算是解题的关键．
2．如图，汽车灯的剖面图，从位于点 的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线 ， 都是水平线，
若 ， ，则 的度数为______．【答案】 ##60度
【分析】如图所示，过点O作 ，则 ，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作 ，
∵光线 ， 都是水平线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
3．幸福乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东60°的方向到B村，从B村沿北偏西30°方向
到C村．若水渠从C村沿CD方向修建可以保持与AB的方向一致，则∠DCB的度数为_____°
【答案】90度##90°
【分析】根据CD与AB的方向一致，可得 ，即有∠DCB=∠CBA，根据 ，可得
∠A+∠ABN=180°，即有∠ABC=90°，则有∠DCB=90°，问题得解．【详解】如图，设置点M、N，
根据题意有： ，
∵CD与AB的方向一致，
∴ ，
∴∠DCB=∠CBA，
∵ ，
∴∠A+∠ABN=180°，
∵∠A=60°，∠ABN=∠ABC+∠CBN，∠CBN=30°，
∴∠ABC=90°，
∴∠DCB=90°，
故答案为：90°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、方位角的应用，明确题意，灵活运用平行线的性质是解答本题的关键．
4．如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，
弹弓的两边可看成是平行的，即 ，各活动小组探索 与 ， 之间数量关系时，有如下
发现，
(1)在图②所示的图形中，若 ， ，则 ___________
(2)在图⑧中，若 ， ，则 _________
(3)有同学在图②和图③的基础上，面出了图④所示的图形，其中 ，请判断 ， ， 之间的
关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1）如图所示，过点P作 ，利用平行线的性质得到
由此即可得到答案；
（2）如图所示，过点P作 ，利用平行线的性质得到
，在求出 的度数即可得到答案；
（3）如图所示，过点P作 ，由平行线的性质得到 ，再由
即可得到结论．
（1）
解：如图所示，过点P作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）
解：如图所示，过点P作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
故答案为： ；（3）
解： ，理由如下：
如图所示，过点P作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
